Введение

Индийский математик и астроном (598–668)

Брахмагупта (ок. 598 – ок. 668 н.э.) был индийским математиком и астрономом. Он является автором двух ранних трудов по математике и астрономии: «Брахмасфутасиддханта» (BSS, «правильно установленное учение Брахмы», датировано 628 годом) – теоретический трактат, и «Хандахадьяка» («небольшая порция», датировано 665 годом) – более практический текст. В 628 году н.э. Брахмагупта впервые описал гравитацию как силу притяжения и использовал термин «гурутвакаршанам» (गुरुत्वाकर्षणम्) на санскрите для её описания. Ему также приписывают первое чёткое описание квадратной формулы (решения квадратного уравнения) в его основном труде, «Брахмасфутасиддханта».

Жизнь и карьера

Брахмагупта, согласно его собственному заявлению, родился в 598 году н.э. Он родился в Бхилламале, в Гурджарадесе (современный Бхинмал в Раджастане, Индия), во время правления правителя династии Чавда Вяграхамхуки. Его предки, вероятно, происходили из Синдха. Он был сыном Джишнагупты и исповедовал индуизм, в частности, шиваизм. Он прожил и работал там большую часть своей жизни. Позднейший комментатор, Притхудака Свамин, называл его Бхилламалачарьей, учителем из Бхилламалы. Бхилламала была столицей Гурджарадесы, второго по величине королевства Западной Индии, включавшего южный Раджастан и северный Гуджарат в современной Индии. Она также являлась центром изучения математики и астрономии. Он стал астрономом школы Брахмапакша, одной из четырех основных школ индийской астрономии того периода. Он изучал пять традиционных Сиддхант по индийской астрономии, а также труды других астрономов, включая Арьябхату I, Латадеву, Прадьюмна, Варахамихиру, Симху, Срисену, Виджаянандина и Вишнучандру. В 628 году, в возрасте 30 лет, он сочинил «Брахмасфутасиддханта» («улучшенный трактат Брахмы»), который считается пересмотренной версией Сиддханты школы Брахмапакша. Ученые утверждают, что он внес в пересмотр значительную оригинальность, добавив большое количество нового материала. Книга состоит из 24 глав, содержащих 1008 шлок в арийском размере. Большая часть книги посвящена астрономии, но она также содержит ключевые главы по математике, включая алгебру, геометрию, тригонометрию и алгоритмику, которые, как считается, содержат новые идеи, принадлежащие самому Брахмагупте. Позже Брахмагупта переехал в Уджайни, Аванти, крупный центр астрономии в центральной Индии. В возрасте 67 лет он сочинил свою следующую известную работу – «Кхандакхадьяка», практическое руководство по индийской астрономии категории карана, предназначенное для использования студентами. Брахмагупта умер в 668 году н.э., предположительно в Уджайне.

Квадраты и кубы

Затем Брахмагупта приводит формулы для суммы квадратов и кубов первых n целых чисел. 12.20. Сумма квадратов равна [сумме], умноженной на удвоенное [количество ступеней] плюс один, и деленной на три. Сумма кубов равна квадрату этой [суммы]. Также можно вычислить количество таких стопок с одинаковыми шарами. Здесь Брахмагупта выразил результат через сумму первых n целых чисел, а не через n, как принято в современной практике. Он дает формулу для суммы квадратов первых n натуральных чисел, а также формулу для суммы кубов первых n натуральных чисел.

Нуль.

Брахмафутсиддханта Брахмагупты – первая книга, которая предоставляет правила арифметических операций, применимые к нулю и отрицательным числам. Брахмасфутасиддханта – самый ранний известный текст, в котором ноль рассматривается как самостоятельное число, а не просто как цифра-заполнитель для обозначения другого числа, как это делали вавилоняне, или как символ отсутствия количества, как это делали Птолемей и римляне. В восемнадцатой главе своей Брахмасфутасиддханты Брахмагупта описывает операции с отрицательными числами. Он начинает с описания сложения и вычитания: 18.30. [Сумма] двух положительных чисел положительна, двух отрицательных – отрицательна; сумма положительного и отрицательного числа равна их разности; если они равны, то сумма равна нулю. Сумма отрицательного числа и нуля отрицательна, положительного числа и нуля – положительна, а сумма двух нулей равна нулю. [ ] 18.32. Отрицательное число минус ноль – отрицательное, положительное [число минус ноль] – положительное; ноль [минус ноль] – ноль. Когда положительное число вычитается из отрицательного или отрицательное – из положительного, то следует прибавлять. Его правила арифметики с отрицательными числами и нулем весьма близки к современному пониманию, за исключением того, что в современной математике деление на ноль остается неопределённым.

Формула Брахмагупты

Самый известный результат Брахмагупты в геометрии — его формула для циклических четырехугольников. Зная длины сторон любого циклического четырехугольника, Брахмагупта дал приближенную и точную формулу для площади фигуры: 12.21. Приближенная площадь — это произведение половин сумм сторон и сумм противоположных сторон треугольника и четырехугольника. Точная площадь — это квадратный корень из произведения полусумм сторон, уменьшенных на каждую сторону четырехугольника. Формула Герона является частным случаем этой формулы и может быть получена, приравняв одну из сторон нулю.

Треугольники

Брахмагупта посвятил значительную часть своей работы геометрии. Одна из теорем определяет длины двух отрезков, на которые основание треугольника делится его высотой: 12.22. Основание уменьшается и увеличивается на величину, равную разности квадратов сторон, деленной на основание; при делении на два получаются истинные длины отрезков. Высота – это квадратный корень из разности между квадратом стороны и квадратом соответствующего отрезка основания.