Введение

В математике, прямая линия, касающаяся плоской кривой, не пересекая её. В геометрии, касательная линия (или просто касательная) к плоской кривой в данной точке, интуитивно, – это прямая линия, которая "просто касается" кривой в этой точке. Лейбниц определил её как прямую, проходящую через пару бесконечно близких точек на кривой. Более точно, прямая линия является касательной к кривой в точке, если она проходит через точку (c, f(c)) на кривой и имеет угловой коэффициент f', где f' – производная функции f. Аналогичное определение применимо к пространственным кривым и кривым в n-мерном евклидовом пространстве. Точка, в которой касательная линия и кривая встречаются или пересекаются, называется точкой касания. Касательная линия считается "идущей в том же направлении", что и кривая, и, таким образом, является наилучшим линейным приближением к кривой в этой точке. Касательную линию к точке на дифференцируемой кривой также можно рассматривать как касательное линейное приближение – график аффинной функции, наилучшим образом аппроксимирующий исходную функцию в данной точке. Аналогично, касательная плоскость к поверхности в данной точке – это плоскость, которая "просто касается" поверхности в этой точке. Понятие касательной является одним из самых фундаментальных понятий в дифференциальной геометрии и получило широкое обобщение; слово "касательная" происходит от латинского *tangere* – "касаться".

История

Евклид делает несколько ссылок на касательную (ἐφαπτομένη эфаптоменэ) к окружности в книге III «Начала» (около 300 г. до н.э.). В труде Аполлония «Конические сечения» (около 225 г. до н.э.) он определяет касательную как линию, между которой и кривой не может пройти никакая другая прямая. Архимед (ок. 287 – ок. 212 г. до н.э.) нашёл касательную к спирали Архимеда, рассматривая путь точки, движущейся вдоль кривой. Эти методы привели к развитию дифференциального исчисления в XVII веке. Многие внесли свой вклад. Робервалю удалось обнаружить общий метод построения касательных, рассматривая кривую как описание движущейся точки, чьё движение является результирующим нескольких более простых движений. Рене Франсуа де Слюз и Йоханнес Худде нашли алгебраические алгоритмы для определения касательных. Дальнейшие разработки включали работы Джона Уоллиса и Исаака Барроу, которые привели к теории Исаака Ньютона и Готфрида Лейбница. В 1828 году касательная была определена как «прямая линия, касающаяся кривой, но не пересекающая её при продолжении». Это устаревшее определение исключает возможность существования касательной в точках перегиба. Оно было отвергнуто, и современные определения эквивалентны определениям Лейбница, который определял касательную линию как линию, проходящую через пару бесконечно близких точек на кривой.

Тангенс к плоской кривой

Интуитивное представление о том, что касательная линия "касается" кривой, можно сделать более точным, рассмотрев последовательность прямых линий (секущих), проходящих через две точки A и B, лежащие на графике функции. Касательная в точке A – это предел, к которому стремится прямая, когда точка B приближается к точке A. Существование и единственность касательной зависят от определенного типа математической гладкости, известного как "дифференцируемость". Например, если две дуги окружностей сходятся в острой точке (вершине), то однозначно определенной касательной в этой вершине не существует, поскольку предел последовательности секущих зависит от направления, с которого точка B приближается к вершине. В большинстве точек касательная касается кривой, не пересекая её (хотя при продолжении она может пересечь кривую в других местах, удаленных от точки касания). Точка, в которой касательная (в этой точке) пересекает кривую, называется точкой перегиба. Окружности, параболы, гиперболы и эллипсы не имеют точек перегиба, но более сложные кривые, такие как график кубической функции (имеющей ровно одну точку перегиба) или синусоида (имеющей две точки перегиба на каждый период синуса), их имеют. В то же время, может случиться так, что кривая целиком лежит по одну сторону от прямой, проходящей через точку на ней, и при этом эта прямая не является касательной. Это, например, происходит с прямой, проходящей через вершину треугольника и не пересекающей его иначе – в этом случае касательная не существует по причинам, описанным выше. В выпуклой геометрии такие прямые называются поддерживающими прямыми.

Аналитический подход

Геометрическая идея касательной линии как предела секущих линий служит мотивацией для аналитических методов, используемых для явного определения касательных линий. Вопрос нахождения касательной к графику, или проблема касательных, был одним из центральных вопросов, приведших к развитию математического анализа в XVII веке. Во второй книге своей "Геометрии" Рене Декарт сказал о проблеме построения касательной к кривой: "И я смею утверждать, что это не только самая полезная и общая проблема в геометрии, которую я знаю, но даже та, которую я всегда стремился узнать".

Интуитивное описание

Предположим, что кривая задана как график функции y = f(x). Чтобы найти касательную прямую в точке p = (a, f(a)), рассмотрим другую близлежащую точку q = (a + h, f(a + h)) на кривой. Наклон секущей прямой, проходящей через точки p и q, равен разностному отношению.

По мере приближения точки q к точке p, что соответствует уменьшению h, разностное отношение должно приближаться к определенному предельному значению k, которое является наклоном касательной прямой в точке p. Если k известно, уравнение касательной прямой можно найти в форме уравнения прямой, проходящей через данную точку с заданным угловым коэффициентом:

Более строгое описание

Чтобы сделать предыдущие рассуждения более строгими, необходимо объяснить, что подразумевается под тем, что разностное отношение стремится к определенному предельному значению k. Точная математическая формулировка была дана Коши в XIX веке и основана на понятии предела. Предположим, что график не имеет разрыва или резкого излома в точке p и не является вертикальным или слишком сильно колеблющимся вблизи p. Тогда существует единственное значение k, такое, что при стремлении h к 0 разностное отношение всё ближе и ближе приближается к k, и расстояние между ними становится пренебрежимо малым по сравнению с величиной h, если h достаточно мало. Это приводит к определению наклона касательной к графику как предела разностных отношений для функции f. Этот предел является производной функции f в точке x = a, обозначаемой f'(a). Используя производные, уравнение касательной можно записать следующим образом:

Математический анализ предоставляет правила для вычисления производных функций, заданных формулами, таких как степенная функция, тригонометрические функции, экспоненциальная функция, логарифм и их различные комбинации. Таким образом, уравнения касательных к графикам всех этих функций, а также многих других, могут быть найдены методами математического анализа.

Как метод может потерпеть неудачу

Исчисление также демонстрирует, что существуют функции и точки на их графиках, для которых предел, определяющий наклон касательной, не существует. Для этих точек функция f недифференцируема. Существует две возможные причины, по которым метод нахождения касательных, основанный на пределах и производных, может не работать: либо геометрическая касательная существует, но это вертикальная прямая, которую нельзя представить в форме уравнения касательной с угловым коэффициентом, поскольку у неё нет наклона, либо график демонстрирует одно из трёх поведений, исключающих существование геометрической касательной. График y = x<sup>1/3</sup> иллюстрирует первую возможность: здесь разностное отношение при a = 0 равно h<sup>1/3</sup>/h = h<sup>-2/3</sup>, которое становится очень большим при стремлении h к 0. Эта кривая имеет касательную в начале координат, которая является вертикальной. График y = x<sup>2/3</sup> иллюстрирует другую возможность: этот график имеет точку возврата на начале координат. Это означает, что при стремлении h к 0 разностное отношение при a = 0 стремится к плюс или минус бесконечности в зависимости от знака x. Таким образом, обе ветви кривой близки к полувертикальной прямой, для которой y = 0, но ни одна из них не близка к отрицательной части этой прямой. По сути, в этом случае касательной в начале координат нет, но в некоторых контекстах эту прямую можно рассматривать как касательную, и даже, в алгебраической геометрии, как двойную касательную. График y = |x| функции абсолютной величины состоит из двух прямых линий с разными наклонами, соединенных в начале координат. Когда точка q приближается к началу координат справа, секущая всегда имеет наклон 1. Когда точка q приближается к началу координат слева, секущая всегда имеет наклон -1. Следовательно, не существует единственной касательной к графику в начале координат. Наличие двух различных (но конечных) наклонов называется углом. Наконец, поскольку дифференцируемость подразумевает непрерывность, то, согласно теореме о contrapositive, разрывность подразумевает недифференцируемость. Любой такой скачок или точечный разрыв не имеет касательной. Это включает в себя случаи, когда один наклон стремится к положительной бесконечности, а другой к отрицательной бесконечности, что приводит к бесконечному скачкообразному разрыву.

Тангентная плоскость к поверхности

Тангентная плоскость к поверхности в данной точке p определяется аналогично тангентной прямой в случае кривых. Она является наилучшим приближением поверхности плоскостью в точке p и может быть получена как предельное положение плоскостей, проходящих через 3 различные точки на поверхности, близкие к p, при стремлении этих точек к p. Математически, если поверхность задана функцией , уравнение тангентной плоскости в точке p может быть выражено следующим образом:

Здесь и – частные производные функции по x и y соответственно, вычисленные в точке p. По сути, тангентная плоскость отражает локальное поведение поверхности в конкретной точке p. Это фундаментальное понятие, используемое в математическом анализе и дифференциальной геометрии, необходимое для понимания локальных изменений функций на поверхностях.

Высокомерные коллекторы

В более общем случае, в каждой точке k-мерного многообразия в n-мерном евклидовом пространстве существует k-мерное касательное пространство.