Введение
Изучение преобразований, сохраняющих углы
В геометрии инверсионная геометрия — это изучение инверсии, преобразования евклидовой плоскости, отображающего окружности или прямые на другие окружности или прямые и сохраняющего углы между пересекающимися кривыми. Многие сложные геометрические задачи становятся гораздо более решаемыми при применении инверсии. Инверсия, по-видимому, была открыта несколькими учеными независимо друг от друга, включая Штайнера (1824), Кетеле (1825), Беллавитиса (1836), Стаббса и Инграма (1842–1843) и Кельвина (1845). Концепция инверсии может быть обобщена на пространства более высокой размерности.
Обратная сторона точки
В арифметике "инвертировать" число обычно означает взять его обратную величину. В геометрии тесно связанной является идея "инверсии" точки. В плоскости инверсной точкой к точке P относительно опорной окружности (Ø) с центром O и радиусом r является точка P', лежащая на луче, исходящем из O и проходящем через P, такая что
Это называется инверсией относительно окружности или инверсией плоскости. Инверсия, отображающая любую точку P (кроме O) в ее образ P', также отображает P' обратно в P, таким образом, повторное применение одной и той же инверсии дает тождественное преобразование, что делает ее самоинверсией (то есть инволюцией). Чтобы инверсия была определена для всех точек, включая O, необходимо ввести точку на бесконечности – единственную точку, лежащую на всех прямых, и по определению расширить инверсию, чтобы она меняла местами центр O и эту точку на бесконечности. Из определения следует, что инверсия любой точки, лежащей внутри опорной окружности, должна находиться вне ее, и наоборот, при этом центр и точка на бесконечности меняются местами, а любая точка на окружности остается неизменной (инвариантна относительно инверсии). Таким образом, для точки внутри окружности, чем ближе она к центру, тем дальше находится ее образ. А для любой точки (внутри или снаружи окружности), чем ближе она к окружности, тем ближе ее образ.
Применение
Для круга, не проходящего через центр инверсии, центр инвертируемого круга и центр его образа при инверсии лежат на одной прямой с центром вспомогательной окружности. Этот факт можно использовать для доказательства того, что прямая Эйлера присоединённого треугольника совпадает с его прямой Ойлера. Доказательство в общих чертах следующее:
Инвертируем относительно вписанной окружности треугольника ABC. Медианный треугольник присоединённого треугольника переходит в треугольник ABC, что означает, что центр описанной окружности медианного треугольника, то есть девятиточечный центр присоединённого треугольника, инцентр и центр описанной окружности треугольника ABC лежат на одной прямой. Любые две непересекающиеся окружности можно инвертировать в концентрические окружности. Затем инверсивное расстояние (обычно обозначаемое δ) определяется как натуральный логарифм отношения радиусов двух концентрических окружностей. Кроме того, любые две непересекающиеся окружности можно инвертировать в равные окружности, используя инвертирующую окружность с центром на окружности антиподобия. Механизм Пёселье-Липкина является механической реализацией инверсии в окружности. Он предоставляет точное решение важной задачи преобразования между линейным и круговым движением.
В трех измерениях
Инверсия круга обобщается на инверсию сферы в трех измерениях. Инверсия точки P в 3D относительно опорной сферы с центром в точке O и радиусом R – это точка P', лежащая на луче, направленном из O в P, такая что… Как и в двумерном случае, сфера инвертируется в сферу, за исключением того, что если сфера проходит через центр O опорной сферы, то она инвертируется в плоскость. Любая плоскость, проходящая через O, инвертируется в сферу, касающуюся точки O. Круг, то есть пересечение сферы с секущей плоскостью, инвертируется в круг, за исключением того, что если круг проходит через O, то он инвертируется в прямую. Это сводится к двумерному случаю, когда секущая плоскость проходит через O, но является истинным трехмерным явлением, если секущая плоскость не проходит через O.
Сфера
Самая простая поверхность (кроме плоскости) — сфера. На первом рисунке показана нетривиальная инверсия сферы (центр сферы не совпадает с центром инверсии) вместе с двумя ортогональными пересекающимися пучками окружностей.
Цилиндр, конус, торус
Инверсия цилиндра, конуса или тора приводит к циклиде Дупина.
Сфероид
Сфероид — это поверхность вращения и содержит пучок окружностей, который отображается в пучок окружностей (см. рисунок). Образ при обратном отображении сфероида — это поверхность четвертой степени.
Гиперболоид из одного листа
Гиперболоид одного листа, являющийся поверхностью вращения, содержит пучок окружностей, который отображается в пучок окружностей. Гиперболоид одного листа содержит также два пучка прямых, которые отображаются в пучки окружностей. На рисунке показана одна из таких прямых (синяя) и её инверсия.
Стереографическая проекция как инверсия сферы
Стереографическая проекция обычно проецирует сферу из точки (северного полюса) сферы на касательную плоскость в противоположной точке (южном полюсе). Это отображение может быть выполнено посредством инверсии сферы относительно её касательной плоскости. Если сфера (подлежащая проецированию) имеет уравнение (также записывается как; центр, радиус, зелёный на рисунке), то она отображается инверсией относительно единичной сферы (красный) на касательную плоскость в точке. Линии, проходящие через центр инверсии (точка), отображаются сами на себя. Они являются линиями проекции стереографической проекции.
Координаты шести сфер
Шесть сферических координат — это система координат для трехмерного пространства, полученная из декартовых координат.
Аксиоматика и обобщение
Одним из первых, кто рассмотрел основы инверсивной геометрии, был Марио Пьери в 1911 и 1912 годах. Эдвард Каснер написал свою диссертацию на тему "Инвариантная теория группы инверсий". В последнее время математическая структура инверсивной геометрии была интерпретирована как структура инцидентности, где обобщённые окружности называются "блоками". В геометрии инцидентности любая аффинная плоскость вместе с одной точкой на бесконечности образует плоскость Мёбиуса, также известную как инверсивная плоскость. Точка на бесконечности добавляется ко всем прямым. Эти плоскости Мёбиуса могут быть описаны аксиоматически и существуют как в конечных, так и в бесконечных вариантах. Моделью плоскости Мёбиуса, происходящей из евклидовой плоскости, является сфера Римана.
Неизменный
Поперечное отношение четырех точек инвариантно относительно инверсии. В частности, если O — центр инверсии, а d₁ и d₂ — расстояния до концов прямой L, то длина отрезка L станет 1/d₁d₂ при инверсии с радиусом 1. Инвариантом является:
Отношение к программе Эрлангена
Согласно Коксетеру, преобразование инверсией относительно окружности было изобретено Л. И. Магнусом в 1831 году. С тех пор это отображение открыло путь к более сложной математике. Пройдя несколько этапов применения преобразования инверсии относительно окружности, изучающий геометрию преобразований вскоре понимает важность Эрлангенской программы Феликса Клейна, вытекающей из определенных моделей гиперболической геометрии.
Расширение
Сочетание двух инверсий в концентрических окружностях приводит к подобию, гомотетии или растяжению, определяемому отношением радиусов окружностей.
Высшая геометрия
Как упоминалось выше, ноль, начало координат, требует особого рассмотрения при инверсии окружности. Подход заключается в присоединении точки на бесконечности, обозначаемой ∞ или 1/0. В подходе с использованием комплексных чисел, где операция обратных величин является очевидной, эта процедура приводит к комплексной проективной прямой, часто называемой сферой Римана. Именно подпространства и подгруппы этого пространства и группы преобразований были использованы для создания ранних моделей гиперболической геометрии Белтрами, Кейли и Клейном. Таким образом, инверсивная геометрия включает в себя идеи, заложенные Лобачевским и Бояи в их планарной геометрии. Более того, Феликс Клейн был настолько впечатлен возможностями этих преобразований для выявления геометрических явлений, что в 1872 году представил манифест – Эрлангенскую программу. С тех пор многие математики резервируют термин "геометрия" для пространства вместе с группой преобразований этого пространства. Существенными свойствами фигур в геометрии являются те, которые инвариантны относительно этой группы. Например, Смогоржевский разрабатывает ряд теорем инверсивной геометрии, прежде чем приступить к изучению геометрии Лобачевского.
Свойство антиконформного отображения
Карта круговой инверсии является антиконформной, что означает, что в каждой точке она сохраняет углы и меняет ориентацию (картой называется конформной, если она сохраняет ориентированные углы). Алгебраически, карта является антиконформной, если в каждой точке её Якобиан является скалярным кратным ортогональной матрице с отрицательным определителем: в двух измерениях Якобиан должен быть скалярным кратным отражению в каждой точке. Это означает, что если J – Якобиан, то и . Вычисление Якобиана в случае , где , дает 1 = JJᵀ = kI, с , и дополнительно det(J) отрицателен; следовательно, инверсивное отображение является антиконформным. В комплексной плоскости наиболее очевидной картой круговой инверсии (т.е. с использованием единичной окружности с центром в начале координат) является комплексное сопряжение комплексной обратной карты, отображающей z в 1/z. Комплексная аналитическая обратная карта является конформной, а её сопряжение, круговая инверсия, является антиконформной. В этом случае гомография является конформной, а антигомография – антиконформной.