Теріс космологиялық тұрақтысы бар максималды симметриялы Лоренц манифолды

Кіріспе

Математика мен физикада n өлшемді анти-де-Ситтер кеңістігі (AdSn) – тұрақты теріс скалярлық қисықтығы бар максималды симметриялық Лоренцтік көптік. Анти-де-Ситтер кеңістігі мен де-Ситтер кеңістігі Лейден университетінің астрономия профессоры және Лейден обсерваториясының директоры Виллем де Ситтердің (1872–1934) есімімен аталады. Виллем де Ситтер мен Альберт Эйнштейн 1920 жылдары Лейденде ғаламның кеңістік-уақыт құрылымын зерттеуде тығыз байланыспен жұмыс істеді. Пауль Дирак анти-де-Ситтер кеңістігін қатаң зерттеген алғашқы ғалым болды, ол 1963 жылы осы жұмысты жүзеге асырды. Тұрақты қисықтығы бар көптіктер екі өлшемді жағдайда ең жақсы танымал, онда сфераның эллиптикалық жазықтығы немесе беті тұрақты оң қисықтыққа ие, жалпақ (яғни Евклидтік) жазықтық – тұрақты нөлдік қисықтыққа, ал гиперболалық жазықтық – тұрақты теріс қисықтыққа ие. Эйнштейннің жалпы салыстырмалылық теориясы кеңістік пен уақытты тең дәрежеде қарастырады, сондықтан кеңістік пен уақытты жеке қарастырудың орнына біріктірілген кеңістік-уақыттың геометриясын қарастырады. Тұрақты қисықтығы бар кеңістік-уақыт жағдайлары: де Ситтер кеңістігі (оң), Минковский кеңістігі (нөл) және анти-де-Ситтер кеңістігі (теріс). Олар оң, нөл немесе теріс космологиялық тұрақтысы бар бос ғалам үшін Эйнштейннің өріс теңдеулерінің нақты шешімдері болып табылады. Анти-де-Ситтер кеңістігі кез келген кеңістік өлшемдеріне обобщается. Жоғары өлшемдерде ол AdS/CFT сәйкестігіндегі рөлімен танымал, бұл кванттық механикадағы күшті (электромагнетизм, әлсіз күш немесе күшті күш сияқты) белгілі бір өлшемдерде (мысалы, төрт) жіптік теория арқылы сипаттауға болатынын көрсетеді, мұнда жіптер анти-де-Ситтер кеңістігінде, қосымша (компакт емес) өлшеммен бар.

Техникалық терминдер аудармасы

Максимальды симметриялық Лоренцтік көптік – кеңістік-уақыттың бір бөлігі, онда кеңістік пен уақыттың ешбір нүктесін екіншісінен ешқандай жолмен ажырату мүмкін емес, ал (Лоренцтік болғандықтан) бағытты (немесе кеңістік-уақыт нүктесіндегі жолға жанаманы) ажыратудың жалғыз тәсілі – ол кеңістіктік, жарықтық немесе уақыттық болуы. Арнайы салыстырмалылық теориясының кеңістігі (Минковский кеңістігі) осыған мысал. Тұрақты скалярлық қисықтық – материя мен энергияның болмауы жағдайында кеңістік-уақыттың барлық жерінде бірдей болатын, жалпы салыстырмалылық теориясының гравитациясы сияқты кеңістік-уақыттың иілуін сипаттауға қолданылатын бір санмен берілген қисықтық. Теріс қисықтық – гиперболалық қисықты білдіреді, мысалы, аттың құшағы немесе Габриэльдің мүйізі сияқты, сондай-ақ кернейдің қоңырауының бетіне ұқсас.

Жалпы салыстырмалылық теориясындағы кеңістік-уақыт

Жалпы салыстырмалылық теориясы — уақыт, кеңістік және гравитацияның табиғатын зерттейтін теория, онда гравитация — материя немесе энергияның болуынан туындайтын кеңістік-уақыт қисықтығы болып табылады. Энергия мен масса эквивалентті (E = mc2 теңдеуінде көрсетілгендей). Уақыт пен кеңістік шамаларын уақыт немесе кеңістік бірліктеріне айналдыру үшін оларды жарық жылдамдығына көбейту немесе бөлу қажет (мысалы, секундты метр/секундқа көбейту метр береді). Көбінесе, ауыр дене бір тегіс резеңке жамылғыда тудырған шұңқыры, жанынан өтетін кішкентай денелердің қозғалыс бағытына әсер етеді, оларды ауыр дене болмағандағы жолынан ішке қарай бұрады деп мысал келтіріледі. Әрине, жалпы салыстырмалылық теориясында кішкентай да, үлкен де денелер кеңістік-уақыт қисықтығына өзара әсер етеді. Материяның гравитациялық тартылысы — кеңістік-уақыттың теріс қисықтығынан туындайды, резеңке жамылғы мысалында бұл теріс қисық (трубаның құбыршасы сияқты) шұңқырмен бейнеленеді. Жалпы салыстырмалылық теориясының маңызды ерекшелігі — гравитацияны электромагнетизм сияқты дәстүрлі күш ретінде емес, материя немесе энергияның болуынан туындайтын кеңістік-уақыт геометриясының өзгеруі ретінде сипаттауында. Жоғарыдағы мысал үш өлшемді кеңістікте гравитацияның әсерінен туындаған екі өлшемді кеңістіктің қисықтығын көрсетеді, мұнда үшінші өлшем гравитацияның әсеріне сәйкес келеді. Жалпы салыстырмалылық теориясын геометриялық тұрғыдан қарастырғанда, гравитацияның әсері нақты әлемдегі төрт өлшемді кеңістікте геометриялық түрде сипатталады, бұл кеңістік бес өлшемді кеңістікке проекцияланады, ал бесінші өлшем кеңістік-уақыттағы қисықтықты, гравитация мен оған ұқсас әсерлерді көрсетеді. Нәтижесінде, жалпы салыстырмалылық теориясында белгілі Ньютонның гравитация заңы (яғни екі дене арасындағы гравитациялық тартылыс олардың массаларының көбейтіндісін, олар арасындағы қашықтықтың квадратына бөліп, гравитациялық тұрақтыға көбейтуге тең) — жалпы салыстырмалылық теориясында байқалатын гравитациялық әсерлердің жуық шамасы ғана. Бірақ бұл жуық шама, салыстырмалы жылдамдықтар (әсіресе жарық) немесе өте үлкен және тығыз массалар сияқты ерекше жағдайларда дәл болмайды. Жалпы салыстырмалылық теориясында гравитация кеңістік-уақыттың қисықтығынан ("бұрмалануынан") туындайды. Гравитацияны қисық кеңістікке байланыстыру — жиі кездесетін жаңылыс пікір, өйткені кеңістік пен уақыттың абсолютті мағынасы жоқ. Дегенмен, Жердегідей әлсіз гравитацияны сипаттау үшін нақты координаттар жүйесінде уақыттың бұрмалануын қарастыру жеткілікті. Жердегі гравитацияны оңай байқауға болады, ал салыстырмалы уақыттың бұрмалануын анықтау үшін жоғары дәлдікті қажет етеді. Күнделікті өмірімізде салыстырмалы әсерлерді сезбеуіміздің себебі — жарық жылдамдығының өте жоғары мәні (шамамен c = 300000), ол кеңістік пен уақытты екі бөлек нәрсе ретінде қабылдауымызға себеп болады.

General relativity is a theory of the nature of time, space and gravity in which gravity is a curvature of space and time that results from the presence of matter or energy. Energy and mass are equivalent (as expressed in the equation E = mc2). Space and time values can be converted into time or space units by multiplying or dividing the value by the speed of light (e. g., seconds times meters per second equals meters). A common analogy involves the way that a dip in a flat sheet of rubber, caused by a heavy object sitting on it, influences the path taken by small objects rolling nearby, causing them to deviate inward from the path they would have followed had the heavy object been absent. Of course, in general relativity, both the small and large objects mutually influence the curvature of spacetime. The attractive force of gravity created by matter is due to a negative curvature of spacetime, represented in the rubber sheet analogy by the negatively curved (trumpet bell like) dip in the sheet. A key feature of general relativity is that it describes gravity not as a conventional force like electromagnetism, but as a change in the geometry of spacetime that results from the presence of matter or energy. The analogy used above describes the curvature of a two dimensional space caused by gravity in general relativity in a three dimensional superspace in which the third dimension corresponds to the effect of gravity. A geometrical way of thinking about general relativity describes the effects of the gravity in the real world four dimensional space geometrically by projecting that space into a five dimensional superspace with the fifth dimension corresponding to the curvature in spacetime that is produced by gravity and gravity like effects in general relativity. As a result, in general relativity, the familiar Newtonian equation of gravity (i. e. the gravitational pull between two objects equals the gravitational constant times the product of their masses divided by the square of the distance between them) is merely an approximation of the gravity effects seen in general relativity. However this approximation becomes inaccurate in extreme physical situations, like relativistic speeds (light, in particular), or very large & dense masses. In general relativity, gravity is caused by spacetime being curved ("distorted"). It is a common misconception to attribute gravity to curved space; neither space nor time has an absolute meaning in relativity. Nevertheless, to describe weak gravity, as on the Earth, it is sufficient to consider time distortion in a particular coordinate system. We find gravity on the Earth very noticeable while relativistic time distortion requires precision instruments to detect. The reason why we do not become aware of relativistic effects in our every day life is the huge value of the speed of light (c = 300000 approximately), which makes us perceive space and time as different entities.

Жалпы салыстырмалылық теориясындағы Де-Ситтер кеңістігі

de Sitter кеңістігі жалпы салыстырмалылық теориясының бір түрі болып табылады, онда материя немесе энергия болмаған жағдайда кеңістік-уақыт сәл қисық болады. Бұл Евклид геометриясы мен Евклид емес геометриясы арасындағы қатынасқа ұқсас. Материя немесе энергияның болмауында кеңістік-уақыттың ішкі қисықтығы жалпы салыстырмалылық теориясындағы космологиялық тұрақтымен сипатталады. Бұл вакуумның энергия тығыздығы мен қысымына сәйкес келеді. Осы кеңістік-уақыт геометриясының нәтижесінде уақытша параллель уақыт тәрізді геодезиялықтар шашырап кетеді, ал кеңістіктік бөлімдер оң қисықтыққа ие болады.

Анти-де-Ситтер кеңістігі де-Ситер кеңістігінен ерекшеленеді

Жалпы салыстырмалылық теориясындағы анти-де-Ситтер кеңістігі де-Ситтер кеңістігіне ұқсас, бірақ кеңістік-уақыт қисықтығының таңбасы өзгеше. Анти-де-Ситтер кеңістігінде, материя немесе энергия болмаған жағдайда, кеңістік бөлімдерінің қисықтығы теріс болады, бұл гиперболалық геометрияға сәйкес келеді, ал сәтте параллель болатын уақытқа ұқсас геодезиялар пайда болады. Математик Георгиос Москидис, сфералық симметрияны ескере отырып, Эйнштейннің ішкі көздергіші бар нөлдік шаң жүйесі (2017) және Эйнштейннің массасыз Власов жүйесі (2018) үшін болжамның нақты жағдайларда дұрыс екенін дәлездеді.

Координаттық жапсырмалар

Координаттық жапсырма кеңістіктің бір бөлігін қамтиды, бұл анти-де-Ситтер кеңістігінің жарты кеңістіктік координациясын береді. Бұл жапсырманың метрикалық тензоры:

-мен беріледі, бұл жарты кеңістікті анықтайды. Бұл метрика конформдық түрде жазық жарты кеңістік Минковский кеңістік-уақытына эквивалентті. Осы координаттық жапсырманың тұрақты уақыт кесінділері Поанкаре жарты кеңістігі метрикасындағы гиперболалық кеңістіктер болып табылады. шексіздікке жақындағанда, бұл жарты кеңістік метрикасы Минковский метрикасына конформдық түрде эквивалентті болады. Осылайша, анти-де-Ситтер кеңістігінде шексіздікте конформды Минковский кеңістігі бар ("шексіздік" осы жапсырмада y координатасы нөлге тең). AdS кеңістігінде уақыт периодты, ал әмбебап жабында периодты емес уақыт бар. Жоғарыдағы координаттық жапсырма кеңістік-уақыттың бір периодының жартысын қамтиды. AdS-тің конформдық шексіздігі уақыт тәрізді болғандықтан, кеңістік тәрізді гипербетте бастапқы деректерді көрсету, егер конформдық шексіздікпен байланысты шекаралық шарттар болмаса, болашақ эволюцияны бірегей (яғни детерминистік) түрде анықтамайды. Бүкіл кеңістікті қамтитын тағы бір жиі қолданылатын координаттар жүйесі t, және гиперполярлық α, θ және φ координаттарымен беріледі. Төмендегі сурет анти-де-Ситтер кеңістігінің "жарты кеңістік" аймағын және оның шекарасын көрсетеді. Цилиндрдің ішкі бөлігі анти-де-Ситтер кеңістік-уақытына сәйкес келеді, ал оның цилиндрлік шекарасы конформдық шекараға сәйкес келеді. Ішкі жағындағы жасыл түспен көлеңкеленген аймақ жарты кеңістік координаттарымен қамтылған AdS аймағына сәйкес келеді және екі нөлдік, яғни жарық тәрізді, геодезиялық гипержазықтармен шектелген; бетіндегі жасыл түспен көлеңкеленген аймақ Минковский кеңістігімен қамтылған конформдық кеңістіктің аймағына сәйкес келеді. Жасыл түспен көлеңкеленген аймақ AdS кеңістігінің жартысын және конформдық кеңістік-уақыттың жартысын қамтиды; жасыл дискілердің сол жақ шеттері оң жақ шеттерімен бірдей түйіседі.