Кіріспе

Шекті өлшемді Евклид кеңістігіндегі шектелген тізбектің жуысатын кіші тізбегі болады. Математикада, әсіресе нақты талдауда, Бернард Болцано мен Карл Вейерштрасс есімімен аталатын Болцано-Вейерштрасс теоремасы, шекті өлшемді Евклид кеңістігіндегі жуысу туралы маңызды теорема. Теоремада әрбір шексіз шектелген тізбектің жуысатын кіші тізбегі болады делінеді. Баламалы тұжырымдама: жинағының ішкі жиыны реттік жабықтықта болса және тек сонда ғана жабық және шектелген болады. Теорема кейде реттік жабықтық теоремасы деп те аталады.

Тарих және маңызы

Болцано-Вейерштрасс теоремасы математиктер Бернард Болцано мен Карл Вейерштрасс есімдерімен аталады. Бұл теорема алғаш рет 1817 жылы Болцано тарапынан аралық мән теоремасын дәлелдеу барысында қосымша теорема ретінде дәлелденген. Шамамен елу жыл өткен соң, бұл нәтиже өздігінен маңызды деп танылып, Вейерштрасс қайтадан дәлелдеді. Одан бері ол анализдің маңызды теоремаларының біріне айналды.

Дәлел

Алдымен теореманы (барлық нақты сандар жиыны) үшін дәлелдейміз, онда реттеуді тиімді пайдалануға болады. Шындығында, біз келесі нәтижеге иеміз:

Лемма: Кез келген шексіз тізбекте шексіз монотонды кіші тізбек болады (не өспейтін, не кемімейтін кіші тізбек). Дәлел: Тізбектің оң бүтін сандық индексін «жоғары нүкте» деп атаймыз, егер әрбір үшін. Егер тізбекте шексіз көп жоғары нүктелер болса, яғни келесі индекстер мен келесі мүшелер бар болса, онда. Демек, шексіз тізбекте монотонды (кемімейтін) кіші тізбек бар, яғни. Бірақ енді жоғары нүктелер саны шектеулі деп есептейік. Егер соңғы жоғары нүкте болса (әйтпесе), онда жаңа кіші тізбектің бірінші индексі болады. Онда бұл жоғары нүкте емес, өйткені соңғы жоғары нүктеден кейін келеді, яғни соңғы жоғары нүктеден кейін келеді, сондықтан осы процесті қайталау шексіз өспейтін кіші тізбекке әкеледі, осылайша кез келген шексіз тізбекте монотонды кіші тізбек бар екенін дәлелдейді. Енді бізде шектелген тізбек болсын; жоғарыда дәлелденген лемма бойынша, сондай-ақ шектелген монотонды кіші тізбек бар. Монотонды жинақталу теоремасынан бұл кіші тізбек жинақталады. Соңында, жалпы жағдайды төмендегідей жағдайға дейін келтіруге болады: егер -де шектелген тізбек берілген болса, онда бірінші координаттар тізбегі шектелген нақты тізбек болады, сондықтан оның жинақталатын кіші тізбегі бар. Содан кейін екінші координаттар жинақталатын кіші тізбекті бөліп алуға болады, және т.б., ақырында бастапқы тізбектен кіші тізбекке дейін өтеміз, ол әр координаттар тізбегі жинақталатын бастапқы тізбектің кіші тізбегі болады, сондықтан кіші тізбектің өзі жинақталады.

Экономикаға қолдану

Экономикада әр түрлі маңызды тепе-теңдік ұғымдары бар, олардың болуын дәлелдеу үшін Болцано-Вейерштрасс теоремасының түрленулері жиі қажет болады. Мысалы, Парето тиімді үлестірудің болуы. Үлестіру – экономикадағы агенттер үшін тұтыну жиынтығының матрицасы, ал егер агенттің ешқайсысының жағдайын нашарлатпай, кем дегенде бір агенттің жағдайын жақсартатын өзгеріс жасалмаса, онда үлестіру Парето тиімді болып саналады (мұнда үлестіру матрицасының қатарларын преференция қатынасы бойынша бағалауға болады). Болцано-Вейерштрасс теоремасы үлестірулер жиыны тығыз және бос емес болса, жүйенің Парето тиімді үлестіруге ие екенін дәлелдеуге мүмкіндік береді.