Кіріспе

Полиномиялық теңдеуді қанағаттандырмайтын аналитикалық функция. Математикада трансценденттік функция – алгебралық функциядан өзгеше, полиномиялық теңдеуді қанағаттандырмайтын аналитикалық функция. Яғни, трансценденттік функция алгебрадан "асып түседі", оны шектеулі мөлшердегі мүшелерді қолданып алгебралық түрде жазуға болмайды. Трансценденттік функциялардың мысалдарына экспоненциалдық функция, логарифм және тригонометриялық функциялар жатады.

Анықтама

Формальды түрде, бір нақты немесе кешенді z айнымалысының f(z) аналитикалық функциясы, егер ол сол айнымалыдан алгебралық жағынан тәуелсіз болса, трансцендентті болып саналады. Бұл бірнеше айнымалы функцияларына да қатысты қолданылады.

Тарих

Трансцендентальды функциялар – синус және косинус – ежелгі Грекияда (Гиппарх) және Үндістанда (джа және коти джа) физикалық өлшемдер арқылы кестеленген, мұны дәлелдейтін мәліметтер бар. Птолемейдің хордалар кестесін, синус кестесіне баламалы кескішті сипаттағанда Олаф Педерсен былай деп жазды:

Осы шеңберлік функциялар туралы революциялық түсінік 17 ғасырда пайда болды және 1748 жылы Леонхард Эйлер «Шексіздіктерді талдауға кіріспе» еңбегінде оны толық түсіндірді. Бұл ежелгі трансценденттік функциялар Архимед «Параболаның квадратурасын» жасағаннан екі мың жыл өткен соң, 1647 жылы Грегор де Сент-Винсенттің 1=xy=1 тікбұрышты гиперболасын квадратуралау арқылы үздіксіз функциялар ретінде танылды. Гипербола астындағы ауданның шектердің тұрақты қатынасы үшін тұрақты ауданға пропорционалды екені көрсетілді. Гиперболалық логарифм функциясы 1748 жылға дейін шектеулі пайдалы болды, осы уақытта Леонхард Эйлер оны тұрақтының өзгермелі дәрежесіне көтерілуімен байланысты функциялармен, мысалы, экспоненциалдық функциямен (тұрақты негізі e болатын) байланыстырды. Осы трансценденттік функцияларды енгізу және кері функцияны білдіретін биекция қасиетін атап өту арқылы, табиғи логарифмнің алгебралық манипуляцияларына мүмкіндік туды, тіпті ол алгебралық функция болмаса да. Экспоненциалдық функцияны Эйлер шексіз қатар түрінде көрсетті , мұндағы k! – k факториалын білдіреді.

Бұл қатардағы жұп және тақ мүшелер cosh(x) және sinh(x) сомаларын береді, сондықтан бұл трансценденттік гиперболалық функцияларды қатарға (−1)^k енгізу арқылы шеңберлік функциялар – синус және косинусқа айналдыруға болады, нәтижесінде кезектесетін қатарлар пайда болады. Эйлерден кейін математиктер синус пен косинус функцияларын логарифм және экспонента функцияларымен байланыстырады, көбінесе күрделі сандар арифметикасындағы Эйлер формуласы арқылы.

Мысалдар

Оң тұрақты болсын. Келесі функциялар трансценденттік:

Екінші функция үшін, егер біз -ты , табиғи логарифмнің негізіне тең етсек, онда -ның трансценденттік функция екенін аламыз. Сол сияқты, егер біз -ты -қа тең етсек, онда (яғни, табиғи логарифм) трансценденттік функция екенін аламыз.

Алгебралық және трансценденттік функциялар

Ең таныс трансценденттік функциялар – логарифм, экспонента (кез келген тривиалды емес негізде), тригонометриялық және гиперболалық функциялар, сондай-ақ олардың кері функциялары. Анализдің арнайы функциялары, мысалы, гамма, эллипстік және дзета функцияларының барлығы трансценденттік. Жалпыланған гипергеометриялық және Бессель функциялары көбінесе трансценденттік, бірақ кейбір нақты параметрлерде алгебралық болады. Трансценденттік емес функция алгебралық функция деп аталады. Алгебралық функциялардың қарапайым мысалдары – рационалды функциялар және квадрат түбір функциясы, алайда жалпы алғанда алгебралық функцияларды элементарлық функциялардың шекті формулалары арқылы анықтау мүмкін емес. Көптеген алгебралық функциялардың белгісіз интегралы трансценденттік болады. Мысалы, логарифм функциясы гиперболалық сектордың ауданын табу мақсатымен кері функциядан туындаған. Дифференциалдық алгебра интегралдаудың жиі түрде қандай да бір классқа қатысты алгебралық тәуелсіз функцияларды қалай құратынын зерттейді, мысалы, тригонометриялық функцияларды айнымалы ретінде қабылдағандағы полиномдар сияқты.

Трансценденттік трансценденттік функциялар

Көптеген таныс трансценденттік функциялар, математикалық физиканың арнайы функцияларын қоса алғанда, алгебралық дифференциалдық теңдеулердің шешімдері болып табылады. Гамма және дзета функциялары сияқты оларға жатпайтын функциялар трансценденттік трансценденттік немесе гипертрансценденттік функциялар деп аталады.

Өлшеміне талдау

Өлшемдік талдауда трансценденттік функциялар ерекше, себебі олардың аргументі өлшемсіз болғанда ғана мағыналы (мүмкін, алгебралық түрлендіруден кейін). Осы себепті, трансценденттік функциялар өлшемдік қателердің оңай анықталатын көзі болуы мүмкін. Мысалы, log(5 метр) – мағынасыз өрнек, ал log(5 метр / 3 метр) немесе log(3) метр – мағыналы. Логарифмдік өзгешелікті қолданып log(5) + log(метр) алуға тырысуға болады, бұл мәселені көрсетеді: алгебралық емес амалды өлшемге қолдану мағынасыз нәтижелерге әкеледі.