Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Изоморфизм симплектических многообразий
Isomorphism of symplectic manifolds
В математике симплектоморфизм или симплектическое отображение — это изоморфизм в категории симплектических многообразий. В классической механике симплектоморфизм представляет собой преобразование фазового пространства, сохраняющее объем и сохраняющее симплектическую структуру фазового пространства, и называется каноническим преобразованием.
In mathematics, a symplectomorphism or symplectic map is an isomorphism in the category of symplectic manifolds. In classical mechanics, a symplectomorphism represents a transformation of phase space that is volume preserving and preserves the symplectic structure of phase space, and is called a canonical transformation.
Потоки
Любая гладкая функция на симплектическом многообразии по определению порождает гамильтоново векторное поле, и множество всех таких векторных полей образует субальгебру алгебры Ли симплектических векторных полей. Интегрирование потока симплектического векторного поля является симплектоморфизмом. Поскольку симплектоморфизмы сохраняют симплектическую 2-форму и, следовательно, симплектическую форму объема, вытекает теорема Лиувиля из гамильтоновой механики. Симплектоморфизмы, возникающие из гамильтоновых векторных полей, называются гамильтоновыми симплектоморфизмами. Так как 1 = {H, H} = XH(H) = 0, поток гамильтонова векторного поля также сохраняет H. В физике это интерпретируется как закон сохранения энергии. Если первое число Бетти связного симплектического многообразия равно нулю, то симплектические и гамильтоновы векторные поля совпадают, а значит, понятия гамильтоновой и симплектической изотопии симплектоморфизмов также совпадают. Можно показать, что уравнения для геодезических могут быть сформулированы как гамильтонов поток, см. Геодезические как гамильтоновы потоки.
Any smooth function on a symplectic manifold gives rise, by definition, to a Hamiltonian vector field and the set of all such vector fields form a subalgebra of the Lie algebra of symplectic vector fields. The integration of the flow of a symplectic vector field is a symplectomorphism. Since symplectomorphisms preserve the symplectic 2 form and hence the symplectic volume form, Liouville's theorem in Hamiltonian mechanics follows. Symplectomorphisms that arise from Hamiltonian vector fields are known as Hamiltonian symplectomorphisms. Since 1={H, H} = XH(H) = 0, the flow of a Hamiltonian vector field also preserves H. In physics this is interpreted as the law of conservation of energy. If the first Betti number of a connected symplectic manifold is zero, symplectic and Hamiltonian vector fields coincide, so the notions of Hamiltonian isotopy and symplectic isotopy of symplectomorphisms coincide. It can be shown that the equations for a geodesic may be formulated as a Hamiltonian flow, see Geodesics as Hamiltonian flows.
Сравнение с римановской геометрией
В отличие от римановых многообразий, симплектические многообразия не обладают большой жесткостью: теорема Дарбу показывает, что все симплектические многообразия одной и той же размерности локально изоморфны. В отличие от этого, изометрии в римановой геометрии должны сохранять тензор кривизны Римана, который, таким образом, является локальным инвариантом риманова многообразия. Более того, любая функция H на симплектическом многообразии определяет гамильтоново векторное поле XH, которое экспоненцируется в однопараметрическую группу гамильтоновых диффеоморфизмов. Следовательно, группа симплектоморфизмов всегда очень велика и, в частности, бесконечномерна. С другой стороны, группа изометрий риманова многообразия всегда является (конечномерной) группой Ли. Более того, римановы многообразия с большими группами симметрий являются весьма специфическими, а типичное риманово многообразие не имеет нетривиальных симметрий.
Unlike Riemannian manifolds, symplectic manifolds are not very rigid: Darboux's theorem shows that all symplectic manifolds of the same dimension are locally isomorphic. In contrast, isometries in Riemannian geometry must preserve the Riemann curvature tensor, which is thus a local invariant of the Riemannian manifold. Moreover, every function H on a symplectic manifold defines a Hamiltonian vector field XH, which exponentiates to a one parameter group of Hamiltonian diffeomorphisms. It follows that the group of symplectomorphisms is always very large, and in particular, infinite dimensional. On the other hand, the group of isometries of a Riemannian manifold is always a (finite dimensional) Lie group. Moreover, Riemannian manifolds with large symmetry groups are very special, and a generic Riemannian manifold has no nontrivial symmetries.
Количественные оценки
Представления конечномерных подгрупп группы симплектоморфизмов (после деформаций с параметром ħ, вообще говоря) на гильбертовых пространствах называются квантованиями. Если группа Ли задана гамильтонианом, то это называется "квантованием по энергии". Соответствующий оператор из алгебры Ли в алгебру Ли непрерывных линейных операторов также иногда называют квантованием; в физике это более привычный взгляд на вещи.
Representations of finite dimensional subgroups of the group of symplectomorphisms (after ħ deformations, in general) on Hilbert spaces are called quantizations. When the Lie group is the one defined by a Hamiltonian, it is called a "quantization by energy". The corresponding operator from the Lie algebra to the Lie algebra of continuous linear operators is also sometimes called the quantization; this is a more common way of looking at it in physics.
Предположение Арнольда
Знаменитая гипотеза Владимира Арнольда связывает минимальное число фиксированных точек для гамильтонова симплектоморфизма, в случае компактного симплектического многообразия, с теорией Морзе (см.). Более точно, гипотеза утверждает, что многообразие имеет не менее фиксированных точек, чем критических точек, которые должна иметь гладкая функция на этом многообразии. Определённая более слабая версия этой гипотезы была доказана: когда многообразие "невырождено", число фиксированных точек ограничено снизу суммой чисел Бетти (см.). Наиболее важным развитием в симплектической геометрии, вызванным этой знаменитой гипотезой, стало появление гомологии Флера (см.), названной в честь Андреаса Флера.
A celebrated conjecture of Vladimir Arnold relates the minimum number of fixed points for a Hamiltonian symplectomorphism , in case is a compact symplectic manifold, to Morse theory (see ). More precisely, the conjecture states that has at least as many fixed points as the number of critical points that a smooth function on must have. Certain weaker version of this conjecture has been proved: when is "nondegenerate", the number of fixed points is bounded from below by the sum of Betti numbers of (see,). The most important development in symplectic geometry triggered by this famous conjecture is the birth of Floer homology (see ), named after Andreas Floer.
В популярной культуре
"Симплектоморфизм" — это слово в кроссворде в первом эпизоде аниме "Шпионская семья".
"Symplectomorphism" is a word in a crossword puzzle in episode 1 of the anime Spy × Family.