Кіріспе
Барлық элементтері салыстырылатын рет. Математикада толық рет немесе сызықтық рет – кез келген екі элементі салыстырылатын ішінара рет. Яғни, толық рет – бұл белгілі бір жиын ішіндегі екілік қатынас, ол кез келген және үшін келесі шарттарды қанағаттандырады:
In mathematics, a total order or linear order is a partial order in which any two elements are comparable. That is, a total order is a binary relation on some set , which satisfies the following for all and in :
(reflexive). If and then (transitive). If and then (antisymmetric). or (strongly connected, formerly called total). Reflexivity (1.) already follows from connectedness (4. ), but is required explicitly by many authors nevertheless, to indicate the kinship to partial orders. Total orders are sometimes also called simple, connex, or full orders. A set equipped with a total order is a totally ordered set; the terms simply ordered set, linearly ordered set, and loset are also used. The term chain is sometimes defined as a synonym of totally ordered set, but refers generally to some sort of totally ordered subsets of a given partially ordered set. An extension of a given partial order to a total order is called a linear extension of that partial order.
(керісінше). Егер және болса, онда (өткір). Егер және болса, онда (антисимметриялық). немесе (күшті байланысқан, бұрын толық деп аталған). Керісіншелік (1.) байланыстылықтан (4.) туындайды, бірақ көптеген авторлар ішінара ретке туыстығын көрсету үшін оны ашық түрде талап етеді. Толық реттерді кейде қарапайым, байланысты немесе толық реттер деп те атайды. Толық ретпен жабдықталған жиын – толық реттелген жиын; қарапайым реттелген жиын, сызықтық реттелген жиын және лосет терминдері де қолданылады. Шынжыр термині кейде толық реттелген жиынның синонимі ретінде анықталады, бірақ көбінесе берілген ішінара реттелген жиынның толық реттелген кіші жиындықтарын білдіреді. Белгілі бір ішінара ретті толық ретке кеңейту сол ішінара реттің сызықтық кеңейтілуі деп аталады.
In mathematics, a total order or linear order is a partial order in which any two elements are comparable. That is, a total order is a binary relation on some set , which satisfies the following for all and in :
(reflexive). If and then (transitive). If and then (antisymmetric). or (strongly connected, formerly called total). Reflexivity (1.) already follows from connectedness (4. ), but is required explicitly by many authors nevertheless, to indicate the kinship to partial orders. Total orders are sometimes also called simple, connex, or full orders. A set equipped with a total order is a totally ordered set; the terms simply ordered set, linearly ordered set, and loset are also used. The term chain is sometimes defined as a synonym of totally ordered set, but refers generally to some sort of totally ordered subsets of a given partially ordered set. An extension of a given partial order to a total order is called a linear extension of that partial order.
Мысалдар
Толық реттелген X жиынның кез келген қосалқы жиыны X-тегі реттілік шектеуі үшін толығымен реттелген. Бос жиынның бірегей тәртібі, ∅, жалпы тәртіп болып табылады. Кардинал сандардың немесе реттік сандардың кез келген жиынтығы (күштірек айтқанда, бұл жақсы реттелген). Егер X кез келген жиын болса және f X-тен толық реттелген жиынға инъекциялық функция болса, онда f x₁ ≤ x₂ деп қою арқылы X-те жалпы ретке келтіруді тудырады, егер және тек егер f(x₁) ≤ f(x₂) болса. Жақсы реттелген жиынмен индекстелген толық реттелген жиындардың отбасының Картезиандық көбейтіндісіндегі лексикографиялық тәртіп өзі жалпы тәртіп болып табылады. Әдеттегі "кем немесе тең" (≤) немесе "көп немесе тең" (≥) қатынастары бойынша реттелген нақты сандар жиыны толық реттелген. Сондықтан нақты сандардың кез келген қосалқы жиыны толық реттелген, мысалы, натурал сандар, бүтін сандар және рационал сандар. Бұлардың әрқайсысы белгілі бір қасиетке ие толық реттелген жиынның бірегей (реттік изоморфизмге дейін) "бастапқы мысалы" болып табылады (мұнда, A жалпы тәртібі белгілі бір қасиетке ие болса, егер B қасиетіне ие болса, A-дан B-нің қосалқы жиынына тәртіптік изоморфизм бар): Натурал сандар жоғарғы шегі жоқ бастапқы бос емес толық реттелген жиынды құрайды. Бүтін сандар жоғарғы және төменгі шегі жоқ бастапқы бос емес толық реттелген жиынды құрайды. Рационал сандар нақты сандарда тығыз болатын бастапқы толық реттелген жиынды құрайды. Сонымен қатар, рефлекстік азайту < рационал сандардағы тығыз тәртіп болып табылады. Нақты сандар бастапқы шексіз толық реттелген жиынды құрайды, ол реттік топологияда (төменде анықталған) байланысты. Реттелген өрістер анықтамасы бойынша толық реттелген. Олар рационал және нақты сандарды қамтиды. Кез келген реттелген өріс рационал сандарға изоморфты реттелген қосалқы өрісті қамтиды. Кез келген Дедекинд толық реттелген өріс нақты сандарға изоморфты. Әліпби әріптері стандартты сөздік тәртібімен реттелген, мысалы, A < B < C және т.б., қатаң жалпы тәртіп болып табылады.
The natural numbers form an initial non empty totally ordered set with no upper bound. The integers form an initial non empty totally ordered set with neither an upper nor a lower bound. The rational numbers form an initial totally ordered set which is dense in the real numbers. Moreover, the reflexive reduction < is a dense order on the rational numbers. The real numbers form an initial unbounded totally ordered set that is connected in the order topology (defined below). Ordered fields are totally ordered by definition. They include the rational numbers and the real numbers. Every ordered field contains an ordered subfield that is isomorphic to the rational numbers. Any Dedekind complete ordered field is isomorphic to the real numbers. The letters of the alphabet ordered by the standard dictionary order, e. g., A < B < C etc., is a strict total order.
Тізбектер
Термин "тізбек" кейде толық реттелген жиынның синонимі ретінде анықталады, бірақ көбінесе бұл ішінара реттелген жиынның толық реттелген кіші жиынына, индукцияланған реттелу бойынша сілтеме жасау үшін қолданылады. Әдетте, ішінара реттелген жиын – берілген жиынның кіші жиындарының жиыны болып табылады, ол кірігу арқылы реттелген, ал термин тізбектер жиынының қасиеттерін көрсету үшін пайдаланылады. Жинақтардың көп деңгейлі ұялануы терминнің пайдалылығын түсіндіреді. Тізбекті толық реттелген кіші жиынды атау үшін қолданудың кең таралған мысалы – Зорн леммасы, ол егер X ішінара реттелген жиындағы әрбір тізбектің X-те жоғарғы шегі болса, онда X-те кемінде бір максималды элемент бар деп тұжырымдайды. Зорн леммасы көбінесе X-тің кіші жиындар жиыны ретінде қолданылады; мұндай жағдайда жоғарғы шек X-тегі тізбек элементтерінің бірігуі X-те екенін дәлелдеу арқылы алынады. Осылайша векторлық кеңістікте Гамель негіздерінің және сақинада максималды идеалдардың бар екенін дәлелдеуге болады. Кейбір жағдайларда қарастырылатын тізбектер табиғи сандарға олардың әдеттегі ретімен немесе кері ретімен рет бойынша изоморфты болады. Мұндай жағдайда тізбекті монотонды тізбек деп қарастыруға болады, ал тізбек өсуіне немесе кемуіне байланысты көтерілетін тізбек немесе төмендеуші тізбек деп аталады. Ішінара реттелген жиын төмендеуші тізбек шартын қанағаттандырады, егер әрбір төмендеуші тізбек ақырында тұрақтанса. Мысалы, егер оның төмендеуші тізбек шарты болса, онда рет жақсы негізделген. Сол сияқты, көтерілуші тізбек шарты дегеніміз – әрбір көтерілуші тізбек ақырында тұрақтанады. Мысалы, Ноэтериандық сақина – идеалдары көтерілуші тізбек шартын қанағаттандыратын сақина. Басқа жағдайларда тек шекті жиындар болатын тізбектер қарастырылады. Мұндай жағдайда "шекті тізбек" термині қолданылады, көбінесе "тізбек" деп қысқартылады. Бұл жағдайда тізбектің ұзындығы – тізбектегі жапсасқан элементтер арасындағы теңсіздіктердің саны (немесе жиын кірігуі); яғни тізбектегі элементтер санының бірінен кемі. Осылайша, жеке жиын – нөлдік ұзындығы бар тізбек, ал реттелген жұп – бірлік ұзындығы бар тізбек. Кеңістіктің өлшемдері көбінесе кіші кеңістіктер тізбектерінің максималды ұзындығы ретінде анықталады немесе сипатталады. Мысалы, векторлық кеңістіктің өлшемдері – сызықтық кіші кеңістіктер тізбектерінің максималды ұзындығы, ал коммутативті сақинаның Крулл өлшемдері – жай идеалдар тізбектерінің максималды ұзындығы. "Тізбек" ішінара реттелмеген құрылымдардың кейбір толық реттелген кіші жиындары үшін де қолданылуы мүмкін. Мысалы, полиномдардың тұрақты тізбектері. Тағы бір мысал – "тізбек" терминінің графтардағы жолдың синонимі ретінде қолданылуы.
Жалпы бұйрықтардың шекті саны
Қарапайым санау аргументі кез келген бос емес шекті толық реттелген жиынның (соның салдарынан, оның бос емес кез келген ішкі жиынының) ең кіші элементі болатынын көрсетеді. Осылайша, кез келген шекті толық реттелу, шын мәнінде, жақсы реттелу болып табылады. Тікелей дәлелдеу арқылы немесе кез келген жақсы реттелудің рет бойынша ординалға изоморфты екенін ескере отырып, кез келген шекті толық реттелудің < белгісімен реттелген натурал сандардың бастапқы кесіндісіне рет бойынша изоморфты екенін көрсетуге болады. Басқаша айтқанда, k элементі бар жиынның толық реттелуі, алғашқы k натурал санымен биекция тудырады. Сондықтан, шекті толық реттелулерді немесе ω типті жақсы реттелулерді, ретті сақтайтын тәсілмен (нөлден бастап немесе бірден бастап) натурал сандармен индекстеу жиі қолданылады.
Категориялық теория
Толық реттелген жиынтықтар, ішінара реттелген жиынтықтар санатының толық кіші санатын құрайды, мұнда морфизмдер – тәртіпті сақтайтын бейнелеулер, яғни егер a ≤ b болса, онда f(a) ≤ f(b) шартын орындайтын f бейнелеулері. Екі толық реттелген жиын арасындағы тәртіптерді сақтайтын биективті бейнелеу осы санаттағы изоморфизм болып табылады.
Шешімділік
Толық реттердің бірінші реттік теориясы шешімді, яғни барлық толық реттер үшін бірінші реттік тұжырымдардың дұрыстығын анықтауға алгоритм бар. S2S-те интерпретацияны қолдану арқылы, саналатын толық реттердің монадтық екінші реттік теориясы да шешімді.
Толық реттелген жиынтықтардың Картезиан көбейтіндісі бойынша тапсырыстар
Екі толық реттелген жиынтықты алып, Картезиан көбейтіндісіне реттілік қоюдың бірнеше тәсілі бар, бірақ нәтижедегі реттілік тек ішінара болуы мүмкін. Міне, осы мүмкін болатын реттіліктердің үшеуі, әрқайсысы келесісінен күштірек ретімен тізімделген: Лексикографиялық реттілік: (a, b) ≤ (c, d) егер және тек қана a < c немесе (a = c және b ≤ d) болса. Бұл толық реттілік. (a, b) ≤ (c, d) егер және тек қана a ≤ c және b ≤ d болса (көбейтінді реттілігі). Бұл ішінара реттілік. (a, b) ≤ (c, d) егер және тек қана (a < c және b < d) немесе (a = c және b = d) болса (сәйкес қатаң толық реттіліктердің тікелей көбейтіндісінің рефлексивті жабылуы). Бұл да ішінара реттілік. Осы реттіліктердің әрқайсысы келесісін кеңейтеді, яғни егер x ≤ y көбейтінді реттілігінде болса, онда бұл қатынас лексикографиялық реттілікте де орындалады, және т.б. Үшеуі де екіден астам жиынның Картезиан көбейтіндісі үшін ұқсас түрде анықталуы мүмкін. Rn векторлық кеңістігіне қолданғанда, олардың әрқайсысы оны реттелген векторлық кеңістікке айналдырады. Сондай-ақ, ішінара реттелген жиынтықтардың мысалдарын қараңыз. Rn-нің ішкі жиынында анықталған n нақты айнымалының нақты функциясы қатаң әлсіз реттілік және осы ішкі жиындағы сәйкес толық алдын ала реттілік анықтайды.
Lexicographical order: (a,b) ≤ (c,d) if and only if a < c or (a = c and b ≤ d). This is a total order. (a,b) ≤ (c,d) if and only if a ≤ c and b ≤ d (the product order). This is a partial order. (a,b) ≤ (c,d) if and only if (a < c and b < d) or (a = c and b = d) (the reflexive closure of the direct product of the corresponding strict total orders). This is also a partial order. Each of these orders extends the next in the sense that if we have x ≤ y in the product order, this relation also holds in the lexicographic order, and so on. All three can similarly be defined for the Cartesian product of more than two sets. Applied to the vector space Rn, each of these make it an ordered vector space. See also examples of partially ordered sets. A real function of n real variables defined on a subset of Rn defines a strict weak order and a corresponding total preorder on that subset.
Қатынасты құрылымдар
Антисимметриялық, транзитивті және рефлексивті (бірақ міндетті түрде толық емес) екілік қатынас – ішінара тәртіп болып табылады. Үйлесімді толық тәртіпке ие топ – толық реттелген топ. Толық тәртіптің редукциялары (бір-бірін анықтауға болатын) бірнеше ғана тривиальды емес құрылымдар бар. Бағытты ұмыту нәтижесінде аралық қатынас пайда болады. Шеттерінің орналасуын ұмыту циклдік тәртіпке алып келеді. Екі деректі де ұмыту арқылы ажырату қатынасы құрылады.