Введение
Пучок, волокна которого являются групповыми торсорами. В математике, главный расслоение – это математический объект, формализующий некоторые существенные характеристики декартова произведения пространства с группой. Подобно декартову произведению, главное расслоение снабжено действием на , аналогичным действию для пространства произведения. Проекцией на . Для пространства произведения это просто проекция на первый фактор. Если это не пространство произведения, главное расслоение не имеет предпочтительного выбора тождественного сечения; у него нет предпочтительного аналога единичного элемента. Аналогично, как правило, отсутствует проекция на , обобщающая проекцию на второй фактор, существующую для декартова произведения. Они также могут иметь сложную топологию, препятствующую их реализации как пространства произведения, даже если сделан ряд произвольных выборов, чтобы попытаться определить такую структуру, определив её на меньших частях пространства. Распространенным примером главного расслоения является расслоение кадров векторного расслоения, состоящее из всех упорядоченных базисов векторного пространства, прикрепленных к каждой точке. Группа в этом случае – общая линейная группа, действующая справа обычным образом: посредством преобразований базиса. Поскольку не существует естественного способа выбрать упорядоченный базис векторного пространства, расслоение кадров не имеет канонического выбора тождественного сечения. Главные расслоения имеют важное применение в топологии, дифференциальной геометрии и математической теории калибровки. Они также нашли применение в физике, где они составляют часть фундаментальной основы физических калибровочных теорий.
In mathematics, a principal bundle is a mathematical object that formalizes some of the essential features of the Cartesian product of a space with a group In the same way as with the Cartesian product, a principal bundle is equipped with
An action of on , analogous to for a product space. A projection onto For a product space, this is just the projection onto the first factor, Unless it is the product space , a principal bundle lacks a preferred choice of identity cross section; it has no preferred analog of Likewise, there is not generally a projection onto generalizing the projection onto the second factor, that exists for the Cartesian product. They may also have a complicated topology that prevents them from being realized as a product space even if a number of arbitrary choices are made to try to define such a structure by defining it on smaller pieces of the space. A common example of a principal bundle is the frame bundle of a vector bundle , which consists of all ordered bases of the vector space attached to each point. The group in this case, is the general linear group, which acts on the right in the usual way: by changes of basis. Since there is no natural way to choose an ordered basis of a vector space, a frame bundle lacks a canonical choice of identity cross section. Principal bundles have important applications in topology and differential geometry and mathematical gauge theory. They have also found application in physics where they form part of the foundational framework of physical gauge theories.
Формальное определение
Основной пучок, где обозначает любую топологическую группу, — это расслоение с волокнами вместе с непрерывным правым действием, сохраняющим волокна (то есть, если , то для всех ) и действующим свободно и транзитивно (то есть каждое волокно является G-торсором) на них таким образом, что для каждого и , отображение, посылающее в , является гомеоморфизмом. В частности, каждое волокно расслоения гомеоморфно самой группе . Часто требуется, чтобы базовое пространство было хаусдорфовым и, возможно, паракомпактным. Поскольку групповое действие сохраняет волокна и действует транзитивно, следует, что орбиты действия являются именно этими волокнами, а орбитальное пространство гомеоморфно базовому пространству. Поскольку действие свободно и транзитивно, волокна имеют структуру G-торсоров. Торсор — это пространство, гомеоморфное , но не имеющее структуры группы, поскольку нет предпочтительного выбора единичного элемента. Эквивалентное определение основного пучка — это расслоение с волокном , где структурная группа действует на волокно левым умножением. Поскольку правое умножение на волокно коммутирует с действием структурной группы, существует инвариантное понятие правого умножения на . Тогда волокна становятся правыми -торсорами для этого действия. Вышеприведенные определения относятся к произвольным топологическим пространствам. Можно также определить основные пучки в категории гладких многообразий. Здесь требуется, чтобы было гладким отображением между гладкими многообразиями, требуется, чтобы была группой Ли, и соответствующее действие должно быть гладким.
Тривиальная пучка и секции
На открытом шаре или с индуцированными координатами любой главный расслоение изоморфно тривиальному расслоению, а гладкий сечение эквивалентно задается (гладкой) функцией, поскольку для некоторой гладкой функции. Например, если , группа Ли унитарных матриц, то сечение можно построить, рассматривая четыре функции, принимающие вещественные значения, и применяя их к параметризации. Та же процедура применима, взяв параметризацию набора матриц, определяющих группу Ли, и рассматривая множество функций с патча базового пространства в и подставляя их в параметризацию.
This same procedure valids by taking a parameterization of a collection of matrices defining a Lie group and by considering the set of functions from a patch of the base space to and inserting them into the parameterization.
Сокращение структурной группы
Для подгруппы H группы G можно рассмотреть расслоение, чьи слои гомеоморфны пространству классов смежности. Если новое расслоение допускает глобальный сечение, то говорят, что это сечение является редукцией структурной группы от G к H. Причина этого названия в том, что (по волокнам) прообраз значений этого сечения формирует подрасслоение расслоения, являющееся главным расслоением. Если H – это тождество, то сечение самого расслоения является редукцией структурной группы к тождеству. Редукции структурной группы не существуют в общем случае. Многие топологические вопросы о структуре многообразия или структуре расслоений над ним, связанных с главным расслоением, могут быть переформулированы как вопросы о допустимости редукции структурной группы (от G к H). Например:
n-мерное вещественное многообразие допускает почти комплексную структуру, если рамковое расслоение на многообразии, чьи слои – GL(n, ℝ), может быть редуцировано к группе U(n). n-мерное вещественное многообразие допускает n-мерное плоскостное поле, если рамковое расслоение может быть редуцировано к структурной группе GL(n, ℝ). Многообразие ориентируемо тогда и только тогда, когда его рамковое расслоение может быть редуцировано к специальной ортогональной группе SO(n). Многообразие имеет спиновую структуру тогда и только тогда, когда его рамковое расслоение может быть дополнительно редуцировано от SO(n) к группе Spin(n), которая отображается на SO(n) как двойное накрытие. Также отметим: n-мерное многообразие допускает n линейно независимых в каждой точке векторных полей тогда и только тогда, когда его рамковое расслоение допускает глобальный сечение. В этом случае многообразие называется параллелизуемым.
Связанные векторные пучки и рамки
Если – главный расслоение, а – линейное представление , то можно построить векторное расслоение с волокном , как факторпространство произведения × по диагональному действию . Это частный случай конструкции ассоциированного расслоения, и называется ассоциированным векторным расслоением к . Если представление на является верным, то есть является подгруппой общей линейной группы GL , то является расслоением и обеспечивает редукцию группы структуры расслоения рамки от до . В этом смысле главные расслоения предоставляют абстрактную формулировку теории расслоений рамки.
Классификация основных пакетов
Любая топологическая группа G допускает классифицирующее пространство BG: факторпространство по действию G некоторого слабо стягиваемого пространства, например, топологического пространства с исчезающими гомотопическими группами. Классифицирующее пространство обладает свойством, что любой главный G-расслоение над паракомпактным многообразием B изоморфно обратному отображению главного расслоения EG → BG. Более того, верно следующее: множество классов изоморфизма главных G-расслоений над основанием B отождествляется с множеством классов гомотопии отображений B → BG.