Введение
Теория поля — это раздел математики, изучающий поля. Это глоссарий некоторых терминов данной области. (См. теорию поля (физика) для несвязанных теорий поля в физике.)
Field theory is the branch of mathematics in which fields are studied. This is a glossary of some terms of the subject. (See field theory (physics) for the unrelated field theories in physics.)
Основные определения
Характеристика Характеристика поля F — наименьшее положительное целое число n, такое что 1 = n⋅1 = 0; здесь n⋅1 обозначает сумму n единиц: 1 + 1 + 1 + … + 1. Если такого n не существует, то характеристика считается равной нулю. Каждая ненулевая характеристика является простым числом. Например, рациональные числа, действительные числа и p-адические числа имеют характеристику 0, а конечное поле Zp, где p — простое число, имеет характеристику p.
Подполе Подполе поля F — это подмножество F, замкнутое относительно полевых операций сложения (+) и умножения (*) в F, которое само образует поле с этими операциями.
Первичное поле Первичное поле поля F — это единственное наименьшее подполе F.
Поле расширения Если F является подполем E, то E является полем расширения F. Также говорят, что E/F — расширение поля.
Степень расширения Для расширения E/F поле E можно рассматривать как векторное пространство над полем F, и размерность этого векторного пространства называется степенью расширения и обозначается [E : F].
Конечное расширение Конечное расширение — это расширение поля, имеющее конечную степень.
Алгебраическое расширение Если элемент α поля расширения E/F является корнем ненулевого многочлена в F[x], то α называется алгебраическим над F. Если каждый элемент E алгебраичен над F, то E/F — алгебраическое расширение.
Совокупность, порождающая расширение Для расширения поля E/F и подмножества S из E, F(S) обозначает наименьшее подполе E, содержащее как F, так и S. Оно состоит из всех элементов E, которые можно получить, последовательно применяя операции сложения (+), вычитания (−), умножения (*) и деления (/) к элементам F и S. Если E = F(S), то говорят, что E порождено S над F.
Первообразный элемент Элемент α поля расширения E над полем F называется первообразным элементом, если E = F(α), то есть наименьшее поле расширения, содержащее α. Такое расширение называется простым расширением.
Поле расщепления Расширение поля, порожденное полным разложением многочлена на множители.
Нормальное расширение Расширение поля, порожденное полным разложением множества многочленов на множители.
Разделимое расширение Расширение, порожденное корнями разделимых многочленов.
Совершенное поле Поле, в котором каждое конечное расширение является разделимым. Все поля характеристики 0 и все конечные поля являются совершенными.
Несовершенная степень Пусть F — поле характеристики p > 0; тогда Fp является подполем. Степень [F : Fp] называется несовершенной степенью F. Поле F является совершенным тогда и только тогда, когда его несовершенная степень равна 1. Например, если F — поле функций от n переменных над конечным полем характеристики p > 0, то его несовершенная степень равна pn.
Алгебраически замкнутое поле Поле F называется алгебраически замкнутым, если каждый многочлен в F[x] имеет корень в F; эквивалентно, каждый многочлен в F[x] является произведением линейных множителей.
Алгебраическое замыкание Алгебраическое замыкание поля F — это алгебраическое расширение F, которое является алгебраически замкнутым. Каждое поле имеет алгебраическое замыкание, и оно единственно с точностью до изоморфизма, фиксирующего F.
Трансцендентный Элементы поля расширения F, которые не являются алгебраическими над F, называются трансцендентными над F.
Алгебраически независимые элементы Элементы поля расширения F называются алгебраически независимыми над F, если они не удовлетворяют никакому нетривиальному полиномиальному уравнению с коэффициентами в F.
Степень трансцендентности Количество алгебраически независимых трансцендентных элементов в расширении поля. Она используется для определения размерности алгебраического многообразия.
Subfield A subfield of a field F is a subset of F which is closed under the field operation + and * of F and which, with these operations, forms itself a field. Prime field The prime field of the field F is the unique smallest subfield of F.
Extension field If F is a subfield of E then E is an extension field of F. We then also say that E/F is a field extension. Degree of an extension Given an extension E/F, the field E can be considered as a vector space over the field F, and the dimension of this vector space is the degree of the extension, denoted by [E : F]. Finite extension A finite extension is a field extension whose degree is finite. Algebraic extension If an element α of an extension field E over F is the root of a non zero polynomial in F[x], then α is algebraic over F. If every element of E is algebraic over F, then E/F is an algebraic extension. Generating set Given a field extension E/F and a subset S of E, we write F(S) for the smallest subfield of E that contains both F and S. It consists of all the elements of E that can be obtained by repeatedly using the operations +, −, *, / on the elements of F and S. If 1=E = F(S), we say that E is generated by S over F.
Primitive element An element α of an extension field E over a field F is called a primitive element if E=F(α), the smallest extension field containing α. Such an extension is called a simple extension. Splitting field A field extension generated by the complete factorisation of a polynomial. Normal extension A field extension generated by the complete factorisation of a set of polynomials. Separable extension An extension generated by roots of separable polynomials. Perfect field A field such that every finite extension is separable. All fields of characteristic zero, and all finite fields, are perfect. Imperfect degree Let F be a field of characteristic p > 0; then Fp is a subfield. The degree [F : Fp] is called the imperfect degree of F. The field F is perfect if and only if its imperfect degree is 1. For example, if F is a function field of n variables over a finite field of characteristic p > 0, then its imperfect degree is pn. Algebraically closed field A field F is algebraically closed if every polynomial in F[x] has a root in F; equivalently: every polynomial in F[x] is a product of linear factors. Algebraic closure An algebraic closure of a field F is an algebraic extension of F which is algebraically closed. Every field has an algebraic closure, and it is unique up to an isomorphism that fixes F.
Transcendental Those elements of an extension field of F that are not algebraic over F are transcendental over F.
Algebraically independent elements Elements of an extension field of F are algebraically independent over F if they don't satisfy any non zero polynomial equation with coefficients in F.
Transcendence degree The number of algebraically independent transcendental elements in a field extension. It is used to define the dimension of an algebraic variety.
Теория Галуа
Расширение Галуа Нормальное, сепарабельное расширение поля. Группа Галуа Группа автоморфизмов расширения Галуа. Если это конечное расширение, то это конечная группа порядка, равного степени расширения. Группы Галуа для бесконечных расширений — проконечные группы. Теория Куммера Теория Галуа об извлечении корней n-й степени, при наличии достаточного количества корней из единицы. Она включает в себя общую теорию квадратичных расширений. Теория Артина — Шрайера Охватывает частный случай теории Куммера в характеристике p. Нормальный базис Базис в смысле векторного пространства L над K, на котором группа Галуа L над K действует транзитивно. Тензорное произведение полей Другой фундаментальный раздел алгебры, включающий операцию композитума (объединения полей).
Normal basis A basis in the vector space sense of L over K, on which the Galois group of L over K acts transitively. Tensor product of fields A different foundational piece of algebra, including the compositum operation (join of fields).
Расширения теории Галуа
Обратная задача теории Галуа. Дана группа G, требуется найти расширение поля рациональных чисел или другого поля, для которого G является группой Галуа. Дифференциальная теория Галуа – область, изучающая группы симметрий дифференциальных уравнений в духе классической теории Галуа. Это довольно старая идея, и одна из мотиваций, побудивших Софуса Ли основать теорию групп Ли. Вероятно, она до сих пор не приобрела окончательную форму. Теория Галуа Гротендика – весьма абстрактный подход из алгебраической геометрии, разработанный для изучения аналога фундаментальной группы.