Введение
В математике, элемент, имеющий мультипликативную обратную.
В алгебре, единица или обратимый элемент кольца – это обратимый элемент относительно умножения в этом кольце. То есть, элемент u кольца R является единицей, если существует элемент v в R такой, что
uv = vu = 1, где 1 – мультипликативная единица; элемент v уникален для этого свойства и называется мультипликативной обратной для u. Множество единиц кольца R образует группу относительно умножения, называемую группой единиц или единичной группой R. Другие обозначения для группы единиц: R^(∗), U(R) и E(R) (от немецкого термина Einheit). Иногда термин "единица" используется для обозначения элемента 1 кольца, например, в выражениях "кольцо с единицей" или "единичное кольцо", а также "единичная матрица". Из-за этой двусмысленности, 1 чаще называют "единичным элементом" или "идентичностью" кольца, а фразы "кольцо с единичным элементом" или "кольцо с идентичностью" используются для уточнения, что рассматривается кольцо, а не rng.
Примеры
Умножительная единица 1 и ее аддитивная обратная −1 всегда являются обратимыми элементами. В более общем случае, любой корень из единицы в кольце R является обратимым элементом: если r^(n) = 1, то r^(n−1) является мультипликативной обратной для r.
В ненулевом кольце элемент 0 не является обратимым, поэтому множество обратимых элементов не замкнуто относительно сложения. Ненулевое кольцо R, в котором каждый ненулевой элемент является обратимым (то есть, существует обратный для каждого ненулевого элемента), называется кольцом деления (или телом). Коммутативное кольцо деления называется полем. Например, группа единиц поля действительных чисел R является ℝ*.
In a nonzero ring, the element 0 is not a unit, so is not closed under addition. A nonzero ring R in which every nonzero element is a unit (that is, ) is called a division ring (or a skew field). A commutative division ring is called a field. For example, the unit group of the field of real numbers 'R' is .
Кольцо целых чисел
В кольце целых чисел Z единственными единицами являются 1 и −1. В кольце Z/nZ целых чисел по модулю n единицами являются классы вычетов (mod n), представленные целыми числами, взаимно простыми с n. Они образуют мультипликативную группу целых чисел по модулю n.
Кольца матрицы
Группа единиц кольца Mn(R) n × n матриц над кольцом R является общей линейной группой инвертируемых матриц. Для коммутативного кольца R элемент A из Mn(R) обратим тогда и только тогда, когда определитель A обратим в R. В этом случае обратную матрицу можно явно выразить через присоединенную матрицу.
Группа единиц
Коммутативное кольцо является локальным, если — максимальный идеал. Оказывается, если — идеал, то он обязательно максимальный, и R локально, поскольку максимальный идеал дизъюнктен с . Если R — конечное поле, то — циклическая группа порядка . Каждый гомоморфизм колец f : R → S индуцирует гомоморфизм групп , поскольку f отображает обратимые элементы в обратимые элементы. Фактически, построение группы обратимых элементов определяет функтор из категории колец в категорию групп. У этого функтора есть левый сопряженный функтор, который является конструкцией интегрального группового кольца. Групповая схема изоморфна мультипликативной групповой схеме над любой базой, поэтому для любого коммутативного кольца R группы и канонически изоморфны U(R). Обратите внимание, что функтор (то есть R ↦ U(R)) представим в том смысле, что для коммутативных колец R (это, например, следует из вышеупомянутого соотношения сопряженности с конструкцией группового кольца). Явно это означает, что существует естественная биекция между множеством гомоморфизмов колец и множеством обратимых элементов R (в отличие от этого, представляет собой аддитивную группу, забывающий функтор из категории коммутативных колец в категорию абелевых групп).
If R is a finite field, then is a cyclic group of order
Every ring homomorphism f : R → S induces a group homomorphism , since f maps units to units. In fact, the formation of the unit group defines a functor from the category of rings to the category of groups. This functor has a left adjoint which is the integral group ring construction. The group scheme is isomorphic to the multiplicative group scheme over any base, so for any commutative ring R, the groups and are canonically isomorphic to U(R). Note that the functor (that is, R ↦ U(R)) is representable in the sense: for commutative rings R (this for instance follows from the aforementioned adjoint relation with the group ring construction). Explicitly this means that there is a natural bijection between the set of the ring homomorphisms and the set of unit elements of R (in contrast, represents the additive group , the forgetful functor from the category of commutative rings to the category of abelian groups).
Связь
Предположим, что R коммутативно. Элементы r и s из R называются ассоциированными, если существует единица u в R такая, что r = us. Тогда записывают r ~ s. В любом кольце пары аддитивно обратных элементов x и −x являются ассоциированными. Например, 6 и −6 ассоциированы в Z. В общем случае, ~ является отношением эквивалентности на R.
Ассоциированность также можно описать с точки зрения действия R на себя посредством умножения: два элемента R ассоциированы, если они находятся в одной орбите. В интегральной области множество ассоциированных элементов данного ненулевого элемента имеет ту же мощность, что и R. Отношение эквивалентности ~ можно рассматривать как любое из отношений полугрупп Грина, специализирующееся на мультипликативной полугруппе коммутативного кольца R.
The equivalence relation ~ can be viewed as any one of Green's semigroup relations specialized to the multiplicative semigroup of a commutative ring R.