Кіріспе
G шекті тобының кіші тобының реті G тобының ретін бөледі. Топтар теориясының математикалық саласында Лагранж теоремасы – кез келген G шекті тобы үшін, G тобының әрбір кіші тобының реті (элементтер саны) G тобының ретін бөледі деген теорема. Теорема Жозеф Луи Лагранж есімімен аталған. Теореманың келесі түрінде шекті топтың кіші тобы үшін , ғана емес, сонымен қатар оның мәні – индексі болып табылады, ол кіші топтың сол жақ косеттерінің саны ретінде анықталады. Бұл түр шексіз болған жағдайда да қолданылады, егер , , және кардиналдық сандар ретінде қарастырылса.
In the mathematical field of group theory, Lagrange's theorem is a theorem that states that for any finite group G, the order (number of elements) of every subgroup of G divides the order of G. The theorem is named after Joseph Louis Lagrange. The following variant states that for a subgroup of a finite group , not only is an integer, but its value is the index , defined as the number of left cosets of in
This variant holds even if is infinite, provided that , , and are interpreted as cardinal numbers.
Ұзарту
Лагранж теоремасын G тобының үш кіші тобы арасындағы индекстер теңдеуіне кеңейтуге болады.
Егер біз (e – G тобының бірлік элементі) алсақ, онда және Сондықтан, біз бастапқы теңдеуді қайта аламыз.
Қолданбалар
Теореманың салдарынан кез келген элементтің a-ның реті (яғни, e – топтың бірлік элементі болатын жағдайда, a^k = e теңдігі орындалатын ең кіші оң бүтін сан k) осы топтың ретін бөледі, себебі a-ның реті a-мен туындаған циклдік кіші топтың ретіне тең. Егер топта n элемент болса, онда мыналар шығады:
Бұл Ферманың кіші теоремасын және оның жалпылама түрін, Эйлер теоремасын дәлелдеу үшін қолданылуы мүмкін. Бұл ерекше жағдайлар жалпы теорема дәлелденгенге дейін белгілі болған. Теорема сонымен қатар, жай сан ретіндегі кез келген топтың циклдік және қарапайым екенін көрсетеді, себебі кез келген бірлік емес элементпен туындаған кіші топтың өзі бүкіл топқа тең болуы керек. Лагранж теоремасын сондай-ақ шексіз көп жай сандар бар екенін көрсету үшін де пайдалануға болады: ең үлкен жай сан бар деп есептейік. Мерсен санының кез келген жай бөлгіші (модульдік арифметикаға қараңыз) теңдігін қанағаттандырады, яғни көбейту тобындағы реті Лагранж теоремасы бойынша, ретін бөлуі керек. Сондықтан, бөледі, бұл ең үлкен жай сан деген болжамға қайшы келеді.
Берілген реттік кіші топтардың болуы
Лагранж теоремасы топтың ретінің әрбір бөлгішінің қандай да бір кіші топтың реті бола ма деген кері сұрақ тудырады. Бұл жалпы жағдайда орындалмайды: берілген шекті G тобы және |G| санының d бөлгіші үшін, G тобында d ретіндегі кіші топ міндетті түрде болуы керек емес. Ең қарапайым мысал – A4 (4-дәрежелі алмастыру тобы), ол 12 элементтен тұрады, бірақ 6 ретіндегі кіші тобы жоқ. "Лагранж теоремасының керісі" (CLT) тобы – топтың ретінің әрбір бөлгіші үшін сол реттің кіші тобы бар қасиетке ие шекті топ. КЛТ тобының шешілмелі болуы керек екені және әрбір супералғыш топтың КЛТ тобы екені белгілі. Дегенмен, шешілмелі болмайтын КЛТ топтары (мысалы, A4) және супералғыш емес КЛТ топтары (мысалы, S4, 4-дәрежелі симметриялық топ) бар. Лагранж теоремасының ішінара кері теоремалары да бар. Жалпы топтар үшін Коши теоремасы топ ретін бөлетін кез келген жай санның ретіндегі элементтің, демек, циклдік кіші топтың бар екендігіне кепілдік береді. Сайлоу теоремасы бұл тұжырымды топ ретін бөлетін кез келген жай санның ең үлкен дәрежесіне тең реттік кіші топтың бар екендігіне дейін кеңейтеді. Шешілмелі топтар үшін Холл теоремалары топ ретінің кез келген өзіндік бөлгішіне (яғни, кофакторымен өзара жай бөлгіш) тең реттік кіші топтың бар екенін көрсетеді.
Лагранж теоремасының керісінен қарсы мысал
Лагранж теоремасының керісі былай тұжырымдайды: егер d - G тобының ретінің бөлгіші болса, онда H кіші тобы бар, мұндағы реті d-ге тең болады. Біз A4 ауыспалы тобын қарастырамыз, ол симметриялық S4 тобының кіші тобы ретінде жұп өрістердің жиынтығы болып табылады. Сондықтан бөлгіштер 1, 2, 3, 4, 6, 12 болады. A4 тобында 6 реті бар H кіші тобы бар екенін жорамалдайық. V – A4 тобының циклдік емес кіші тобы, оны Клейн төрт тобы деп атайды. 1 = K = H ∩ V болсын. H және V екеуі де A4 тобының кіші топтары болғандықтан, K да A4 тобының кіші тобы болады. Лагранж теоремасы бойынша, K тобының реті H және V тобының реттеріне сәйкес 6 және 4 сандарына бөлінуі керек. 6 және 4-ке бөлінетін жалғыз оң бүтін сандар 1 және 2. Демек, |K| = 1 немесе |K| = 2. |K| = 1 болсын. Егер H V тобымен ортақ элементтері болмаса, онда H тобындағы біртұтас элементтен басқа 5 элемент (a b c) түрінде болуы керек, мұнда a, b, c – әртүрлі элементтер. (a b c) түріндегі кез келген элементтің квадраты (a c b) болады, ал (a b c)(a c b) = e. Сондықтан H тобындағы (a b c) түріндегі әр элемент өзінің керісімен жұптасуы керек. Атап айтқанда, H тобының қалған 5 элементі A4 тобындағы V тобына жатпайтын элементтердің бөлек жұптарынан құралуы керек. Бұл мүмкін емес, өйткені элементтер жұптары жұп болуы керек және олардың саны 5-ке тең болмайды. Демек, |K| = 1 болжамы дұрыс емес. Сондықтан |K| = 2. Онда H ∩ V тобындағы v ∈ V элементі (a b)(c d) түрінде болуы керек, мұнда a, b, c, d – әртүрлі элементтер. H тобының қалған төрт элементі 3 ұзындығындағы циклдар болады. Топтың кіші тобынан туындаған косеттер тобының бөлінісін құрайды. Нақты кіші топтан туындаған косеттер өзара сәйкес немесе өзара қиылыспайды. Топтағы кіші топтың индексі – бұл кіші топтан туындаған косеттердің саны. |H| = 6 және |A4| = 24 болғандықтан, H тобы екі сол жақ косетті тудырады: бірі H-ға тең, ал екіншісі gH, оның ұзындығы 6-ға тең және H тобына жатпайтын A4 тобының барлық элементтерін қамтиды. H тобынан туындаған тек 2 бөлек косет болғандықтан, H тобы қалыпты болуы керек. Сондықтан H = gHg^(-1) (∀g ∈ A4). Атап айтқанда, бұл g = (a b c) ∈ A4 үшін де дұрыс. H = gHg^(-1) болғандықтан, gvg^(-1) ∈ H. Жалпылықты жоғалтпай, a = 1, b = 2, c = 3, d = 4 деп есептейік. Онда g = (1 2 3), v = (1 2)(3 4), g^(-1) = (1 3 2), gv = (1 3 4), gvg^(-1) = (1 4)(2 3). Қайта түрлендіру арқылы gvg^(-1) = (a d)(b c) аламыз. V тобында A4 тобының барлық дизъюнкт транспозициялары бар болғандықтан, gvg^(-1) ∈ V. Демек, gvg^(-1) ∈ H ∩ V = K. gvg^(-1) ≠ v болғандықтан, K тобында үшінші элемент бар екенін көрсеттік. Бірақ бұрын |K| = 2 деп жорамалдағандықтан, қарама-қайшылыққа келдік. Сондықтан 6 реті бар кіші топ бар деген бастапқы жорамал дұрыс емес, демек A4 тобында 6 реті бар кіші топ жоқ және Лагранж теоремасының керісі міндетті түрде дұрыс емес. Q.E.D.
We will examine the alternating group A4, the set of even permutations as the subgroup of the Symmetric group S4. so the divisors are 1, 2, 3, 4, 6, 12. Assume to the contrary that there exists a subgroup H in A4 with
Let V be the non cyclic subgroup of A4 called the Klein four group. Let 1=K = H ⋂ V. Since both H and V are subgroups of A4, K is also a subgroup of A4. From Lagrange's theorem, the order of K must divide both 6 and 4, the orders of H and V respectively. The only two positive integers that divide both 6 and 4 are 1 and 2. So or 2. Assume , then If H does not share any elements with V, then the 5 elements in H besides the Identity element e must be of the form (a b c) where a, b, c are distinct elements in
Since any element of the form (a b c) squared is (a c b), and 1=(a b c)(a c b) = e, any element of H in the form (a b c) must be paired with its inverse. Specifically, the remaining 5 elements of H must come from distinct pairs of elements in A4 that are not in V. This is impossible since pairs of elements must be even and cannot total up to 5 elements. Thus, the assumptions that is wrong, so
Then, where v ∈ V, v must be in the form (a b)(c d) where a, b, c, d are distinct elements of The other four elements in H are cycles of length 3. Note that the cosets generated by a subgroup of a group form a partition of the group. The cosets generated by a specific subgroup are either identical to each other or disjoint. The index of a subgroup in a group is the number of cosets generated by that subgroup. Since and , H will generate two left cosets, one that is equal to H and another, gH, that is of length 6 and includes all the elements in A4 not in H.
Since there are only 2 distinct cosets generated by H, then H must be normal. Because of that, 1=H = gHg^(−1) (∀g ∈ A4). In particular, this is true for 1=g = (a b c) ∈ A4. Since 1=H = gHg^(−1), gvg^(−1) ∈ H.
Without loss of generality, assume that 1=a = 1, 1=b = 2, 1=c = 3, 1=d = 4. Then 1=g = (1 2 3), 1=v = (1 2)(3 4), 1=g^(−1) = (1 3 2), 1=gv = (1 3 4), 1=gvg^(−1) = (1 4)(2 3). Transforming back, we get 1=gvg^(−1) = (a d)(b c). Because V contains all disjoint transpositions in A4, gvg^(−1) ∈ V. Hence, 1=gvg^(−1) ∈ H ⋂ V = K.
Since gvg^(−1) ≠ v, we have demonstrated that there is a third element in K. But earlier we assumed that , so we have a contradiction. Therefore, our original assumption that there is a subgroup of order 6 is not true and consequently there is no subgroup of order 6 in A4 and the converse of Lagrange's theorem is not necessarily true. Q. E. D.
Тарих
Лагранж теореманы жалпы түрде дәлелдемеген. Ол өзінің "Réflexions sur la résolution algébrique des équations" мақаласында егер n айнымалыдағы көптіктің айнымалылары барлық n! жолмен пермутацияланса, алынған әр түрлі полиномиалдардың саны әрқашан n! санының бөлгіші болады десті. (Мысалы, x, y және z айнымалылары x + y − z көптігінің барлық 6 мүмкін жолдарымен ауыстырылса, онда біз барлығы 3 түрлі көптікті аламыз: x + y − z, x + z − y және y + z − x. 3 саны 6 санының бөлгіші.) Мұндай полиномиалдардың саны – полиномиалды сақтайтын H пермутациялардың субтобының Sn симметриялық тобындағы индексі. (x + y − z мысалында S3 тобындағы H кіші тобына сәйкестік және (x y) транспозициясы кіреді.) Демек, H-нің мөлшері n! санына бөлінеді. Кейіннен абстрактіл топтардың дамуы кезінде Лагранждың полиномиалдардағы бұл нәтижесі енді оның есімін алған шекті топтар туралы жалпы теоремаға дейін кеңейтілді. 1801 жылы Карл Фридрих Гаус өзінің "Disquisitiones Arithmeticae" еңбегінде Лагранж теоремасын p – жай сан болатын, нөлден өзге бүтін сандардың p модуль бойынша көбейту тобының ерекше жағдайы үшін дәлелдеді. 1844 жылы Огюстен Луи Коши Лагранж теоремасын Sn симметриялық тобы үшін дәлелдеді. Камилл Жордан 1861 жылы кез келген пермутация тобының жағдайы үшін Лагранж теоремасын толыққанды дәлелдеді.