Кіріспе

Үнді математигі және астрономы (598–668)

Брахмагупта (шамамен 598 – 668 ж.б.) – үнді математигі және астрономы. Ол математика және астрономия саласындағы екі ерте еңбектің авторы: «Брахмасфутасиддханта» (БСС, «Брахманың дұрыс негізделген доктринасы», 628 ж.), теориялық трактат, және «Хандахадаяка» («шағын тістеу», 665 ж.), практикалық сипаттағы мәтін. 628 жылы Брахмагупта алғаш рет гравитацияны тартымды күш ретінде сипаттап, оны атау үшін санскрит тілінде «гурутвакаршанам» (गुरुत्वाकर्षणम्) терминін қолданды. Сонымен қатар, ол өзінің негізгі еңбегі «Брахмасфутасиддханта» кітабында квадраттық теңдеуді шешу формуласын (квадраттық формула) алғаш рет нақты түсіндірді.

Өмір және мансап

Брахмагупта өзінің айтуынша 598 жылы дүниеге келген. Чавда әулеті билеушісі Вяграмукханың тұсында Гурджарадесадағы (қазіргі Раджастхандағы Бхинмал) Бхилламалада туған, оның ата-бабалары Синдтен шыққан болуы мүмкін. Ол Джишнагуптаның ұлы, діні бойынша индус, әсіресе шайва. Өмірінің көп бөлігін осы жерде өткізді. Притхудака Свамин, кейінгі түсіндіруші, оны Бхилламалачарья, Бхилламаладан келген мұғалім деп атады. Бхилламала қазіргі Үндістанның оңтүстік Раджастан мен солтүстік Гуджарат аймағын қамтитын Батыс Үндістанның екінші ірі патшалығы Гурджарадесаның астанасы болды. Сонымен қатар, ол математика мен астрономияны оқыту орталығы болды. Ол осы кезеңде Үнді астрономиясының төрт негізгі мектебінің бірі болған Брахмапакша мектебінің астрономы болды. Ол Үнді астрономиясы бойынша бес дәстүрлі Сиддхантаны, сондай-ақ Арьябхата I, Латадева, Прадьюмна, Варахамихира, Симха, Шрисена, Виджаянандин және Вишнучандра сияқты басқа астрономдардың еңбектерін зерттеді. 628 жылы, 30 жасында, ол «Брахмаспакидханта» («Брахма туралы жетілдірілген трактат») атты еңбегін жазды, ол Брахмапакша астрономия мектебінің қабылданған Сиддхантасының қайта қаралып жаңартылған нұсқасы саналады. Ғалымдар оның қайта қарауына көптеген жаңалықтар енгізгенін айтады, сондай-ақ көптеген жаңа материалдар қосылғанын мәлімдейді. Кітап 24 тараудан тұрады, әр тарауда 1008 шумақ бар. Оның көп бөлігі астрономияға арналған, бірақ сонымен қатар алгебра, геометрия, тригонометрия және алгоритмиканы қамтитын математиканың маңызды тараулары да бар, олардың Брахмагуптаның өзінен жаңа ойлар тудырғанына сенімді. Кейін Брахмагупта Орталық Үндістандағы астрономияның маңызды орталығы болған Уджайниге, Авантиге көшіп барды. 67 жасында ол өзінің тағы бір белгілі еңбегі – «Кханда хадьяканы» жазды, ол студенттерге арналған Үнді астрономиясының практикалық нұсқаулығы болды. Брахмагупта 668 жылы қайтыс болды, және ол Уджайнда қайтыс болды деп есептеледі.

Квадраттар мен кубтар

Содан кейін Брахмагупта бірінші n бүтін санның квадраттары мен кубтарының қосындысын келтіреді. 12.20-да. Квадраттардың қосындысы – [қосындыны] екі еселенген [қадамдар санына] бір қосып, үшке бөлу арқылы шығарылады. Кубтардың қосындысы – осы [қосындының] квадраты. Бірдей шарлары бар үйінділер де осылай есептелуі мүмкін. Брахмагупта нәтижені n-ге емес, алғашқы n бүтін сандардың қосындысына қатысты тапқан, бұл қазіргі заманғы тәжірибеден өзгеше. Ол бірінші n натурал санның квадраттарының қосындысын және бірінші n натурал санның кубтарының қосындысын былай көрсетеді .

Жоқ

Брахмагуптаның "Брахмафутсасиддханта" кітабы – нөлге және теріс сандарға қолданылатын арифметикалық амалдар ережелерін беретін алғашқы кітап. "Брахмафутсасиддханта" – нөлді, бабылдықтар сияқты, басқа санды көрсету үшін жай ғана орын сақтаушы цифр ретінде емес, сондай-ақ Птолемей мен римдіктер сияқты, санның жоқтығын білдіретін символ ретінде емес, дербес сан ретінде қарастыратын ең ерте белгілі мәтін. Брахмагупта өзінің "Брахмафутсасиддханта" еңбегінің он сегізінші тарауында теріс сандармен жұмыс істеуді сипаттайды. Ол бірінші қосу және алу амалдарын сипаттайды: 18.30. Екі оң санның қосындысы оң, екі теріс санның қосындысы теріс; оң сан мен теріс санның қосындысы – олардың айырмасы; егер олар тең болса, нәтижесі нөл. Теріс сан мен нөлдің қосындысы теріс, оң сан мен нөлдің қосындысы оң, ал екі нөлдің қосындысы нөл. [ ] 18.32. Теріс сандан нөлді шығарғанда теріс сан, оң сандан нөлді шығарғанда оң сан шығады, нөлден нөлді шығарғанда нөл шығады. Егер оң санды теріс сандан немесе теріс санды оң сандан алу керек болса, оны қосу керек. Оның теріс сандар мен нөлге қатысты арифметика ережелері қазіргі заманғы түсінікке өте жақын, бірақ қазіргі математикада нөлге бөлу анықталмаған.

Брахмагупта формуласы

Брахмагуптаның геометриядағы ең танымал нәтижесі – циклдік төртбұрыштар формуласы. Кез келген циклдік төртбұрыштың қабырғаларының ұзындығы берілген жағдайда, Брахмагупта фигураның ауданы үшін шамамен және дәл формула берді. <blockquote>12.21. Шамамен есептелген аудан – үшбұрыш пен төртбұрыштың қабырғалары мен қарама-қарсы қабырғаларының жартылай қосындыларының көбейтіндісі. Дәл [аудан] – төртбұрыштың әр қабырғасымен кемітілген қабырғалар жартылай қосындысының көбейтіндісінен алынған квадрат түбір. Герон формуласы осы формуланың ерекше жағдайы болып табылады және оны қабырғаларының біреуін нөлге теңеу арқылы шығаруға болады.

Үшбұрыш

Брахмагупта өзінің еңбектерінің көп бөлігін геометрияға арнады. Бір теорема үшбұрыштың табаны оның биіктігімен бөлінгенде пайда болатын екі кесіндінің ұзындығын анықтайды: 12.22. Табан, қабырғалардың квадраттарының айырмасы табанға бөлінгенде кемиді немесе артады; екеуге бөлгенде нақты кесінділер шығады. Перпендикуляр (биіктік) – бұл қабырғаның квадратынан оның кесіндісінің квадратын қысқартқаннан алынған квадрат түбірі.