Кіріспе
Математикада, жазық қисықты кесіп өтпей-ақ, оған жанасатын түзу сызық. Геометрияда, берілген нүктедегі жазық қисыққа жанасатын сызық (немесе жай ғана жанасатын) – бұл сол нүктеде қисықты "тек қана жанасатын" түзу сызық. Лейбниц оны қисықтағы шексіз жақын екі нүкте арқылы өтетін түзу деп анықтады. Нақтырақ айтқанда, түзу сызық қисыққа жанасады, егер ол қисықтың (c, f(c)) нүктесінен өтіп, еңісі f-тің туындысына тең болса. Дәл осындай анықтама кеңістіктегі қисықтар мен n өлшемді Евклид кеңістігіндегі қисықтарға да қолданылады. Тангенс сызық пен қисықтың кездесетін немесе қиылысатын нүктесі тангенс нүктесі деп аталады. Тангенс сызық қисықпен "бір бағытта жүреді" делінеді, сондықтан ол сол нүктеде қисыққа ең жақсы жуықтау түзу сызығы болып табылады. Дифференциалданатын қисықтағы нүктеге тангенс сызықты, бастапқы функцияны берілген нүктеде ең жақсы жуықтайтын аффиндік функцияның графигі ретінде де қарастыруға болады. Сол сияқты, берілген нүктедегі бетке тангенс жазықтық – сол нүктеде бетке "тек қана жанасатын" жазықтық. Тангенс ұғымы дифференциалдық геометриядағы ең негізгі ұғымдардың бірі және кеңінен жалпыландырылған; "Тангенс" сөзі латын тілінен келген, "тигізу" деген мағынаны білдіреді.
In geometry, the tangent line (or simply tangent) to a plane curve at a given point is, intuitively, the straight line that "just touches" the curve at that point. Leibniz defined it as the line through a pair of infinitely close points on the curve. More precisely, a straight line is tangent to the curve at a point if the line passes through the point (c, f(c)) on the curve and has slope , where f is the derivative of f. A similar definition applies to space curves and curves in n dimensional Euclidean space. The point where the tangent line and the curve meet or intersect is called the point of tangency. The tangent line is said to be "going in the same direction" as the curve, and is thus the best straight line approximation to the curve at that point. The tangent line to a point on a differentiable curve can also be thought of as a tangent line approximation, the graph of the affine function that best approximates the original function at the given point. Similarly, the tangent plane to a surface at a given point is the plane that "just touches" the surface at that point. The concept of a tangent is one of the most fundamental notions in differential geometry and has been extensively generalized;
The word "tangent" comes from the Latin [[wikt:en:tangere#Latin, "to touch".
Тарих
Евклид элементтердің III кітабында (б.з.д. шамамен 300 ж.) шеңберге жанама (ἐφαπτομένη ephaptoménē) туралы бірнеше сілтеме жасайды. Аполлонийдің "Коникалар" еңбегінде (б.з.д. 225 ж.) ол жанаманы басқа түзу сызық пен қисық арасына түспейтін түзу сызық деп анықтайды. Архимед (б.з.д. 287 – б.з.д. 212 ж.) қисық бойымен қозғалатын нүктенің траекториясын қарастыру арқылы Архимед спираліне жанаманы тапты. Бұл әдістер 17 ғасырда дифференциалдық есептеудің дамуына әкелді. Көптеген адамдар үлес қосты. Роберваль қисықты бірнеше қарапайым қозғалыстардың нәтижесінде қозғалатын нүкте арқылы сипаттау арқылы жанама сызудың жалпы әдісін тапты. Рене Франсуа де Слюзе және Йоханнес Худде жанаманы табу үшін алгебралық алгоритмдерді тапты. Одан әрі дамуларға Джон Уоллис пен Исаак Барроудың еңбектері кірді, бұл Исаак Ньютон мен Готфрид Лейбництің теориясына жол ашты. 1828 жылғы жанаманың анықтамасы "қисыққа жанасқан, бірақ созылғанда оны кеспейтін түзу сызық" болды. Бұл ескі анықтама бұрылыс нүктелерінің жанамаға ие болуына мүмкіндік бермейді. Ол ескірген және қазіргі заманғы анықтамалар Лейбництің анықтамасына тең, ол жанама сызықты қисықтағы шексіз жақын екі нүкте арқылы өтетін сызық деп анықтады.
fall between it and the curve. Archimedes (c. 287 – c. 212 BC) found the tangent to an Archimedean spiral by considering the path of a point moving along the curve. These methods led to the development of differential calculus in the 17th century. Many people contributed. Roberval discovered a general method of drawing tangents, by considering a curve as described by a moving point whose motion is the resultant of several simpler motions. René François de Sluse and Johannes Hudde found algebraic algorithms for finding tangents. Further developments included those of John Wallis and Isaac Barrow, leading to the theory of Isaac Newton and Gottfried Leibniz. An 1828 definition of a tangent was "a right line which touches a curve, but which when produced, does not cut it". This old definition prevents inflection points from having any tangent. It has been dismissed and the modern definitions are equivalent to those of Leibniz, who defined the tangent line as the line through a pair of infinitely close points on the curve.
Жазық қисыққа жанасатын сызық
Тангенттік сызық қисық сызыққа "тиетіні" туралы интуитивті түсінікті функциялық қисық сызықта жатқан А және В екі нүктесі арқылы өтетін түзу сызықтардың (секанттық сызықтар) тізбесін қарастыру арқылы нақтырақ түсіндіруге болады. А нүктесіндегі тангенс – В нүктесі А нүктесіне жақындағандағы немесе оған ұмтылғандағы шек. Тангенттік сызықтың болуы және бірегейлігі "дифференциалдану" деп аталатын математикалық тегістіктің белгілі бір түріне байланысты. Мысалы, егер екі шеңберлік доға өткір бұрышта (тоқсандық нүктеде) түйіскенде, онда тоқсандық нүктеде бірегей анықталған тангенттік сызық болмайды, себебі секанттық сызықтардың прогрессиясының шегі "В нүктесінің" тоқсандық нүктеге жақындау бағытына тәуелді болады. Көптеген нүктелерде тангенттік сызық қисыққа кесіп өтпей-ақ тиеді (бірақ оны жалғастырғанда, тангенттік нүктеден басқа жерлерде қиып өтуі мүмкін). Тангенттік сызық (осы нүктеде) қисықты кесіп өтетін нүкте бұрылу нүктесі деп аталады. Шеңберлер, параболалар, гиперболалар және эллипстерде бұрылу нүктесі жоқ, бірақ күрделі қисықтарда, мысалы, кубтық функцияның графигінде дәл бір бұрылу нүктесі болады немесе синусоидада, синустың әр периоды үшін екі бұрылу нүктесі болады. Керісінше, қисық түзу сызықтың бір жағында, оның нүктесі арқылы өтетін түзу сызықтың бір жағында орналасуы мүмкін, бірақ бұл түзу сызық тангенттік сызық емес. Бұл, мысалы, үшбұрыштың тоқсандық нүктесі арқылы өтетін және басқаша қиып өтпейтін түзу сызығы үшін осылай, онда жоғарыда түсіндірілген себептерге байланысты тангенттік сызық жоқ. Дөңгелек геометрияда мұндай сызықтар тіреу сызықтары деп аталады.
Талдау әдісі
Таңба сызығының геометриялық тұжырымы, шекуші түзулердің лиміті ретінде, таңба сызықтарды нақты анықтауға қолданылатын талдау әдістеріне негіз болады. Графикке таңба сызығын табу мәселесі, яки таңба сызығының мәселесі, 17 ғасырда есептеу математикасының дамуына итермелеп берген басты мәселелердің бірі болды. Рене Декарт Геометрияның екінші кітабында қисыққа таңба сызығын салу мәселесі туралы: "Осы мәселе тек мен білетін геометриядағы ең пайдалы және ең жалпылама проблема ғана емес, тіпті мен білуге ниеттенген ең маңызды мәселе" деді.
Интуитивті сипаттама
Егер қисық функция графигі ретінде берілген болса, y = f(x), p = (a, f(a)) нүктесіндегі жанама сызықты табу үшін, қисықтағы q = (a + h, f(a + h)) нүктесін қарастырайық. p және q нүктелері арқылы өтетін секунды сызығының еңістігі айырмашылық коэффициентіне тең.
q нүктесі p нүктесіне жақындағанда, яғни h шағын болғанда, айырмашылық коэффициенті белгілі бір шекті мәнге k-ға жақындауы керек, бұл k нүктесіндегі жанама сызықтың еңістігін көрсетеді. Егер k белгілі болса, жанама сызықтың теңдеуін нүктелік еңістік түрінде табуға болады:
Толығырақ сипаттама
Алдыңғы қорытындыны нақтылау үшін, k белгілі бір шек мәніне жақындаған айырмашылық бөлігі нені білдіретінін түсіндіру қажет. Нақты математикалық тұжырымдаманы 19 ғасырда Коши берген және ол шек түсінігіне негізделген. Егер график p нүктесінде үзіліс немесе өткір бұрыш болмаса, сондай-ақ p нүктесіне жақын тік немесе тым иілгіш болмаса, онда k-ның бірегей мәні болады. Яғни, h 0-ға жақындағанда айырмашылық бөлігі k-ға жақындап келеді, ал олардың арасындағы қашықтық h-ның мөлшерімен салыстырғанда мардымсыз болады, егер h жеткілікті кішкентай болса. Бұл графикке жанасатын түзудің еңістігін f функциясының айырмашылық бөліктерінің шегі ретінде анықтауға алып келеді. Бұл шек f функциясының x = a нүктесіндегі туындысы болып табылады және f′(a) деп белгіленеді. Туындыларды қолдана отырып, жанасу сызығының теңдеуін былай жазуға болады: Есептеу (Calculus) функциялардың туындыларын есептеу үшін ережелер ұсынады, бұл функциялар формулалармен берілген, мысалы, қуат функциясы, тригонометриялық функциялар, экспоненциалдық функция, логарифм және олардың түрлі комбинациялары. Осылайша, осы функциялардың барлық графиктеріне жанасатын түзулердің теңдеулерін, сондай-ақ көптеген басқа функциялардың теңдеулерін есептеу әдістерімен табуға болады.
Calculus provides rules for computing the derivatives of functions that are given by formulas, such as the power function, trigonometric functions, exponential function, logarithm, and their various combinations. Thus, equations of the tangents to graphs of all these functions, as well as many others, can be found by the methods of calculus.
Әдіс қалай сәтсіз болуы мүмкін
Калькуль сонымен қатар олардың графиктерінде тангенс сызығының еңістігін анықтайтын шектің жоқ функциялары мен нүктелері бар екенін көрсетеді. Бұл нүктелер үшін f функциясы дифференциалданбайды. Лимиттер мен туындыларға негізделген тангенстерді табу әдісінің сәтсіз болуының екі себебі бар: геометриялық тангенс бар, бірақ ол тік сызық, ол еңісі болмағандықтан нүктелік еңіс түрінде берілмейді, немесе график геометриялық тангенсті болдырмайтын үш түрлі мінез-құлықтың біреуін көрсетеді. y = x1/3 графигі бірінші мүмкіншілікті көрсетеді: мұнда a = 0 нүктесіндегі айырмашылықтар қатынасы h1/3/h = h−2/3-ке тең, бұл h 0-ге жақындағанда өте үлкен мәнге жетеді. Бұл қисықтың бастауында тік тангенс сызығы бар. y = x2/3 графигі екінші мүмкіншілікті көрсетеді: бұл графиктің бастауында тұғыры бар. Бұл дегеніміз, h 0-ге жақындағанда a = 0 нүктесіндегі айырмашылықтар қатынасы x белгісіне байланысты оң немесе теріс шексіздікке жетеді. Осылайша, қисықтың екі тармағы да y=0 болатын жартылай тік сызыққа жақын, бірақ ешқайсысы осы сызықтың теріс бөлігіне жақын емес. Негізінде, бұл жағдайда бастау тегінде тангенс жоқ, бірақ кейбір жағдайларда бұл сызықты тангенс деп қарастыруға болады, тіпті алгебралық геометрияда – қос тангенс деп қарастыруға болады. Абсолюттік мән функциясының y = |x| графигі екі түзу сызықтан тұрады, олардың еңістері әртүрлі және бастау тегінде біріктірілген. Q нүктесі бастау тегіне оң жақтан жақындағанда, қима сызығының еңісі әрқашан 1 болады. Q нүктесі сол жақтан бастау тегіне жақындағанда, қима сызығының еңісі әрқашан −1 болады. Сондықтан, графиктің бастау тегінде бірегей тангенс жоқ. Екі түрлі (бірақ шекті) еңіс бұрыш деп аталады. Ақырында, дифференциалдану үздіксіздікті білдіретіндіктен, кері теорема бойынша үздіксіздіктің жоқтығы дифференциалданудың жоқтығын білдіреді. Мұндай кез келген секіру немесе нүктелік үздіксіздіктің жанама сызығы болмайды. Бұл бір еңіс оң шексіздікке, ал екіншісі теріс шексіздікке жақындаған жағдайларды қамтиды, бұл шексіз секірудің үздіксіздігіне әкеледі.
Бетке жанасатын жазықтық
Берілген нүктедегі p бетіне жанасатын жазықтық, қисықтардағы жанасатын түзу сияқты анықталады. Бұл p нүктесіндегі беттің жазықтықпен ең жақсы жуықтауы болып табылады және p-ге жақын беттегі 3 түрлі нүкте арқылы өтетін жазықтықтардың шегі ретінде алынуы мүмкін. Математикалық тұрғыдан алғанда, егер бет функциямен берілсе, онда p нүктесіндегі жанасатын жазықтықтың теңдеуі былай жазылуы мүмкін: Мұнда және функцияның тиісінше x және y айнымалыларына қатысты есептелген бөлшектік туындылары p нүктесіндегі мәндері. Қысқасы, жанасатын жазықтық p нүктесінде беттің жергілікті қасиеттерін көрсетеді. Бұл есептеу және дифференциалдық геометрияда қолданылатын маңызды түсінік, беттерде функциялардың жергілікті өзгерістерін түсіну үшін өте қажетті.
Here, and are the partial derivatives of the function with respect to and respectively, evaluated at the point In essence, the tangent plane captures the local behavior of the surface at the specific point p. It's a fundamental concept used in calculus and differential geometry, crucial for understanding how functions change locally on surfaces.
Жоғары өлшемді коллекторлар
Жалпы алғанда, n өлшемді Евклид кеңістігіндегі k өлшемді манифольдтың әрбір нүктесінде k өлшемді жанама кеңістік болады.