Введение

Аналитическая функция, не удовлетворяющая полиномиальному уравнению.

В математике трансцендентная функция — это аналитическая функция, которая не является решением какого-либо полиномиального уравнения, в отличие от алгебраической функции. Иными словами, трансцендентная функция "выходит за пределы" алгебры, поскольку её нельзя выразить алгебраически с помощью конечного числа операций. Примеры трансцендентных функций включают экспоненциальную функцию, логарифм и тригонометрические функции.

Определение

Формально, аналитическая функция f(z) одной вещественной или комплексной переменной z называется трансцендентной, если она алгебраически независима от этой переменной. Это понятие можно распространить на функции нескольких переменных.

История

Трансцендентальные функции синус и косинус были вычислены на основе физических измерений в древности, что подтверждается данными из Греции (Гиппарх) и Индии (джья и котиджья). Описывая таблицу хорд Птолемея, эквивалентную таблице синусов, Олаф Педерсен писал:

Революционное понимание этих круговых функций произошло в XVII веке и было подробно изложено Леонардом Эйлером в 1748 году в его «Введении в анализ бесконечно малых». Эти древние трансцендентные функции стали известны как непрерывные функции благодаря квадратуре прямоугольной гиперболы 1/xy = 1, выполненной Грегуаром де Сен-Венсаном в 1647 году, спустя два тысячелетия после того, как Архимед создал «Квадратуру параболы». Было показано, что площадь под гиперболой обладает свойством масштабирования – постоянная площадь для постоянного отношения границ. Функция гиперболического логарифма, описанная таким образом, оставалась малоприменимой до 1748 года, когда Леонард Эйлер связал её с функциями, в которых константа возводится в переменную степень, например, с экспоненциальной функцией, где постоянное основание равно *e*. Вводя эти трансцендентные функции и отмечая свойство биекции, подразумевающее существование обратной функции, была обеспечена некоторая возможность для алгебраических преобразований натурального логарифма, даже несмотря на то, что он не является алгебраической функцией. Экспоненциальная функция записывается Эйлером как бесконечный ряд , где k! обозначает факториал k.

Чётные и нечётные члены этого ряда дают суммы, обозначающие cosh(x) и sinh(x), так что эти трансцендентные гиперболические функции можно преобразовать в круговые функции синус и косинус, вводя (−1)^k в ряд, что приводит к образованию знакочередующих рядов. После Эйлера математики стали рассматривать синус и косинус таким образом, чтобы связать трансцендентность с логарифмическими и экспоненциальными функциями, часто посредством формулы Эйлера в комплексной арифметике.

Примеры

Пусть *c* – положительная константа. Следующие функции являются трансцендентными:

Для второй функции, если мы установим *c* равным *e*, основанию натурального логарифма, то мы получим, что *f(x)* является трансцендентной функцией. Аналогично, если мы зададим *c* равным *e* в *f(x)*, то мы получим, что ln(*x*) (то есть, натуральный логарифм) является трансцендентной функцией.

Алгебраические и трансцендентные функции

Наиболее известными трансцендентными функциями являются логарифм, экспоненциальная функция (с любым нетривиальным основанием), тригонометрические и гиперболические функции, а также обратные ко всем этим функциям. Менее известны специальные функции математического анализа, такие как гамма-, эллиптические и дзета-функции, все из которых трансцендентны. Обобщенные гипергеометрические и функции Бесселя обычно являются трансцендентными, но могут быть алгебраическими при некоторых специальных значениях параметров. Функция, не являющаяся трансцендентной, называется алгебраической. Простыми примерами алгебраических функций служат рациональные функции и функция квадратного корня, однако в общем случае алгебраические функции нельзя определить как конечные формулы, выраженные через элементарные функции. Неопределенный интеграл многих алгебраических функций является трансцендентным. Например, логарифмическая функция возникла из обратной функции при попытке найти площадь гиперболического сектора. Дифференциальная алгебра изучает, как интегрирование часто приводит к созданию функций, алгебраически независимых от некоторого класса, например, когда в качестве переменных рассматриваются многочлены, содержащие тригонометрические функции.

Трансцендентально трансцендентальные функции

Большинство известных трансцендентных функций, включая специальные функции математической физики, являются решениями алгебраических дифференциальных уравнений. Те, которые не являются решениями, такие как гамма- и дзета-функции, называются трансцендентно трансцендентными или гипертрансцендентными функциями.

Размерный анализ

В размерностном анализе трансцендентные функции примечательны тем, что имеют смысл только тогда, когда их аргумент безразмерен (возможно, после алгебраического приведения). Из-за этого трансцендентные функции могут быть легко обнаруживаемым источником размерностных ошибок. Например, log(5 метров) – бессмысленное выражение, в отличие от log(5 метров / 3 метра) или log(3) метра. Можно попытаться применить логарифмическое тождество, чтобы получить log(5) + log(метра), что подчеркивает проблему: применение неалгебраической операции к величине с размерностью приводит к бессмысленным результатам.