Введение
Порядок подгруппы конечной группы G делит порядок G.
In the mathematical field of group theory, Lagrange's theorem is a theorem that states that for any finite group G, the order (number of elements) of every subgroup of G divides the order of G. The theorem is named after Joseph Louis Lagrange. The following variant states that for a subgroup of a finite group , not only is an integer, but its value is the index , defined as the number of left cosets of in
This variant holds even if is infinite, provided that , , and are interpreted as cardinal numbers.
В математической области теории групп теорема Лагранжа утверждает, что для любой конечной группы G порядок (число элементов) каждой подгруппы G делит порядок G. Теорема названа в честь Жозефа Луи Лагранжа. Следующая формулировка утверждает, что для подгруппы конечной группы H, не только порядок H является целым числом, но и его значение равно индексу [G:H], определяемому как число левых классов по модулю H в G.
In the mathematical field of group theory, Lagrange's theorem is a theorem that states that for any finite group G, the order (number of elements) of every subgroup of G divides the order of G. The theorem is named after Joseph Louis Lagrange. The following variant states that for a subgroup of a finite group , not only is an integer, but its value is the index , defined as the number of left cosets of in
This variant holds even if is infinite, provided that , , and are interpreted as cardinal numbers.
Эта формулировка верна даже если G бесконечен, при условии, что |G|, |H| и [G:H] интерпретируются как кардинальные числа.
In the mathematical field of group theory, Lagrange's theorem is a theorem that states that for any finite group G, the order (number of elements) of every subgroup of G divides the order of G. The theorem is named after Joseph Louis Lagrange. The following variant states that for a subgroup of a finite group , not only is an integer, but its value is the index , defined as the number of left cosets of in
This variant holds even if is infinite, provided that , , and are interpreted as cardinal numbers.
Расширение
Теорема Лагранжа может быть расширена на уравнение индексов для трех подгрупп группы G.
Если мы возьмем (e – нейтральный элемент G), то и следовательно, мы можем восстановить исходное уравнение.
Приложения
Следствием теоремы является то, что порядок любого элемента *a* конечной группы (т. е. наименьшее положительное целое число *k* такое, что *a<sup>k</sup>* = *e*, где *e* — тождественный элемент группы) делит порядок этой группы, поскольку порядок *a* равен порядку циклической подгруппы, порожденной *a*. Если в группе *n* элементов, то это можно использовать для доказательства малой теоремы Ферма и ее обобщения, теоремы Эйлера. Эти частные случаи были известны задолго до доказательства общей теоремы. Теорема также показывает, что любая группа простого порядка циклична и проста, поскольку подгруппа, порожденная любым нетождественным элементом, должна совпадать со всей группой. Теорема Лагранжа также может быть использована для доказательства того, что существует бесконечно много простых чисел: предположим, что существует наибольшее простое число. Любой простой делитель числа Мерсенна удовлетворяет условию (см. модульную арифметику), что означает, что порядок этого делителя в мультипликативной группе по модулю *p* равен *p*-1. По теореме Лагранжа, порядок этого делителя должен делить порядок мультипликативной группы по модулю *p*, который равен *p*-1. Следовательно, *p*-1 делится на *p*-1, что дает противоречие предположению о том, что *p* — наибольшее простое число.
This can be used to prove Fermat's little theorem and its generalization, Euler's theorem. These special cases were known long before the general theorem was proved. The theorem also shows that any group of prime order is cyclic and simple, since the subgroup generated by any non identity element must be the whole group itself. Lagrange's theorem can also be used to show that there are infinitely many primes: suppose there were a largest prime Any prime divisor of the Mersenne number satisfies (see modular arithmetic), meaning that the order of in the multiplicative group is By Lagrange's theorem, the order of must divide the order of , which is So divides , giving , contradicting the assumption that is the largest prime.
Существование подгрупп данного порядка
Теорема Лагранжа ставит обратный вопрос: является ли каждый делитель порядка группы порядком некоторой подгруппы? В общем случае это не так: для конечной группы G и делителя d порядка |G| не обязательно существует подгруппа G порядка d. Наименьший пример – A4 (альтернирующая группа степени 4), которая содержит 12 элементов, но не имеет подгруппы порядка 6. Группа, удовлетворяющая "обратной теореме Лагранжа" (CLT), – это конечная группа, обладающая свойством, что для каждого делителя порядка группы существует подгруппа этого порядка. Известно, что группа CLT должна быть разрешимой, и что любая суперразрешимая группа является группой CLT. Однако существуют разрешимые группы, которые не являются CLT (например, A4), и группы CLT, которые не являются суперразрешимыми (например, S4, симметричная группа степени 4). Существуют также частные обратные теоремы к теореме Лагранжа. Для общих групп теорема Коши гарантирует существование элемента, а следовательно, и циклической подгруппы, порядка любого простого числа, делящего порядок группы. Теорема Силоу расширяет это до существования подгруппы порядка, равного максимальной степени любого простого числа, делящего порядок группы. Для разрешимых групп теоремы Холла утверждают существование подгруппы порядка, равного любому единичному делителю порядка группы (то есть делителю, взаимно простому со своим кофактором).
Контрпример обратной теоремы Лагранжа
Обратная теорема Лагранжа утверждает, что если d является делителем порядка группы G, то существует подгруппа H, где порядок H равен d. Мы рассмотрим чередующуюся группу A4, множество четных перестановок как подгруппу симметричной группы S4. Следовательно, делителями являются 1, 2, 3, 4, 6, 12. Предположим противного, что существует подгруппа H в A4 с порядком 6. Пусть V — нециклическая подгруппа A4, называемая группой Кляйна четырех элементов. Пусть 1 = K = H ∩ V. Поскольку и H, и V являются подгруппами A4, K также является подгруппой A4. Из теоремы Лагранжа порядок K должен делить и 6, и 4, порядки H и V соответственно. Единственные два положительных целых числа, которые делят и 6, и 4, — это 1 и 2. Таким образом, порядок K равен 1 или 2. Предположим, что порядок K равен 1, то есть K = {1}. Если H не имеет общих элементов с V, то 5 элементов в H, помимо единичного элемента e, должны иметь вид (a b c), где a, b, c — различные элементы из A4. Поскольку любой элемент вида (a b c) в квадрате равен (a c b), а (a b c)(a c b) = e, любой элемент H вида (a b c) должен быть сопряжен со своим обратным. В частности, оставшиеся 5 элементов H должны образовать отдельные пары элементов в A4, не принадлежащих V. Это невозможно, поскольку пары элементов должны быть четными и не могут в сумме дать 5 элементов. Следовательно, предположение о том, что K = {1}, неверно, поэтому порядок K равен 2. Тогда существует v ∈ V, такой что v имеет вид (a b)(c d), где a, b, c, d — различные элементы из A4. Другие четыре элемента в H — циклы длины 3. Обратите внимание, что косеты, порожденные подгруппой группы, образуют разбиение группы. Косеты, порожденные конкретной подгруппой, либо идентичны друг другу, либо не пересекаются. Индекс подгруппы в группе — это число косетов, порожденных этой подгруппой. Поскольку |H| = 6 и |A4| = 12, H породит два левых косета: один, равный H, и другой, gH, длиной 6, включающий все элементы A4, не принадлежащие H. Поскольку существует только 2 различных косета, порожденных H, то H должна быть нормальной подгруппой. Из-за этого 1 = H = gHg^(-1) (∀g ∈ A4). В частности, это верно для g = (a b c) ∈ A4. Поскольку 1 = H = gHg^(-1), gvg^(-1) ∈ H.
We will examine the alternating group A4, the set of even permutations as the subgroup of the Symmetric group S4. so the divisors are 1, 2, 3, 4, 6, 12. Assume to the contrary that there exists a subgroup H in A4 with
Let V be the non cyclic subgroup of A4 called the Klein four group. Let 1=K = H ⋂ V. Since both H and V are subgroups of A4, K is also a subgroup of A4. From Lagrange's theorem, the order of K must divide both 6 and 4, the orders of H and V respectively. The only two positive integers that divide both 6 and 4 are 1 and 2. So or 2. Assume , then If H does not share any elements with V, then the 5 elements in H besides the Identity element e must be of the form (a b c) where a, b, c are distinct elements in
Since any element of the form (a b c) squared is (a c b), and 1=(a b c)(a c b) = e, any element of H in the form (a b c) must be paired with its inverse. Specifically, the remaining 5 elements of H must come from distinct pairs of elements in A4 that are not in V. This is impossible since pairs of elements must be even and cannot total up to 5 elements. Thus, the assumptions that is wrong, so
Then, where v ∈ V, v must be in the form (a b)(c d) where a, b, c, d are distinct elements of The other four elements in H are cycles of length 3. Note that the cosets generated by a subgroup of a group form a partition of the group. The cosets generated by a specific subgroup are either identical to each other or disjoint. The index of a subgroup in a group is the number of cosets generated by that subgroup. Since and , H will generate two left cosets, one that is equal to H and another, gH, that is of length 6 and includes all the elements in A4 not in H.
Since there are only 2 distinct cosets generated by H, then H must be normal. Because of that, 1=H = gHg^(−1) (∀g ∈ A4). In particular, this is true for 1=g = (a b c) ∈ A4. Since 1=H = gHg^(−1), gvg^(−1) ∈ H.
Without loss of generality, assume that 1=a = 1, 1=b = 2, 1=c = 3, 1=d = 4. Then 1=g = (1 2 3), 1=v = (1 2)(3 4), 1=g^(−1) = (1 3 2), 1=gv = (1 3 4), 1=gvg^(−1) = (1 4)(2 3). Transforming back, we get 1=gvg^(−1) = (a d)(b c). Because V contains all disjoint transpositions in A4, gvg^(−1) ∈ V. Hence, 1=gvg^(−1) ∈ H ⋂ V = K.
Since gvg^(−1) ≠ v, we have demonstrated that there is a third element in K. But earlier we assumed that , so we have a contradiction. Therefore, our original assumption that there is a subgroup of order 6 is not true and consequently there is no subgroup of order 6 in A4 and the converse of Lagrange's theorem is not necessarily true. Q. E. D.
Без потери общности, предположим, что a = 1, b = 2, c = 3, d = 4. Тогда g = (1 2 3), v = (1 2)(3 4), g^(-1) = (1 3 2), gv = (1 3 4), gvg^(-1) = (1 4)(2 3). Преобразуя обратно, получаем gvg^(-1) = (a d)(b c). Поскольку V содержит все непересекающиеся транспозиции в A4, gvg^(-1) ∈ V. Следовательно, gvg^(-1) ∈ H ∩ V = K.
We will examine the alternating group A4, the set of even permutations as the subgroup of the Symmetric group S4. so the divisors are 1, 2, 3, 4, 6, 12. Assume to the contrary that there exists a subgroup H in A4 with
Let V be the non cyclic subgroup of A4 called the Klein four group. Let 1=K = H ⋂ V. Since both H and V are subgroups of A4, K is also a subgroup of A4. From Lagrange's theorem, the order of K must divide both 6 and 4, the orders of H and V respectively. The only two positive integers that divide both 6 and 4 are 1 and 2. So or 2. Assume , then If H does not share any elements with V, then the 5 elements in H besides the Identity element e must be of the form (a b c) where a, b, c are distinct elements in
Since any element of the form (a b c) squared is (a c b), and 1=(a b c)(a c b) = e, any element of H in the form (a b c) must be paired with its inverse. Specifically, the remaining 5 elements of H must come from distinct pairs of elements in A4 that are not in V. This is impossible since pairs of elements must be even and cannot total up to 5 elements. Thus, the assumptions that is wrong, so
Then, where v ∈ V, v must be in the form (a b)(c d) where a, b, c, d are distinct elements of The other four elements in H are cycles of length 3. Note that the cosets generated by a subgroup of a group form a partition of the group. The cosets generated by a specific subgroup are either identical to each other or disjoint. The index of a subgroup in a group is the number of cosets generated by that subgroup. Since and , H will generate two left cosets, one that is equal to H and another, gH, that is of length 6 and includes all the elements in A4 not in H.
Since there are only 2 distinct cosets generated by H, then H must be normal. Because of that, 1=H = gHg^(−1) (∀g ∈ A4). In particular, this is true for 1=g = (a b c) ∈ A4. Since 1=H = gHg^(−1), gvg^(−1) ∈ H.
Without loss of generality, assume that 1=a = 1, 1=b = 2, 1=c = 3, 1=d = 4. Then 1=g = (1 2 3), 1=v = (1 2)(3 4), 1=g^(−1) = (1 3 2), 1=gv = (1 3 4), 1=gvg^(−1) = (1 4)(2 3). Transforming back, we get 1=gvg^(−1) = (a d)(b c). Because V contains all disjoint transpositions in A4, gvg^(−1) ∈ V. Hence, 1=gvg^(−1) ∈ H ⋂ V = K.
Since gvg^(−1) ≠ v, we have demonstrated that there is a third element in K. But earlier we assumed that , so we have a contradiction. Therefore, our original assumption that there is a subgroup of order 6 is not true and consequently there is no subgroup of order 6 in A4 and the converse of Lagrange's theorem is not necessarily true. Q. E. D.
Поскольку gvg^(-1) ≠ v, мы показали, что в K есть третий элемент. Но ранее мы предположили, что K = {1}, поэтому мы пришли к противоречию. Следовательно, наше первоначальное предположение о том, что существует подгруппа порядка 6, неверно, и, следовательно, в A4 нет подгруппы порядка 6, а обратная теорема Лагранжа не обязательно верна. Что и требовалось доказать.
We will examine the alternating group A4, the set of even permutations as the subgroup of the Symmetric group S4. so the divisors are 1, 2, 3, 4, 6, 12. Assume to the contrary that there exists a subgroup H in A4 with
Let V be the non cyclic subgroup of A4 called the Klein four group. Let 1=K = H ⋂ V. Since both H and V are subgroups of A4, K is also a subgroup of A4. From Lagrange's theorem, the order of K must divide both 6 and 4, the orders of H and V respectively. The only two positive integers that divide both 6 and 4 are 1 and 2. So or 2. Assume , then If H does not share any elements with V, then the 5 elements in H besides the Identity element e must be of the form (a b c) where a, b, c are distinct elements in
Since any element of the form (a b c) squared is (a c b), and 1=(a b c)(a c b) = e, any element of H in the form (a b c) must be paired with its inverse. Specifically, the remaining 5 elements of H must come from distinct pairs of elements in A4 that are not in V. This is impossible since pairs of elements must be even and cannot total up to 5 elements. Thus, the assumptions that is wrong, so
Then, where v ∈ V, v must be in the form (a b)(c d) where a, b, c, d are distinct elements of The other four elements in H are cycles of length 3. Note that the cosets generated by a subgroup of a group form a partition of the group. The cosets generated by a specific subgroup are either identical to each other or disjoint. The index of a subgroup in a group is the number of cosets generated by that subgroup. Since and , H will generate two left cosets, one that is equal to H and another, gH, that is of length 6 and includes all the elements in A4 not in H.
Since there are only 2 distinct cosets generated by H, then H must be normal. Because of that, 1=H = gHg^(−1) (∀g ∈ A4). In particular, this is true for 1=g = (a b c) ∈ A4. Since 1=H = gHg^(−1), gvg^(−1) ∈ H.
Without loss of generality, assume that 1=a = 1, 1=b = 2, 1=c = 3, 1=d = 4. Then 1=g = (1 2 3), 1=v = (1 2)(3 4), 1=g^(−1) = (1 3 2), 1=gv = (1 3 4), 1=gvg^(−1) = (1 4)(2 3). Transforming back, we get 1=gvg^(−1) = (a d)(b c). Because V contains all disjoint transpositions in A4, gvg^(−1) ∈ V. Hence, 1=gvg^(−1) ∈ H ⋂ V = K.
Since gvg^(−1) ≠ v, we have demonstrated that there is a third element in K. But earlier we assumed that , so we have a contradiction. Therefore, our original assumption that there is a subgroup of order 6 is not true and consequently there is no subgroup of order 6 in A4 and the converse of Lagrange's theorem is not necessarily true. Q. E. D.
История
Сам Лагранж не доказал теорему в ее общей форме. Он указал в своей статье «Размышления о алгебраическом решении уравнений», что если многочлен от *n* переменных подвергается перестановке переменных всеми *n*! способами, то число получающихся различных многочленов всегда является делителем *n*!. (Например, если переменные *x*, *y* и *z* переставляются всеми 6 возможными способами в многочлене *x* + *y* − *z*, то получается всего 3 различных многочлена: *x* + *y* − *z*, *x* + *z* − *y* и *y* + *z* − *x*. Обратите внимание, что 3 является делителем 6.) Число таких многочленов является индексом подгруппы *H* перестановок, сохраняющих многочлен, в симметрической группе *S<sub>n</sub>*. (Для примера *x* + *y* − *z*, подгруппа *H* в *S<sub>3</sub>* содержит тождественное преобразование и транспозицию (*x y*).) Следовательно, порядок *H* делит *n*!. С последующим развитием теории абстрактных групп этот результат Лагранжа относительно многочленов был признан обобщением общей теоремы о конечных группах, которая теперь носит его имя. В своей работе «Disquisitiones Arithmeticae» 1801 года Карл Фридрих Гаусс доказал теорему Лагранжа для частного случая мультипликативной группы ненулевых целых чисел по модулю *p*, где *p* — простое число. В 1844 году Огюстен Луи Коши доказал теорему Лагранжа для симметрической группы *S<sub>n</sub>*. Камиль Жордан окончательно доказал теорему Лагранжа для любого случая группы перестановок в 1861 году.