Кіріспе

Геометрияда инверсивті геометрия – бұрыштарды сақтайтын түрлендірулерді зерттеу, яғни Евклид жазықтығындағы шеңберлер мен түзулерді басқа шеңберлерге немесе түзулерге бейнелейтін және қиылысатын қисықтар арасындағы бұрыштарды сақтайтын түрлендіру. Инверсия қолданылғанда геометриядағы көптеген қиын мәселелер шешуге оңай түседі. Инверсияны бірнеше ғалым дербес түрде ашқан, олардың ішінде Штайнер (1824), Кветел (1825), Беллавитис (1836), Стаббс пен Инграм (1842–1843) және Келвин (1845) бар. Инверсия ұғымын жоғары өлшемді кеңістіктерге де қолдануға болады.

Нүктедің кері

Арифметикада санды кері айналдыру әдетте оның кері шамасын алуды білдіреді. Геометриядағы осыған ұқсас идея – нүктені "кері айналдыру". Жазықтықта, центрі O және радиусы r болатын анықтама шеңберіне (Ø) қатысты P нүктесінің кері нүктесі P нүктесі болып табылады, ол O нүктесінен P нүктесі арқылы өтетін сәуледе жатады. Бұл шеңберлік инверсия немесе жазықтық инверсиясы деп аталады. Инверсия кез келген P нүктесін (O нүктесінен басқа) оның P бейнесіне айналдырса, P нүктесін де қайта P нүктесіне айналдырады, сондықтан бірдей инверсияны екі рет қолдану нәтижесі – өзін-өзі инверсиялайтын (яғни инволюция) сәйкес түрлендіру болады. Инверсияны O нүктесі үшін де анықталған толық функция ету үшін шексіз нүкте енгізу қажет, ол барлық түзулерде орналасқан бір нүкте, және инверсияны анықтама бойынша, орталық O мен осы шексіз нүктені алмастыру арқылы кеңейту керек. Анықтамадан белгілі болғандай, анықтама шеңберінің ішіндегі кез келген нүктенің инверсиясы одан сыртта болуы керек, және керісінше, орталық пен шексіз нүкте орналасқан жерін өзгертеді, ал шеңбердегі кез келген нүкте өзгермейді (инверсия кезінде инвариант болады). Қорыта айтқанда, шеңбердің ішіндегі нүкте үшін, нүкте ортаға неғұрлым жақын болса, оның бейнесі соғұрлым алысқа жылжиды. Ал кез келген нүкте үшін (шеңбердің ішінде немесе сыртында), нүкте шеңберге неғұрлым жақын болса, оның бейнесі соғұрлым жақын болады.

Қолдану

Инверсия ортасынан өтпейтін шеңбер үшін, айналған шеңбердің орталығы және оның айналған кескінінің орталығы, эталондық шеңбердің орталығымен бір түзуде жатады. Бұл факт үшбұрыштың іштей қағысқан үшбұрышының Эйлер сызығы оның ОИ сызығымен сәйкес келетінін дәлелдеуге қолданылуы мүмкін. Дәлел шамамен төмендегідей жүреді:

АВС үшбұрышының іштей шеңберіне қатысты инверсия жасаңыз. Іштей қағысқан үшбұрыштың ортаңғы үшбұрышы АВС үшбұрышына айналады, яғни ортаңғы үшбұрыштың шеңбер ортасы, яғни іштей қағысқан үшбұрыштың тоғыз нүктелі ортасы, АВС үшбұрышының ішкі ортасы және шеңбер ортасы бір түзуде жатады. Кез келген қиылыспайтын екі шеңбер концентрлі шеңберлерге айналуы мүмкін. Содан кейін инверсивтік қашықтық (әдетте δ деп белгіленеді) екі концентрлі шеңбердің радиустарының қатынасының табиғи логарифмі ретінде анықталады. Сонымен қатар, кез келген екі қиылыспайтын шеңбер антисимиллитуд шеңберінің нүктесіндегі ортасы бар инверсия шеңбері арқылы сәйкес шеңберлерге айналуы мүмкін. Пейселье-Липкин механизмі – шеңбердегі инверсияның механикалық іске асырылуы. Ол сызықтық және дөңгелек қозғалысты түрлендірудің маңызды мәселесіне нақты шешім ұсынады.

Үш өлшемді

Дөңгелек инверсиясы үш өлшемде сфера инверсиясына жалпыланады. 3D кеңістіктегі O центрінде және R радиусы бар эталондық сфераға қатысты P нүктесінің инверсиясы – бұл OP бағытындағы P’ нүктесі болып табылады, мұндағы қашықтықтар кері пропорционалды. 2D нұсқасындағы сияқты, сфера сфераға инверсияланады, бірақ егер сфера эталондық сфераның O центрі арқылы өтетін болса, онда ол жазықтыққа инверсияланады. O центрі арқылы өтетін кез келген жазықтық O нүктесіне жанасатын сфераға инверсияланады. Шардың секунт жазықтықпен қиылысы болып табылатын дөңгелек, дөңгелекке инверсияланады, бірақ егер дөңгелек O центрі арқылы өтетін болса, ол түзуге инверсияланады. Егер секунт жазықтық O центрі арқылы өтетін болса, бұл жағдай 2D жағдайға дейін тосып қалады, бірақ секунт жазықтық O центрі арқылы өтпесе, бұл нағыз 3D құбылысы болып табылады.

Сфера

Ең қарапайым бет (жазықтықтан басқа) – шар. Бірінші суретте шардың тривиальды емес инверсиясы (шардың центрі инверсия центрі емес) және екі өзара перпендикуляр қиылысатын шеңберлер жиыны көрсетілген.

Цилиндр, конус, тор

Цилиндрдің, конустың немесе тордың инверсиясы Дупин циклидін береді.

Сфероид

Сфероид – айналу беті болып табылады және шеңберлер жиынына (қарындаш) түсірілген шеңберлер жиынына (қарындаш) бейнеленеді (суретті қараңыз). Сфероидтың кері бейнесі – 4-дәрежелі бет.

Бір парақтан жасалған гиперболоид

Бір қабатты гиперболоид, бұл айналу беті, шеңберлер шоғырын қамтиды, ол шеңберлер шоғырына бейнеленеді. Бір қабатты гиперболоидта одан әрі екі түзулер шоғыры бар, олар шеңберлер шоғырына бейнеленеді. Суретте осындай бір түзу (көк түс) және оның инверсиясы көрсетілген.

Стереографиялық проекция сфераның инверсиясы ретінде

Стереографиялық проекция әдетте сфераны сфераның бір нүктесінен (солтүстік полюс) қарама-қарсы нүктедегі (оңтүстік полюс) тангенттік жазықтыққа проекциялайды. Бұл түрлендіруді сфераны оның тангенттік жазықтығына инверсиялау арқылы жүзеге асыруға болады. Егер проекцияланатын сфераның теңдеуі болса (немесе орталығы , радиусы , суретте жасыл түспен көрсетілген), онда ол бірлік сферадағы (қызыл) инверсия арқылы нүктесіндегі тангенттік жазықтыққа түсіріледі. Инверсия орталығы (нүктесі) арқылы өтетін түзулер өзгермейді. Олар стереографиялық проекцияның проекциялық түзулері болып табылады.

6 сфералық координаттар

6 сфералық координаттар — декартық координаттарды инверсиялау арқылы алынған үш өлшемді кеңістік үшін координаттар жүйесі.

Аксиоматика және жалпылау

Инверсивті геометрияның негіздерін алғаш зерттегендердің бірі 1911 және 1912 жылдары Марио Пьери болды. Эдвард Каснер «Инверсия тобының инвариантты теориясы» тақырыбында диссертация қорғады. Жақында ғана инверсивті геометрияның математикалық құрылымы, жалпыланған шеңберлер «блоктар» деп аталатын инциденттік құрылым ретінде қарастырылуда: Инциденттік геометрияда кез келген аффиндік жазықтық, бір шексіз нүктемен бірге Мёбиус жазықтығын құрайды, ол инверсивті жазықтық деп те белгілі. Шексіздіктегі нүкте барлық түзулерге қосылады. Бұл Мёбиус жазықтықтары аксиомалық түрде сипатталуы мүмкін және шекті де, шексіз де түрлері бар. Евклид жазықтығынан туындаған Мёбиус жазықтығының моделі – Риман сферасы.

Өзгермейтін

4 нүкте арасындағы қима қатынасы инверсия кезінде өзгермейді. Атап айтқанда, егер O инверсияның орталығы болса және L сызығының ұштарына дейінгі арақашықтықтар болса, онда L сызығының ұзындығы радиусы 1-ге тең инверсиядан кейін болады. Инвариант:

Эрланген бағдарламасымен байланысы

Коксетердің сөзіне сәйкес, шеңберде инверсия арқылы түрлендіруді 1831 жылы Л. И. Магнус ойлап тапқан. Осыдан бері бұл бейнелеу жоғары математиканың бір саласы болып дамыды. Шеңберлік инверсияны қолданудың бірнеше қадамы арқылы түрлендіру геометриясын зерттейтін студент Феликс Клейннің Эрланген бағдарламасының маңыздылығын оңай түсінеді, ол гиперболалық геометрияның кейбір модельдерінен туындаған.

Дилатация

Концентрлі шеңберлердегі екі инверсияның қосылуы ұқсастық, гомотетиялық түрлендіру немесе шеңбер радиустарының қатынасымен анықталатын кеңеюге әкеледі.

Жоғары геометрия

Жоғарыда айтылғандай, нөл, бастапқы нүкте, шеңберлік инверсияны бейнелеуде ерекше қарастыруды қажет етеді. Бұл тәсіл – шексіздік нүктесін ∞ немесе 1/0 деп белгілеп қосу болып табылады. Комплекс сандар тәсілінде, қайтымдылық көрінетін амал ретінде қарастырылса, бұл процедура күрделі проективтік түзуге, көбінесе Риман сферасы деп аталатын нәрсеге алып келеді. Белтрами, Кейли және Клейн гиперболалық геометрияның алғашқы үлгілерін жасау үшін осы кеңістіктің және бейнелеулер тобының ішкі кеңістіктері мен ішкі топтарын қолданды. Осылайша, инверсивтік геометрия Лобачевский мен Болайдың жазық геометриясында туған идеяларын қамтиды. Бұдан әрі, Феликс Клейн геометриялық құбылыстарды анықтау үшін бейнелеулердің осы мүмкіндігіне настолько тәнті болды, ол 1872 жылы Эрланген бағдарламасы деп аталатын манифест жариялады. Содан бері көптеген математиктер геометрия терминін кеңістік пен осы кеңістіктің бейнелеулер тобының бірлестігі ретінде сақтайды. Геометриядағы фигуралардың маңызды қасиеттері – осы топта өзгермейтін қасиеттері болып табылады. Мысалы, Смогоржевский Лобачевский геометриясын бастамас бұрын инверсивтік геометрияның бірнеше теоремаларын жасайды.

Антиконформальды карталау қасиеттері

Дөңгелек инверсиялық түрлендіру антиконформды, яғни кез келген нүктеде бұрыштарды сақтайды және бағытын өзгертеді (түрлендіру бағытталған бұрыштарды сақтаса, ол конформды деп аталады). Алгебралық тұрғыдан алғанда, түрлендіру антиконформды болады, егер кез келген нүктедегі Якобиан теріс детерминанты бар ортогональды матрицаға скалярлық еселенгенге тең болса: екі өлшемде Якобиан кез келген нүктеде скалярлық еселенген шағылыс болуы керек. Яғни, егер J – Якобиан болса, онда және Якобианды жағдайында есептегенде, онда 1=JJᵀ = kI, мұндағы , және қосымша det(J) теріс; демек, инверсиялық түрлендіру антиконформды. Кешен жазықтықта ең айқын дөңгелек инверсиялық түрлендіру (яғни, бастапқы нүктеде ортасы бар бірлік шеңберді пайдалану) z-ді 1/z-ге түрлендіретін кешен кері түрлендірудің кешендік серігі болып табылады. Кешендік аналитикалық кері түрлендіру конформды, ал оның серігі, дөңгелек инверсиясы, антиконформды. Бұл жағдайда гомография конформды, ал антигомография антиконформды болады.