Введение

Максимально симметричное лоренцево многообразие с отрицательной космологической постоянной

В математике и физике, n-мерное пространство анти-де Ситтера (AdSn) — это максимально симметричное лоренцево многообразие с постоянной отрицательной скалярной кривизной. Пространство анти-де Ситтера и пространство де Ситтера названы в честь Виллема де Ситтера (1872–1934), профессора астрономии в Лейденском университете и директора Лейденской обсерватории. Виллем де Ситтер и Альберт Эйнштейн тесно сотрудничали в Лейдене в 1920-х годах, изучая структуру пространства-времени Вселенной. Пол Дирак был первым, кто тщательно исследовал пространство анти-де Ситтера, сделав это в 1963 году. Многообразия постоянной кривизны наиболее известны в случае двух измерений, где эллиптическая плоскость или поверхность сферы являются поверхностями постоянной положительной кривизны, плоская (т. е. евклидова) плоскость — поверхностью постоянной нулевой кривизны, а гиперболическая плоскость — поверхностью постоянной отрицательной кривизны. Общая теория относительности Эйнштейна ставит пространство и время на равные основания, поэтому рассматривается геометрия единого пространства-времени, а не пространства и времени по отдельности. Случаями пространства-времени с постоянной кривизной являются пространство де Ситтера (положительное), пространство Минковского (нулевое) и пространство анти-де Ситтера (отрицательное). Таким образом, они являются точными решениями уравнений Эйнштейна для пустой Вселенной с положительной, нулевой или отрицательной космологической постоянной, соответственно. Пространство анти-де Ситтера обобщается на любое число пространственных измерений. В более высоких измерениях оно наиболее известно своей ролью в AdS/CFT-соответствии, которое предполагает, что можно описать силу в квантовой механике (например, электромагнетизм, слабое или сильное взаимодействие) в определенном числе измерений (например, четырех) с помощью теории струн, где струны существуют в пространстве анти-де Ситтера с одним дополнительным (некомпактным) измерением.

Перевод технических терминов

Максимально симметричный лоренцианский многообраз – это пространство-время, в котором никакую точку пространства и времени нельзя отличить каким-либо образом от другой, и (будучи лоренцианским) единственный способ отличить направление (или касательную к траектории в точке пространства-времени) заключается в том, является ли оно пространственно-подобным, светоподобным или временным. Пространство специальной теории относительности (пространство Минковского) является примером. Постоянная скалярная кривизна означает искривление пространства-времени, подобное гравитации в общей теории относительности, которое описывается одним числом, одинаковым во всех точках пространства-времени в отсутствие материи или энергии. Отрицательная кривизна означает гиперболическое искривление, как у седловой поверхности или поверхности рога Гавриила, похожее на форму раструба.

Пространство-время в общей теории относительности

Общая теория относительности – это теория природы времени, пространства и гравитации, в которой гравитация является искривлением пространства и времени, возникающим вследствие присутствия материи или энергии. Энергия и масса эквивалентны (что выражается уравнением E = mc²). Значения пространства и времени могут быть преобразованы в единицы времени или пространства путем умножения или деления значения на скорость света (например, секунды, умноженные на метры в секунду, равны метрам). Распространенная аналогия заключается в том, что углубление в плоском листе резины, вызванное тяжелым объектом, лежащим на нем, влияет на траекторию небольших объектов, катящихся рядом, отклоняя их внутрь от пути, по которому они двигались бы в отсутствие тяжелого объекта. Разумеется, в общей теории относительности как малые, так и большие объекты взаимно влияют на искривление пространства-времени. Притягательная сила гравитации, создаваемая материей, обусловлена отрицательной кривизной пространства-времени, представленной в аналогии с резиновым листом отрицательно изогнутым углублением (похожим на раструб трубы). Ключевой особенностью общей теории относительности является то, что она описывает гравитацию не как обычную силу, подобную электромагнетизму, а как изменение геометрии пространства-времени, возникающее вследствие присутствия материи или энергии. Приведенная выше аналогия описывает искривление двухмерного пространства, вызванное гравитацией в общей теории относительности, в трехмерном сверхпространстве, где третье измерение соответствует эффекту гравитации. Геометрический подход к общей теории относительности описывает эффекты гравитации в реальном четырехмерном пространстве геометрически, проецируя это пространство в пятимерное сверхпространство, где пятое измерение соответствует кривизне пространства-времени, создаваемой гравитацией и гравитационными эффектами в общей теории относительности. В результате, в общей теории относительности, привычное ньютоновское уравнение гравитации (то есть гравитационное притяжение между двумя объектами равно гравитационной постоянной, умноженной на произведение их масс, деленное на квадрат расстояния между ними) является лишь приближением гравитационных эффектов, наблюдаемых в общей теории относительности. Однако это приближение становится неточным в экстремальных физических ситуациях, таких как релятивистские скорости (в частности, скорость света) или очень большие и плотные массы. В общей теории относительности гравитация вызвана искривлением ("искажением") пространства-времени. Распространенное заблуждение – приписывать гравитацию искривленному пространству; ни пространство, ни время не имеют абсолютного значения в теории относительности. Тем не менее, для описания слабой гравитации, как на Земле, достаточно учитывать искажение времени в конкретной системе координат. Мы ощущаем гравитацию на Земле очень заметно, в то время как релятивистское искажение времени требует прецизионных приборов для обнаружения. Причина, по которой мы не замечаем релятивистских эффектов в повседневной жизни, заключается в огромном значении скорости света (c ≈ 300 000), которое заставляет нас воспринимать пространство и время как различные сущности.

Пространство Де Ситтера в общей теории относительности

Пространство де Ситтера представляет собой вариант общей теории относительности, в котором пространство-время слегка искривлено даже в отсутствие материи или энергии. Это аналогично соотношению между евклидовой и неевклидовой геометрией. Внутреннее искривление пространства-времени в отсутствие материи или энергии моделируется космологической постоянной в общей теории относительности, что соответствует наличию у вакуума плотности энергии и давления. В результате, в этой геометрии пространства-времени мгновенно расходящиеся времениподобные геодезические линии демонстрируют дивергенцию, а пространственные сечения обладают положительной кривизной.

Пространство анти-де-Ситтер, отличающееся от пространства де Ситтер

Пространство анти-де-Ситтера в общей теории относительности аналогично пространству де-Ситтера, за исключением изменения знака кривизны пространства-времени. В пространстве анти-де-Ситтера, при отсутствии материи или энергии, кривизна пространственно-подобных сечений отрицательна, что соответствует гиперболической геометрии, а мгновенно параллельные времени геодезические расходятся. Математик Георгиос Москидис доказал, что при наличии сферической симметрии, предположение верно для конкретных случаев системы Эйнштейна из нулевой пыли с внутренним зеркалом (2017) и безмассовой системы Власова Эйнштейна (2018).

Координаты

Координатное пятно, покрывающее часть пространства, задает координатизацию полупространства пространства анти-де-Ситтера. Метрический тензор для этого патча имеет вид

, где определяет полупространство. Эта метрика конформно эквивалентна плоскому полупространству пространства-времени Минковского. Постоянные по времени сечения этого координатного патча являются гиперболическими пространствами в метрике полупространства Пуанкаре. В пределе , эта метрика полупространства конформно эквивалентна метрике Минковского. Таким образом, пространство анти-де-Ситтера содержит конформное пространство Минковского на бесконечности ("бесконечность" в этом патче имеет координату y равную нулю). В пространстве AdS время периодично, а универсальное покрытие имеет непериодическое время. Описанное выше координатное пятно покрывает половину одного периода пространства-времени. Поскольку конформная бесконечность AdS является временной, задание начальных данных на пространственной гиперповерхности не будет однозначно (т.е. детерминированно) определять будущее развитие, если не заданы граничные условия, связанные с конформной бесконечностью. Другая часто используемая система координат, покрывающая все пространство, задается координатами t, и гиперполярными координатами α, θ и φ. Соседнее изображение представляет собой область "полупространства" пространства анти-де-Ситтера и его границу. Внутренняя часть цилиндра соответствует пространству-времени анти-де-Ситтера, а его цилиндрическая граница – конформной границе. Зеленая закрашенная область внутри соответствует области AdS, покрытой координатами полупространства, и она ограничена двумя нулевыми, или светоподобными, геодезическими гиперплоскостями; зеленая закрашенная область на поверхности соответствует области конформного пространства, покрытой пространством Минковского. Зеленая закрашенная область покрывает половину пространства AdS и половину конформного пространства-времени; левые концы зеленых дисков будут касаться друг друга так же, как и правые.