Соединения в геометрии: параллельный перенос и дифференцирование геометрических объектов

Введение

Функция, описывающая изменение определенной переменной при ее перемещении вдоль заданных точек в пространстве.
В геометрии понятие связности позволяет точно сформулировать идею переноса локальных геометрических объектов, таких как тангенциальные векторы или тензоры в тангенциальном пространстве, вдоль кривой или семейства кривых параллельным и согласованным образом. В современной геометрии существует множество типов связностей, в зависимости от того, какие данные требуется переносить. Например, аффинная связность, являющаяся наиболее элементарным типом связности, предоставляет средство для параллельного переноса тангенциальных векторов на многообразии из одной точки в другую вдоль кривой. Аффинная связность обычно задается в форме ковариантной производной, которая позволяет вычислять направленные производные векторных полей, измеряя отклонение векторного поля от параллельности в заданном направлении. Связности играют центральную роль в современной геометрии, во многом потому, что они позволяют сравнивать локальную геометрию в одной точке и локальную геометрию в другой точке. Дифференциальная геометрия охватывает несколько вариаций темы связности, которые делятся на две основные группы: бесконечно малую и локальную теорию. Локальная теория в основном рассматривает понятия параллельного переноса и голономии. Бесконечно малая теория посвящена дифференцированию геометрических данных. Таким образом, ковариантная производная – это способ задания производной векторного поля вдоль другого векторного поля на многообразии. Картанская связность – это способ формулирования некоторых аспектов теории связности с использованием дифференциальных форм и групп Ли. Связность Эресманна – это связность в расслоении или главном расслоении, определяющая допустимые направления движения поля. Связность Козуля – это связность, определяющая направленную производную для сечений векторного расслоения, более общего, чем касательное расслоение. Связности также приводят к удобным формулировкам геометрических инвариантов, таких как кривизна (см. также тензор кривизны и форма кривизны) и тензор кручения.

Function which tells how a certain variable changes as it moves along certain points in space
In geometry, the notion of a connection makes precise the idea of transporting local geometric objects, such as tangent vectors or tensors in the tangent space, along a curve or family of curves in a parallel and consistent manner. There are various kinds of connections in modern geometry, depending on what sort of data one wants to transport. For instance, an affine connection, the most elementary type of connection, gives a means for parallel transport of tangent vectors on a manifold from one point to another along a curve. An affine connection is typically given in the form of a covariant derivative, which gives a means for taking directional derivatives of vector fields, measuring the deviation of a vector field from being parallel in a given direction. Connections are of central importance in modern geometry in large part because they allow a comparison between the local geometry at one point and the local geometry at another point. Differential geometry embraces several variations on the connection theme, which fall into two major groups: the infinitesimal and the local theory. The local theory concerns itself primarily with notions of parallel transport and holonomy. The infinitesimal theory concerns itself with the differentiation of geometric data. Thus a covariant derivative is a way of specifying a derivative of a vector field along another vector field on a manifold. A Cartan connection is a way of formulating some aspects of connection theory using differential forms and Lie groups. An Ehresmann connection is a connection in a fibre bundle or a principal bundle by specifying the allowed directions of motion of the field. A Koszul connection is a connection which defines directional derivative for sections of a vector bundle more general than the tangent bundle. Connections also lead to convenient formulations of geometric invariants, such as the curvature (see also curvature tensor and curvature form), and torsion tensor.

Резолюция

Проблема, наблюдаемая выше, заключается в том, что обычная направленная производная векторного исчисления ведёт себя некорректно при изменениях системы координат при применении к компонентам векторных полей. Это существенно затрудняет описание параллельного переноса векторных полей, если вообще такое понятие имеет смысл. Существует два принципиально различных способа решения этой проблемы. Первый подход состоит в исследовании условий, необходимых для обобщения направленной производной, чтобы она "корректно" преобразовывалась при переходах координат. Это тактика, используемая в ковариантном подходе к связностям: корректное поведение отождествляется с ковариантностью. Здесь рассматривается модификация направленной производной с помощью определённого линейного оператора, компоненты которого называются символами Кристоффеля, и которая не содержит производных по самому векторному полю. Направленная производная Duv компонентов вектора v в системе координат φ в направлении u заменяется ковариантной производной: где Γ зависит от системы координат φ и является билинейной по u и v. В частности, Γ не содержит производных по u или v. В этом подходе Γ должна преобразовываться определённым образом при переходе от системы координат φ к другой системе координат. Это преобразование не является тензорным, поскольку оно включает не только первую производную перехода координат, но и вторую производную. Задание закона преобразования Γ недостаточно для однозначного определения Γ. Необходимо наложить дополнительные условия нормировки, обычно зависящие от рассматриваемого типа геометрии. В римановой геометрии связь Леви-Чивиты требует совместимости символов Кристоффеля с метрикой (а также определённого условия симметрии). При таких нормировках связь определяется однозначно. Второй подход заключается в использовании групп Ли для попытки уловить остаток симметрии в пространстве. Это подход, используемый в картанских связностях. Приведённый выше пример с использованием вращений для определения параллельного переноса векторов на сфере вполне соответствует этому подходу.

The problem observed above is that the usual directional derivative of vector calculus does not behave well under changes in the coordinate system when applied to the components of vector fields. This makes it quite difficult to describe how to translate vector fields in a parallel manner, if indeed such a notion makes any sense at all. There are two fundamentally different ways of resolving this problem. The first approach is to examine what is required for a generalization of the directional derivative to "behave well" under coordinate transitions. This is the tactic taken by the covariant derivative approach to connections: good behavior is equated with covariance. Here one considers a modification of the directional derivative by a certain linear operator, whose components are called the Christoffel symbols, which involves no derivatives on the vector field itself. The directional derivative Duv of the components of a vector v in a coordinate system φ in the direction u are replaced by a covariant derivative:

where Γ depends on the coordinate system φ and is bilinear in u and v. In particular, Γ does not involve any derivatives on u or v. In this approach, Γ must transform in a prescribed manner when the coordinate system φ is changed to a different coordinate system. This transformation is not tensorial, since it involves not only the first derivative of the coordinate transition, but also its second derivative. Specifying the transformation law of Γ is not sufficient to determine Γ uniquely. Some other normalization conditions must be imposed, usually depending on the type of geometry under consideration. In Riemannian geometry, the Levi Civita connection requires compatibility of the Christoffel symbols with the metric (as well as a certain symmetry condition). With these normalizations, the connection is uniquely defined. The second approach is to use Lie groups to attempt to capture some vestige of symmetry on the space. This is the approach of Cartan connections. The example above using rotations to specify the parallel transport of vectors on the sphere is very much in this vein.

Исторический обзор связей

Исторически, связи изучались с бесконечно малого угла зрения в римановой геометрии. Бесконечно малое изучение связей началось отчасти с Элвина Кристоффеля. Позже это было более тщательно разработано Грегорио Риччи Курбастро и Туллио Леви-Чивитой, которые заметили, что связь в бесконечно малом смысле Кристоффеля также допускает понятие параллельного переноса. Работа Леви-Чивиты была сосредоточена исключительно на рассмотрении связей как разновидности дифференциального оператора, параллельные сдвиги которого являлись решениями дифференциальных уравнений. По мере развития двадцатого века Эли Картан разработал новое понятие связи. Он стремился применить методы пфаффовых систем к геометриям программы Эрлангена Феликса Клейна. В этих исследованиях он обнаружил, что определенное бесконечно малое понятие связи (картановская связь) может быть применено к этим геометриям и не только: его концепция связи допускала наличие кривизны, которая в противном случае отсутствовала бы в классической геометрии Клейна. (См., например, и .) Кроме того, используя динамику Гастона Дарбу, Картан смог обобщить понятие параллельного переноса для своего класса бесконечно малых связей. Это заложило еще одну важную линию в теории связей: связь как определенный вид дифференциальной формы. Обе эти линии в теории связей сохраняются и по сей день: связь как дифференциальный оператор и связь как дифференциальная форма. В 1950 году Жан-Луи Козуль предложил алгебраическую основу для рассмотрения связи как дифференциального оператора, используя козульскую связь. Козульская связь была более общей, чем связь Леви-Чивиты, и с ней было легче работать, поскольку она, наконец, позволила исключить (или, по крайней мере, скрыть) неудобные символы Кристоффеля из формализма связи. Соответствующие операции параллельного переноса также имели естественные алгебраические интерпретации с точки зрения связи. Определение Козуля впоследствии было принято большинством специалистов в области дифференциальной геометрии, поскольку оно эффективно преобразовало аналитическую связь между ковариантной производной и параллельным переносом в алгебраическую. В том же году Шарль Эресманн, ученик Картана, представил вариант рассмотрения связи как дифференциальной формы в контексте главных расслоений и, в более общем смысле, волокнистых расслоений. Строго говоря, эресманновские связи не являлись обобщением картановских связей. Картановские связи были довольно жестко связаны с базовой дифференциальной топологией многообразия из-за их связи с методом эквивалентности Картана. Эресманновские связи, напротив, представляли собой прочную основу для осмысления фундаментальных работ других геометров того времени, таких как Шиинг Шен Черн, который уже начал отходить от картановских связей для изучения того, что можно назвать калибровочными связями. С точки зрения Эресманна, связь в главном расслоении состоит из задания горизонтальных и вертикальных векторных полей на полном пространстве расслоения. Параллельный перенос, в свою очередь, является поднятием кривой с основания в кривую в главном расслоении, которая является горизонтальной. Эта точка зрения оказалась особенно ценной в изучении голономии.

Historically, connections were studied from an infinitesimal perspective in Riemannian geometry. The infinitesimal study of connections began to some extent with Elwin Christoffel. This was later taken up more thoroughly by Gregorio Ricci Curbastro and Tullio Levi Civita who observed in part that a connection in the infinitesimal sense of Christoffel also allowed for a notion of parallel transport. The work of Levi Civita focused exclusively on regarding connections as a kind of differential operator whose parallel displacements were then the solutions of differential equations. As the twentieth century progressed, Élie Cartan developed a new notion of connection. He sought to apply the techniques of Pfaffian systems to the geometries of Felix Klein's Erlangen program. In these investigations, he found that a certain infinitesimal notion of connection (a Cartan connection) could be applied to these geometries and more: his connection concept allowed for the presence of curvature which would otherwise be absent in a classical Klein geometry. (See, for example, and .) Furthermore, using the dynamics of Gaston Darboux, Cartan was able to generalize the notion of parallel transport for his class of infinitesimal connections. This established another major thread in the theory of connections: that a connection is a certain kind of differential form. The two threads in connection theory have persisted through the present day: a connection as a differential operator, and a connection as a differential form. In 1950, Jean Louis Koszul gave an algebraic framework for regarding a connection as a differential operator by means of the Koszul connection. The Koszul connection was both more general than that of Levi Civita, and was easier to work with because it finally was able to eliminate (or at least to hide) the awkward Christoffel symbols from the connection formalism. The attendant parallel displacement operations also had natural algebraic interpretations in terms of the connection. Koszul's definition was subsequently adopted by most of the differential geometry community, since it effectively converted the analytic correspondence between covariant differentiation and parallel translation to an algebraic one. In that same year, Charles Ehresmann , a student of Cartan's, presented a variation on the connection as a differential form view in the context of principal bundles and, more generally, fibre bundles. Ehresmann connections were, strictly speaking, not a generalization of Cartan connections. Cartan connections were quite rigidly tied to the underlying differential topology of the manifold because of their relationship with Cartan's equivalence method. Ehresmann connections were rather a solid framework for viewing the foundational work of other geometers of the time, such as Shiing Shen Chern, who had already begun moving away from Cartan connections to study what might be called gauge connections. In Ehresmann's point of view, a connection in a principal bundle consists of a specification of horizontal and vertical vector fields on the total space of the bundle. A parallel translation is then a lifting of a curve from the base to a curve in the principal bundle which is horizontal. This viewpoint has proven especially valuable in the study of holonomy.

Возможные подходы

Довольно прямой подход заключается в определении того, как ковариантная производная действует на элементы модуля векторных полей как дифференциальный оператор. В более общем случае, аналогичный подход применим к связностям в любом векторном расслоении. Традиционное индексное обозначение задает связность через ее компоненты; см. символы Кристоффеля. (Примечание: это имеет три индекса, но не является тензором). В псевдоримановой и римановой геометрии соединение Леви-Чивиты – это специальная связность, связанная с метрическим тензором. Это примеры аффинных связностей. Существует также понятие проективной связности, примером которой является производная Шварца в комплексном анализе. В более общем смысле, как аффинные, так и проективные связности являются типами связностей Картана. Используя главные расслоения, связность может быть реализована как дифференциальная форма со значениями в алгебре Ли. См. связность (главное расслоение). Подход к связностям, который непосредственно использует понятие переноса "данных" (какими бы они ни были), – это связность Эресмана. Наиболее абстрактным подходом может быть предложенный Александром Гротендиком, где связность Гротендика рассматривается как данные о спуске из бесконечно малых окрестностей диагонали; см.