Кіріспе
Математикада, негізгі бундель – бұл кеңістік пен топтың карталық көбейтіндісінің маңызды ерекшеліктерін формальдастыратын математикалық объект. Картезиялық көбейтіндідегідей, негізгі бундельде де кеңістікке қатысты топтың әрекеті бар, бұл өнім кеңістігіне ұқсас. Одан әрі, проекция бар. Өнім кеңістігі үшін бұл жай ғана бірінші факторға проекция болып табылады. Егер бұл өнім кеңістігі болмаса, негізгі бундельде бірлік қимасын таңдаудың артықшылықты жолы жоқ; оның бірлікке ұқсас аналогы да жоқ. Сол сияқты, жалпы жағдайда екінші факторға проекцияны жалпылайтын проекция да Картезиялық көбейтіндідегідей болмайды. Бұлардың топологиясы да күрделі болуы мүмкін, тіпті кеңістіктің кіші бөліктерінде анықталған құрылымды анықтауға тырысып, бірқатар кездейсоқ таңдаулар жасалса да, оларды өнім кеңістігі ретінде жүзеге асыруға кедергі келтіруі мүмкін. Негізгі бундельдің кең таралған мысалы – векторлық бундельдің фрейм бунделі, ол әрбір нүктеге тіркелген векторлық кеңістіктің барлық реттелген базистерінен тұрады. Бұл жағдайдағы топ – жалпы сызықтық топ, ол әдеттегідей оң жағынан базистік өзгертулер арқылы әрекет етеді. Векторлық кеңістіктің реттелген базисін таңдаудың табиғи жолы болмағандықтан, фрейм бундельде бірлік қимасын канондық түрде таңдау мүмкін емес. Негізгі бундельдер топологияда, дифференциалдық геометрияда және математикалық өлшем теориясында маңызды қолданыстарға ие. Олар физикада да қолданылады, онда олар физикалық өлшем теорияларының негізгі құрамдас бөлігін құрайды.
In mathematics, a principal bundle is a mathematical object that formalizes some of the essential features of the Cartesian product of a space with a group In the same way as with the Cartesian product, a principal bundle is equipped with
An action of on , analogous to for a product space. A projection onto For a product space, this is just the projection onto the first factor, Unless it is the product space , a principal bundle lacks a preferred choice of identity cross section; it has no preferred analog of Likewise, there is not generally a projection onto generalizing the projection onto the second factor, that exists for the Cartesian product. They may also have a complicated topology that prevents them from being realized as a product space even if a number of arbitrary choices are made to try to define such a structure by defining it on smaller pieces of the space. A common example of a principal bundle is the frame bundle of a vector bundle , which consists of all ordered bases of the vector space attached to each point. The group in this case, is the general linear group, which acts on the right in the usual way: by changes of basis. Since there is no natural way to choose an ordered basis of a vector space, a frame bundle lacks a canonical choice of identity cross section. Principal bundles have important applications in topology and differential geometry and mathematical gauge theory. They have also found application in physics where they form part of the foundational framework of physical gauge theories.
Ресми анықтама
Негізгі бумбл, кез келген топологиялық топты білдіреді, – бұл талшықты бумбл, сонымен бірге үздіксіз оң әрекетпен, (яғни, егер барлық үшін болса, онда үшін) талшықтарын сақтайтын және оларға еркін және транзитивті әрекет ететін (яғни, әрбір талшық G торсор) әрбір және үшін, карта жіберу гомеоморфизм болып табылады. Әсіресе, бумблдің әрбір талшығы топтың өзіне гомеоморфты. Көбінесе, негіз кеңістігінің Хаусдорфтық және мүмкін паракомпактты болуын қажет етеді. Топтық әрекет талшықтарын сақтайтын және транзитивті әрекет ететін болғандықтан, әрекет орбиталары осы талшықтардың өзі болып табылады және орбиталық кеңістік негіз кеңістігіне гомеоморфты болады. Торсор – гомеоморфты, бірақ топтық құрылымы жоқ кеңістік, себебі сәйкестік элементінің басымды таңдауы жоқ. Негізгі бумблдің эквивалентті анықтамасы – бұл құрылым тобы талшықты сол жақтан көбейту арқылы талшыққа әсер ететін талшықты бумбл. Оң жақтан көбейту құрылым тобының әрекетімен үйлесетіндіктен, оң жақтан көбейтудің инвариантты түрі бар. Осы әрекет үшін талшықтар оң G торсорларына айналады. Жоғарыдағы анықтамалар кез келген топологиялық кеңістіктер үшін жарамды. Басты бумблдерді тегіс көптүрліліктер санатында да анықтауға болады. Мұнда карта тегіс көптүрліліктер арасында тегіс болуы керек, ал топ – Ли тобы болуы керек, сондай-ақ оған сәйкес әрекет тегіс болуы керек.
Тривиалдық түйін және кесінділер
Ашық шарда немесе индукцияланған координаттармен, кез келген басты жиындық изоморфты тривиалды жиындыққа, ал тегіс қима эквивалентті түрде бір (тегіс) функциямен беріледі, себебі кейбір тегіс функция үшін. Мысалы, егер , біртілді матрицалардың Ли тобы болса, онда төрт нақты мәнді функцияны қарастырып және оларды параметрлеуге қолдану арқылы қима құрастыруға болады.
Осы процедура, базалық кеңістіктің жамасыннан матрицалар жинағын анықтайтын параметрлеуді алып, содан кейін одан функциялар жиынтығын қарастырып және оларды параметрлеуге енгізу арқылы да қолданылады.
Құрылымдық топты қысқарту
G-дің H кіші тобын ескере отырып, талшықтары косет кеңістігіне гомеоморфты болатын топты қарастыруға болады. Егер жаңа топ жаһандық қимаға ие болса, онда бұл қима құрылым тобының кемуі деп айтылады. Бұл атаудың себебі – осы қиманың мәндерінің (талшықтық) кері бейнесі негізгі топтық болатын кіші топты құрайды. Егер ол бірлікке тең болса, онда оның қимасы құрылым тобының бірлікке кемуі болып табылады. Құрылым тобының кемуі әдетте жоқ. Көптеген топологиялық сұрақтар, көпқырлының құрылымы немесе оның үстіндегі топтамалардың құрылымы, негізгі топтамамен байланысты, құрылым тобының кемуінің (тенден) мүмкіндігі туралы сұрақтар ретінде қайта формулировкаланады. Мысалы: өлшемді нақты көпқырлы, егер көпқырлыдағы кадрлық топтаманың талшықтары , топқа келіп жетсе, онда дерлік кешенді құрылымға ие болады. өлшемді нақты көпқырлы, егер кадрлық топтама құрылым тобына келіп жетсе, жазық өріске ие болады. Көпқырлы, егер және тек қана оның кадрлық топтамасы арнайы ортогональды топқа келіп жетсе, бағытталған болады. Көпқырлы, егер және тек қана оның кадрлық топтамасы одан әрі Spin тобына келіп жетсе, спиндік құрылымға ие болады, ол топқа қос жабын ретінде бейнеленеді. Сондай-ақ, ескеріңіз: өлшемді көпқырлы, егер әрбір нүктеде сызықтық тәуелсіз векторлық өрістерге ие болса, онда оның кадрлық топтамасы жаһандық қимаға рұқсат береді. Бұл жағдайда, көпқырлы параллельдеуге ие деп аталады.
A dimensional real manifold admits an almost complex structure if the frame bundle on the manifold, whose fibers are , can be reduced to the group An dimensional real manifold admits a plane field if the frame bundle can be reduced to the structure group A manifold is orientable if and only if its frame bundle can be reduced to the special orthogonal group, A manifold has spin structure if and only if its frame bundle can be further reduced from to the Spin group, which maps to as a double cover. Also note: an dimensional manifold admits vector fields that are linearly independent at each point if and only if its frame bundle admits a global section. In this case, the manifold is called parallelizable.
Қатысқан векторлық бундеттер мен фреймдер
Егер бас буыл және -ның сызықтық бейнелеуі болса, онда талшығы болатын векторлық буылды құруға болады, бұл × көбейтіндісінің әрекеті бойынша алынған бөлігі болып табылады. Бұл байланысты буыл құрылысының ерекше жағдайы және -ны -ға байланысты векторлық буыл деп атайды. Егер -дағы бейнелеуі адал болса, яғни жалпы сызықтық топ GL-ның ішкі тобы болса, онда буыл болады және -ның шеңберлік буылының құрылымдық тобын -дан -ға дейін азайтуды қамтамасыз етеді. Бас буылдар шеңберлік буылдар теориясының абстрактілі формулировкасын қамтамасыз ететін осы мағынада.
Негізгі топтамаларды жіктеу
Кез келген топологиялық топ G классификациялық кеңістік BG-ге ие: G әрекеті арқылы әлсіз қысылатын кейбір кеңістіктің бөлігі, мысалы, жоғалып кететін гомотопиялық топтары бар топологиялық кеңістік. Классификациялық кеңістіктің қасиеті – кез келген G негізгі бунделі паракомпактты коллектор B үстіндегі EG → BG негізгі бунделінің кері тартылысына изоморфты. Шындығында, одан да көп нәрсе рас, себебі B негізіндегі G негізгі бунделдерінің изоморфизм кластары жиыны B → BG карталарының гомотопиялық кластары жиынымен сәйкес келеді.