Геометриядағы байланыс: кеңістіктегі өзгерістерді зерттеу

Кіріспе

Кеңістіктегі белгілі бір нүктелер бойынша қозғалғанда белгілі бір айнымалының қалай өзгеретінін көрсететін функция. Геометрияда байланыс ұғымы, тангенстік кеңістіктегі тангенс векторлары немесе тензорлар сияқты жергілікті геометриялық объектілерді қисық немесе қисықтар жиынтығы бойынша параллель және дәйекті түрде тасымалдау идеясын нақтылайды. Қазіргі геометрияда байланыстың түрлері, қандай деректерді тасымалдау қажеттігіне байланысты әртүрлі болады. Мысалы, ең қарапайым байланыс түрі – аффиндік байланыс, манила бойынша бір нүктеден екінші нүктеге қисық бойымен тангенс векторларын параллель түрде тасымалдауға мүмкіндік береді. Аффиндік байланыс әдетте ковариантты туынды түрінде беріледі, ол векторлық өрістердің бағыттық туындыларын алуға және векторлық өрістің берілген бағыттағы параллельдікке қатысты ауытқуын өлшеуге мүмкіндік береді. Байланыстар қазіргі геометрияда маңызды рөл атқарады, себебі олар бір нүктедегі және басқа нүктедегі жергілікті геометрияны салыстыруға мүмкіндік береді. Дифференциалдық геометрия байланыс тақырыбының көптеген нұсқаларын қамтиды, олардың барлығы екі негізгі топқа бөлінеді: шексіз кішкентай және жергілікті теория. Жергілікті теория негізінен параллель тасымалдау және голономия ұғымдарымен айналысады. Шексіз кішкентай теория геометриялық деректерді дифференциациялаумен айналысады. Осылайша, ковариантты туынды – манила бойынша басқа векторлық өріс бойымен векторлық өрістің туындысын анықтаудың бір жолы. Картан байланысы – дифференциалдық формалар мен Ли тобын пайдаланып байланыс теориясының кейбір аспектілерін қалыптастыру тәсілі. Эресманн байланысы – өрістің рұқсат етілген қозғалыс бағыттарын анықтау арқылы талшықты немесе бас бундельдегі байланыс. Козуль байланысы – векторлық бундельдің тангенс бундельінен гөрі жалпы қималары үшін бағыттық туындыны анықтайтын байланыс. Байланыстар геометриялық инварианттардың ыңғайлы формулаларын да қамтамасыз етеді, мысалы, қисықтық (қисықтық тензоры мен қисықтық формасын қараңыз) және бұрылыс тензоры.

Function which tells how a certain variable changes as it moves along certain points in space
In geometry, the notion of a connection makes precise the idea of transporting local geometric objects, such as tangent vectors or tensors in the tangent space, along a curve or family of curves in a parallel and consistent manner. There are various kinds of connections in modern geometry, depending on what sort of data one wants to transport. For instance, an affine connection, the most elementary type of connection, gives a means for parallel transport of tangent vectors on a manifold from one point to another along a curve. An affine connection is typically given in the form of a covariant derivative, which gives a means for taking directional derivatives of vector fields, measuring the deviation of a vector field from being parallel in a given direction. Connections are of central importance in modern geometry in large part because they allow a comparison between the local geometry at one point and the local geometry at another point. Differential geometry embraces several variations on the connection theme, which fall into two major groups: the infinitesimal and the local theory. The local theory concerns itself primarily with notions of parallel transport and holonomy. The infinitesimal theory concerns itself with the differentiation of geometric data. Thus a covariant derivative is a way of specifying a derivative of a vector field along another vector field on a manifold. A Cartan connection is a way of formulating some aspects of connection theory using differential forms and Lie groups. An Ehresmann connection is a connection in a fibre bundle or a principal bundle by specifying the allowed directions of motion of the field. A Koszul connection is a connection which defines directional derivative for sections of a vector bundle more general than the tangent bundle. Connections also lead to convenient formulations of geometric invariants, such as the curvature (see also curvature tensor and curvature form), and torsion tensor.

Қаулы

Жоғарыда айтылған мәселе – векторлық есептеудің әдеттегі бағытты туындысы, векторлық өрістердің компоненттеріне қолданғанда, координаталар жүйесі өзгелген кезде дұрыс нәтиже бермейді. Бұл, егер мұндай ұғымның мәні болса, векторлық өрістерді параллель түрде қалай жылжыту керектігін сипаттауды өте қиын етеді. Бұл мәселені шешудің екі түбегейлі жолы бар. Бірінші тәсіл – координаталық өтулер кезінде бағытты туындының жалпылануының «дұрыс әрекет етуі» үшін қандай шарттар қажет екенін қарастыру. Бұл ковариантты туындыға байланысты байланыстардың тәсілі: дұрыс мінез-құлық коварианттылыққа тең. Мұнда белгілі бір сызықты оператормен бағытты туындыны өзгерту қарастырылады, оның компоненттері Кристоффель символдары деп аталады, және бұл векторлық өрістің өзінде туындыларды қамтымайды. Координаталар жүйесі φ-дегі вектордың компоненттерінің u бағытындағы бағытты туындысы Duv ковариантты туындымен алмастырылады:

мұнда Γ координаталар жүйесі φ-ге тәуелді және u мен v бойынша екі сызықты. Атап айтқанда, Γ u немесе v бойынша туындыларды қамтымайды. Бұл тәсілде, Γ координаталар жүйесі φ басқа координаталар жүйесіне ауысқанда белгілі бір заңмен түрленуі керек. Бұл түрлендіру тензорлық емес, өйткені ол координаталық өтудің бірінші туындысын ғана емес, сонымен қатар оның екінші туындысын да қамтиды. Γ-ның түрлендіру заңдылығын көрсету Γ-ны бірегей анықтау үшін жеткіліксіз. Басқа да нормалау шарттарын қосу қажет, әдетте қарастырылып отырған геометрия түріне байланысты. Риман геометриясында Леви-Чивита байланысы Кристоффель символдарының метрикамен үйлесімділігін (сондай-ақ белгілі бір симметрия шартын) талап етеді. Осы нормалаулармен байланыс бірегей түрде анықталады. Екінші тәсіл – кеңістіктегі симметрияның қалдық белгілерін ұстап алу үшін Ли тобын пайдалану. Картан байланыстары осы тәсілге сәйкес келеді. Жоғарыдағы мысал, сферадағы векторларды параллель түрде жылжыту үшін айналуды пайдалану, осы бағыттағы мысал болып табылады.

Байланыстардың тарихи шолуы

Тарихи тұрғыдан алғанда, байланыстар Риман геометриясында шексіз кішігірім тұрғыдан зерттелді. Байланыстарды зерттеудің шексіз шағын бөлігі Эльвин Кристоффельдің еңбектерімен белгілі бір дәрежеде басталды. Кейіннен бұл Грегорио Риччи Курбастро мен Туллио Леви-Чивита толыққанды қабылдады, олар Кристоффельдің шексіз кішкентай мағынасындағы байланыстың параллель көшіру түсінігіне де мүмкіндік беретінін байқады. Леви-Чивитаның жұмысы байланыстарды дифференциалдық оператордың бір түрі ретінде қарастыруға және оның параллель жылжуларын дифференциалдық теңдеулердің шешімдері ретінде қарастыруға толыққанды бағытталған. ХХ ғасырдың басында Эли Картан байланыс туралы жаңа түсінік қалыптастырды. Ол Феликс Клейннің Эрланген бағдарламасының геометриясына Пфаффиандық жүйелердің әдістерін қолдануға тырысты. Осы зерттеулерде ол белгілі бір шексіз кіші байланыс ұғымын (Картан байланысы) осы геометрияларға және одан да көп нәрсеге қолдануға болатынын анықтады: оның байланыс тұжырымы классикалық Клейн геометриясында болмайтын қисықтықтың болуына мүмкіндік берді. (Мысалы, қараңыз.) Сонымен қатар, Гастон Дарбукс динамикасын пайдалана отырып, Картан өзінің шексіз кіші байланыстар класы үшін параллель көшіру түсінігін жалпылады. Бұл байланыс теориясындағы тағы бір маңызды бағытты белгіледі: байланыс – бұл белгілі бір дифференциалдық форма. Байланыс теориясының екі бағыты бүгінгі күнге дейін сақталып келеді: дифференциалдық оператор ретінде байланыс және дифференциалдық форма ретінде байланыс. 1950 жылы Жан-Луи Козуль Козуль байланысы арқылы байланысты дифференциалдық оператор ретінде қарастыру үшін алгебралық негіздеме берді. Козуль байланысы Леви-Чивита байланысынан гөрі жалпылама болды және жұмыс істеуге ыңғайлырақ болды, өйткені ол ақыры байланыс формализмінен Кристоффельдің қиын символдарын жоюға (немесе кем дегенде жасыруға) қабілетті болды. Сондай-ақ, параллель жылжу операциялары байланыс тұрғысынан табиғи алгебралық интерпретацияға ие болды. Козульдің анықтамасын кейіннен дифференциалдық геометрия қауымдастығының көпшілігі қабылдады, өйткені ол ковариантты дифференциация мен параллель көшіру арасындағы аналитикалық сәйкестікті алгебралық сәйкестікке айналдырды. Сол жылы Картанның шәкірті Шарль Эресманн негізгі бундельдер және, жалпы алғанда, талшықты бундельдер контекстінде байланысты дифференциалдық форма ретінде қарастырудың өзгеруін ұсынды. Эресманн байланыстары, қатаң айтқанда, Картан байланыстарының жалпыламасы емес еді. Картан байланыстары Картанның эквиваленттік әдісімен байланыс болғандықтан, көпқырлылықтың негізгі дифференциалдық топологиясына қатты байланысты болды. Эресманн байланыстары сол кездегі басқа геометрлердің негізін қалаушы жұмыстарын қарастыру үшін берік негіз болды, мысалы, Шиң Шен Черн, ол өлшегіш байланыстар деп аталатын нәрсені зерттеу үшін Картан байланыстарынан алыста бастаған болатын. Эресманн пікірінше, негізгі бунделдегі байланыс бундельдің жалпы кеңістігіндегі көлденең және тік векторлық өрістерді белгілеуден тұрады. Параллель көшіру – бұл негізден негізгі бундельдегі көлденең қисыққа қисықтың көтерілуі. Бұл көзқарас голономияны зерттеуде ерекше құнды болып шықты.

Historically, connections were studied from an infinitesimal perspective in Riemannian geometry. The infinitesimal study of connections began to some extent with Elwin Christoffel. This was later taken up more thoroughly by Gregorio Ricci Curbastro and Tullio Levi Civita who observed in part that a connection in the infinitesimal sense of Christoffel also allowed for a notion of parallel transport. The work of Levi Civita focused exclusively on regarding connections as a kind of differential operator whose parallel displacements were then the solutions of differential equations. As the twentieth century progressed, Élie Cartan developed a new notion of connection. He sought to apply the techniques of Pfaffian systems to the geometries of Felix Klein's Erlangen program. In these investigations, he found that a certain infinitesimal notion of connection (a Cartan connection) could be applied to these geometries and more: his connection concept allowed for the presence of curvature which would otherwise be absent in a classical Klein geometry. (See, for example, and .) Furthermore, using the dynamics of Gaston Darboux, Cartan was able to generalize the notion of parallel transport for his class of infinitesimal connections. This established another major thread in the theory of connections: that a connection is a certain kind of differential form. The two threads in connection theory have persisted through the present day: a connection as a differential operator, and a connection as a differential form. In 1950, Jean Louis Koszul gave an algebraic framework for regarding a connection as a differential operator by means of the Koszul connection. The Koszul connection was both more general than that of Levi Civita, and was easier to work with because it finally was able to eliminate (or at least to hide) the awkward Christoffel symbols from the connection formalism. The attendant parallel displacement operations also had natural algebraic interpretations in terms of the connection. Koszul's definition was subsequently adopted by most of the differential geometry community, since it effectively converted the analytic correspondence between covariant differentiation and parallel translation to an algebraic one. In that same year, Charles Ehresmann , a student of Cartan's, presented a variation on the connection as a differential form view in the context of principal bundles and, more generally, fibre bundles. Ehresmann connections were, strictly speaking, not a generalization of Cartan connections. Cartan connections were quite rigidly tied to the underlying differential topology of the manifold because of their relationship with Cartan's equivalence method. Ehresmann connections were rather a solid framework for viewing the foundational work of other geometers of the time, such as Shiing Shen Chern, who had already begun moving away from Cartan connections to study what might be called gauge connections. In Ehresmann's point of view, a connection in a principal bundle consists of a specification of horizontal and vertical vector fields on the total space of the bundle. A parallel translation is then a lifting of a curve from the base to a curve in the principal bundle which is horizontal. This viewpoint has proven especially valuable in the study of holonomy.

Мүмкін болатын тәсілдер

Тікелей тәсіл – ковариантты туындының векторлық өрістер модулі элементтеріне дифференциалдық оператор ретінде қалай әсер ететінін нақты анықтау. Көбінесе, осыған ұқсас тәсіл кез келген векторлық жиынтықтағы байланыстар үшін де қолданылады. Дәстүрлі индекстік жазу компоненттер арқылы байланысты көрсетеді; Кристоффель символдарына жүгініңіз. (Ескерту: бұл үш индекске ие, бірақ тензор емес). Псевдо-Риман және Риман геометриясында Леви-Чивита байланысы – метрикалық тензормен байланысты ерекше байланыс. Бұл аффиналық байланыстардың мысалдары. Сондай-ақ, проективтік байланыс ұғымы бар, оның күрделі анализдегі Шварц туындысы бір мысалы. Жалпы алғанда, аффиналық және проективтік байланыстар екеуі де Картан байланыстарының түрлері болып табылады. Бас бундельдерді қолдану арқылы байланысты Лай алгебрасымен бағаланған дифференциалдық форма ретінде жүзеге асыруға болады. Қосылым (бас бундель) деген бетке қараңыз. "Деректерді" тасымалдау түсінігін тікелей пайдаланатын байланысқа қатысты тәсіл (ол қандай болса да) – Эресман байланысы. Ең абстрактілі тәсілді Александр Гротендик ұсынған болуы мүмкін, онда Гротендик байланысы диагональдің инфинитезимальді аймақтарынан түсетін деректер ретінде қарастырылады; қараңыз.