Кіріспе
Өріс теориясы – өрістерді зерттейтін математиканың саласы. Бұл пәннің кейбір терминдерінің глоссарийі. (Физикадағы осыған қатысы жоқ өріс теориялары үшін өріс теориясы (физика) мақаласын қараңыз.)
Field theory is the branch of mathematics in which fields are studied. This is a glossary of some terms of the subject. (See field theory (physics) for the unrelated field theories in physics.)
Негізгі анықтамалар
Сипаттамасы F өрісінің сипаттамасы – 1=n·1 = 0 болатын ең кіші оң бүтін сан n; мұнда n·1 – 1 + 1 + 1 + … + 1 (n қосылғыш) жиынтығын білдіреді. Егер мұндай n болмаса, онда сипаттамасы нөл деп айтамыз. Кез келген нөлдік емес сипаттама – жай сан. Мысалы, рационал сандар, нақты сандар және p-адық сандар 0 сипаттамасына ие, ал p жай сан болатын шекті өріс Zp, p сипаттамасына ие.
Кіші өріс F өрісінің кіші өрісі – F өрісінің + және * операциялары бойынша жабық, F-тың ішкі жиыны және осы операциялармен өзі өріс құрайды.
Негізгі өріс F өрісінің негізгі өрісі – F өрісінің ең кіші бірегей кіші өрісі.
Кеңейту өрісі Егер F, E өрісінің кіші өрісі болса, онда E – F өрісінің кеңейту өрісі. Сонда E/F – өріс кеңейтуі де дейміз.
Кеңейту дәрежесі E/F кеңейтуді қарастыра отырып, E өрісін F өрісі үстіндегі векторлық кеңістік ретінде қарастыруға болады, ал осы векторлық кеңістіктің өлшемі – кеңейту дәрежесі, ол [E: F] арқылы белгіленеді.
Шектеулі кеңейту Шектеулі кеңейту – дәрежесі шекті өріс кеңейтуі.
Алгебралық кеңейту Егер кеңейту өрісінің α элементі F[x]-тегі нөлдік емес көпмүше түбірі болса, онда α, F үстінде алгебралық болады. Егер E-нің әрбір элементі F үстінде алгебралық болса, онда E/F – алгебралық кеңейту.
Генератор жиынтығы E/F өріс кеңейтуі және E-нің S ішкі жиынтығы берілген болса, F(S) – F және S екеуін де қамтитын E-нің ең кіші кіші өрісі үшін жазамыз. Ол F және S элементтерінде +, -, *, / операцияларын қайталап қолдану арқылы алынатын E-нің барлық элементтерінен тұрады. Егер E = F(S) болса, онда E, F үстінде S арқылы туындайды дейміз.
Примитивті элемент Егер E = F(α) болса, кеңейту өрісінің E, F өрісі үстіндегі α элементі, α-ны қамтитын ең кіші кеңейту өрісі болса, онда α – примитивті элемент деп аталады. Мұндай кеңейту – қарапайым кеңейту деп аталады.
Бөлу өрісі – көпмүшені толық факторлау арқылы туындайтын өріс кеңейтуі.
Нормалды кеңейту – көпмүшелер жиынының толық факторлауы арқылы туындайтын өріс кеңейтуі.
Бөлінетін кеңейту – бөлінетін көпмүшелердің түбірлері арқылы туындайтын кеңейту.
Жақсы өріс – әрбір шекті кеңейтуі бөлінетін өріс. Барлық нөлдік сипаттағы және барлық шекті өрістер жақсы.
Жеткіліксіз дәрежесі F, p > 0 сипаттамалы өріс болсын; онда Fp – кіші өріс. [F: Fp] дәрежесі – F-тің жеткіліксіз дәрежесі деп аталады. F өрісі жақсы, егер және тек қана оның жеткіліксіз дәрежесі 1 болса. Мысалы, егер F, p > 0 сипаттамалы шекті өрістегі n айнымалының функциялық өрісі болса, онда оның жеткіліксіз дәрежесі pn болады.
Алгебралық жабық өріс F өрісі алгебралық жабық, егер F[x]-тегі әрбір көпмүше F-те түбірге ие болса; эквивалентті түрде: F[x]-тегі әрбір көпмүше сызықтық факторлардың көбейтіндісі.
Алгебралық жабылу F өрісінің алгебралық жабылуы – F-тің алгебралық кеңейтуі, ол алгебралық жабық. Әрбір өрістің алгебралық жабылуы бар, және ол F-ті бекітетін изоморфизмге дейін бірегей.
Трансцендентті F кеңейту өрісінің F үстінде алгебралық емес элементтері F үстінде трансцендентті болып табылады.
Алгебралық тәуелсіз элементтер F кеңейту өрісінің элементтері, егер олар F-тегі коэффициенттері бар нөлдік емес көпмүше теңдеуді қанағаттандырмаса, F-ке алгебралық тәуелсіз элементтер болып табылады.
Трансценденттік дәрежесі – өріс кеңейтуіндегі алгебралық тәуелсіз трансценденттік элементтердің саны. Ол алгебралық сорттың өлшемін анықтау үшін қолданылады.
Subfield A subfield of a field F is a subset of F which is closed under the field operation + and * of F and which, with these operations, forms itself a field. Prime field The prime field of the field F is the unique smallest subfield of F.
Extension field If F is a subfield of E then E is an extension field of F. We then also say that E/F is a field extension. Degree of an extension Given an extension E/F, the field E can be considered as a vector space over the field F, and the dimension of this vector space is the degree of the extension, denoted by [E : F]. Finite extension A finite extension is a field extension whose degree is finite. Algebraic extension If an element α of an extension field E over F is the root of a non zero polynomial in F[x], then α is algebraic over F. If every element of E is algebraic over F, then E/F is an algebraic extension. Generating set Given a field extension E/F and a subset S of E, we write F(S) for the smallest subfield of E that contains both F and S. It consists of all the elements of E that can be obtained by repeatedly using the operations +, −, *, / on the elements of F and S. If 1=E = F(S), we say that E is generated by S over F.
Primitive element An element α of an extension field E over a field F is called a primitive element if E=F(α), the smallest extension field containing α. Such an extension is called a simple extension. Splitting field A field extension generated by the complete factorisation of a polynomial. Normal extension A field extension generated by the complete factorisation of a set of polynomials. Separable extension An extension generated by roots of separable polynomials. Perfect field A field such that every finite extension is separable. All fields of characteristic zero, and all finite fields, are perfect. Imperfect degree Let F be a field of characteristic p > 0; then Fp is a subfield. The degree [F : Fp] is called the imperfect degree of F. The field F is perfect if and only if its imperfect degree is 1. For example, if F is a function field of n variables over a finite field of characteristic p > 0, then its imperfect degree is pn. Algebraically closed field A field F is algebraically closed if every polynomial in F[x] has a root in F; equivalently: every polynomial in F[x] is a product of linear factors. Algebraic closure An algebraic closure of a field F is an algebraic extension of F which is algebraically closed. Every field has an algebraic closure, and it is unique up to an isomorphism that fixes F.
Transcendental Those elements of an extension field of F that are not algebraic over F are transcendental over F.
Algebraically independent elements Elements of an extension field of F are algebraically independent over F if they don't satisfy any non zero polynomial equation with coefficients in F.
Transcendence degree The number of algebraically independent transcendental elements in a field extension. It is used to define the dimension of an algebraic variety.
Галуа теориясы
Галуа кеңейтуі – қалыпты, ажыратылатын өріс кеңейтуі. Галуа тобы – Галуа кеңейтуінің автоморфизмдер тобы. Егер ол шекті кеңейту болса, онда бұл топтың реті кеңейту дәрежесіне тең болады. Шегінсіз кеңейтулер үшін Галуа топтары прокөк топтар болып табылады. Куммер теориясы – бірлік түбірлерінің жеткілікті саны болған жағдайда n-ші түбірлерді алуға арналған Галуа теориясы. Ол квадраттық кеңейтулердің жалпы теориясын қамтиды. Артин-Шрайер теориясы – р сипаттамасында Куммер теориясының ерекше жағдайын қарастырады. Нормальдік база – L-дің K-ға қарағандағы векторлық кеңістігіндегі база, оған L-дің K-ға қарағандағы Галуа тобы транзитивті әрекет етеді. Өрістердің тензорлық көбейтіндісі – алгебраның тағы бір негізгі бөлігі, оның ішінде өрістерді қосу (композит) операциясы бар.
Normal basis A basis in the vector space sense of L over K, on which the Galois group of L over K acts transitively. Tensor product of fields A different foundational piece of algebra, including the compositum operation (join of fields).
Галуа теориясының кеңейтулері
Галуа теориясының кері мәселесі – G тобы берілген болса, G-ні Галуа тобы ретінде қабылдайтын рационал сандардың немесе басқа да өрістің кеңейтілуін табу. Дифференциалдық Галуа теориясы – дифференциалдық теңдеулердің симметриялық топтарын Галуа теориясының дәстүрлі әдістерімен зерттейтін сала. Бұл идея бұрыннан бар, және Софус Ли Lie топтарының теориясын құрған кезде оның біріңғай ынтасы болды. Ол, әзірге, толыққанды түрін алған жоқ. Гротендиктің Галуа теориясы – алгебралық геометриядан туындаған, негізгі топтың аналогын зерттеу үшін ұсынылған абстрактілі тәсіл.