Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Симплектикалық көптүрліліктердің изоморфизмі
Isomorphism of symplectic manifolds
Математикада симплектоморфизм немесе симплектикалық бейнелеу – симплектикалық көптүрліліктер санатындағы изоморфизм. Классикалық механикада симплектоморфизм фазалық кеңістіктің көлемін сақтайтын және фазалық кеңістіктің симплектикалық құрылымын сақтайтын түрлендіруді білдіреді, және оны каноникалық түрлендіру деп атайды.
In mathematics, a symplectomorphism or symplectic map is an isomorphism in the category of symplectic manifolds. In classical mechanics, a symplectomorphism represents a transformation of phase space that is volume preserving and preserves the symplectic structure of phase space, and is called a canonical transformation.
Ағыстар
Симплектикалық көптіктегі кез келген тегіс функция, анықтамасы бойынша, гамильтондық векторлық өріс тудырады, ал мұндай барлық векторлық өрістер жиыны симплектикалық векторлық өрістердің Ли алгебрасының субальгебрасын құрайды. Симплектикалық векторлық өрістің ағынының интеграциясы симплектоморфизм болып табылады. Симплектоморфизмдер симплектілік 2-форманы, демек симплектілік көлем формасын сақтайтындықтан, Гамильтон механикасындағы Лиувилл теоремасы одан туындайды. Гамильтондық векторлық өрістерден туындайтын симплектоморфизмдер гамильтондық симплектоморфизмдер деп аталады. 1 = {H, H} = XH(H) = 0 екендігінен, гамильтондық векторлық өрістің ағыны да H-ны сақтайды. Физикада бұл энергияның сақталу заңы ретінде қарастырылады. Егер байланысты симплектикалық көптіктің бірінші Бетти саны нөлге тең болса, симплектикалық және гамильтондық векторлық өрістер бірдей болады, сондықтан гамильтондық изотопия және симплектоморфизмдердің симплектикалық изотопиясы ұғымдары да сәйкес келеді. Геодезиялық теңдеулерді гамильтондық ағым ретінде жазуға болатынын көрсетуге болады, қараңыз: Геодезияны гамильтондық ағым ретінде қарастыру.
Any smooth function on a symplectic manifold gives rise, by definition, to a Hamiltonian vector field and the set of all such vector fields form a subalgebra of the Lie algebra of symplectic vector fields. The integration of the flow of a symplectic vector field is a symplectomorphism. Since symplectomorphisms preserve the symplectic 2 form and hence the symplectic volume form, Liouville's theorem in Hamiltonian mechanics follows. Symplectomorphisms that arise from Hamiltonian vector fields are known as Hamiltonian symplectomorphisms. Since 1={H, H} = XH(H) = 0, the flow of a Hamiltonian vector field also preserves H. In physics this is interpreted as the law of conservation of energy. If the first Betti number of a connected symplectic manifold is zero, symplectic and Hamiltonian vector fields coincide, so the notions of Hamiltonian isotopy and symplectic isotopy of symplectomorphisms coincide. It can be shown that the equations for a geodesic may be formulated as a Hamiltonian flow, see Geodesics as Hamiltonian flows.
Риман геометриясымен салыстыру
Римандық көптүрліліктерден айырмашылығы, симплектикалық көптүрліліктер аса қатаң емес: Дарбукс теоремасы бірдей өлшемдегі барлық симплектикалық көптүрліліктер жергілікті түрде изоморфты екенін көрсетеді. Керісінше, Риман геометриясындағы изометриялар Риман қисықтық тензорын сақтауы тиіс, ол Римандық көптүрліліктің жергілікті инварианты болып табылады. Бұдан әрі, симплектикалық көптүрліліктегі кез келген H функциясы XH Хамильтондық векторлық өрісін анықтайды, ол Хамильтондық дифеоморфизмдердің бір параметрлік тобына өтеді. Осыдан симплектоморфизмдер тобы әрқашан өте үлкен, тіпті шексіз өлшемді болады. Ал Римандық көптүрліліктің изометриялар тобы әрқашан (шектелген өлшемді) Ли тобы болып табылады. Сонымен қатар, үлкен симметрия топтарына ие Римандық көптүрліліктер өте ерекше, ал жалпы Римандық көптүрліліктің тривиалды емес симметриялары жоқ.
Unlike Riemannian manifolds, symplectic manifolds are not very rigid: Darboux's theorem shows that all symplectic manifolds of the same dimension are locally isomorphic. In contrast, isometries in Riemannian geometry must preserve the Riemann curvature tensor, which is thus a local invariant of the Riemannian manifold. Moreover, every function H on a symplectic manifold defines a Hamiltonian vector field XH, which exponentiates to a one parameter group of Hamiltonian diffeomorphisms. It follows that the group of symplectomorphisms is always very large, and in particular, infinite dimensional. On the other hand, the group of isometries of a Riemannian manifold is always a (finite dimensional) Lie group. Moreover, Riemannian manifolds with large symmetry groups are very special, and a generic Riemannian manifold has no nontrivial symmetries.
Кванттық есептеулер
Гильберт кеңістіктеріндегі симплектоморфизмдер тобының шекті өлшемді кіші топтарының бейнелері (әдетте ħ деформацияларынан кейін) кванттау деп аталады. Егер Ли тобы гамильтонианмен анықталса, онда ол "энергия бойынша кванттау" деп аталады. Ли алгебрасынан үздіксіз сызықты операторлардың Ли алгебрасына сәйкес келетін оператор да кейде кванттау деп аталады; физикада осылай қарастыру жиі кездеседі.
Representations of finite dimensional subgroups of the group of symplectomorphisms (after ħ deformations, in general) on Hilbert spaces are called quantizations. When the Lie group is the one defined by a Hamiltonian, it is called a "quantization by energy". The corresponding operator from the Lie algebra to the Lie algebra of continuous linear operators is also sometimes called the quantization; this is a more common way of looking at it in physics.
Арнольд болжамы
Владимир Арнольдтың атақты болжамы Гамильтон симплектоморфизмінің тұрақты нүктелерінің ең аз санын, егер компактты симплектикалық көптүрлілік болса, Морз теориясымен байланыстырады (қараңыз). Нақтырақ айтқанда, болжам бойынша, кем дегенде тегіс функцияның үстінде болуы тиіс сындық нүктелер санына тең немесе одан көп тұрақты нүктеге ие. Бұл болжамның әлсіз нұсқасы дәлелденді: егер "эгозды емес" болса, тұрақты нүктелер саны төменнен Бетти сандарының қосындысымен шектеледі (қараңыз). Осы атақты болжамнан туындаған симплектикалық геометриядағы ең маңызды жетістік – Андреас Флордың есімімен аталған Флор гомологиясының пайда болуы болып табылады (қараңыз).
A celebrated conjecture of Vladimir Arnold relates the minimum number of fixed points for a Hamiltonian symplectomorphism , in case is a compact symplectic manifold, to Morse theory (see ). More precisely, the conjecture states that has at least as many fixed points as the number of critical points that a smooth function on must have. Certain weaker version of this conjecture has been proved: when is "nondegenerate", the number of fixed points is bounded from below by the sum of Betti numbers of (see,). The most important development in symplectic geometry triggered by this famous conjecture is the birth of Floer homology (see ), named after Andreas Floer.
Танымал мәдениетте
"Symplectomorphism" — Spy × Family анимесінің 1-ші сериясындағы кроссворд сөзі.
"Symplectomorphism" is a word in a crossword puzzle in episode 1 of the anime Spy × Family.