Кіріспе
Матрицаның өзіндік мәндері мен олардың алгебралық көптігін көрсететін түрі. Сызықтық алгебрада Джорданның нормальды түрі, сондай-ақ Джорданның канондық түрі (JCF) деп аталатын бұл түрі, белгілі бір негізге қатысты шекті өлшемді векторлық кеңістіктегі сызықтық операторды бейнелейтін Джордан матрицасы болып табылатын жоғарғы үшбұрышты матрица. Мұндай матрицада басты диагональден жоғары (супердиагональде) орналасқан, нөлден өзгеше әрбір элемент 1-ге тең, ал сол жақтағы және төмендегі диагональ элементтері бірдей болады. V – K өрісіндегі векторлық кеңістік болсын. Матрицаның қажетті пішініне ие болатын негіздің болуы, матрицаның барлық өзіндік мәндері K өрісінде жатса ғана мүмкін, немесе эквивалентті түрде, оператордың сипаттамалық полиномы K өрісінде сызықтық факторларға жіктеліп, егер K алгебралық жабық болса (мысалы, егер ол комплекс сандар өрісі болса) бұл шарт әрқашан орындалады. Нормальды пішірдің диагональдық элементтері – оператордың өзіндік мәндері, ал әрбір өзіндік мәннің қайталану саны – оның алгебралық көптігі деп аталады. Егер оператор бастапқыда M шаршы матрицасы арқылы берілсе, онда оның Джорданның нормальды пішіні M матрицасының Джорданның нормальды пішіні деп те аталады. Кез келген шаршы матрицаның, егер коэффициенттер өрісі матрицаның барлық өзіндік мәндерін қамтитын өріспен кеңейтілсе, Джорданның нормальды пішірі болады. Атауына қарамастан, берілген M үшін нормальды пішін толығымен бірегей емес, себебі ол Джордан блоктарынан құралған диагональдық блок матрицасы, олардың реті анықталмаған; бірдей өзіндік мәнге ие блоктарды топтастыру қабылданған, бірақ өзіндік мәндердің немесе берілген өзіндік мәнге ие блоктардың ретіне ешқандай талап қойылмайды, бірақ соңғыларын, мысалы, әлсіз азайып келе жатқан өлшем бойынша реттеуге болады. Джорданның нормальды пішірі 1870 жылы Джордан ыдырау теоремасын алғаш рет тұжырымдаған Камиль Джорданның есімімен аталған.
In linear algebra, a Jordan normal form, also known as a Jordan canonical form (JCF),
is an upper triangular matrix of a particular form called a Jordan matrix representing a linear operator on a finite dimensional vector space with respect to some basis. Such a matrix has each non zero off diagonal entry equal to 1, immediately above the main diagonal (on the superdiagonal), and with identical diagonal entries to the left and below them. Let V be a vector space over a field K. Then a basis with respect to which the matrix has the required form exists if and only if all eigenvalues of the matrix lie in K, or equivalently if the characteristic polynomial of the operator splits into linear factors over K. This condition is always satisfied if K is algebraically closed (for instance, if it is the field of complex numbers). The diagonal entries of the normal form are the eigenvalues (of the operator), and the number of times each eigenvalue occurs is called the algebraic multiplicity of the eigenvalue. If the operator is originally given by a square matrix M, then its Jordan normal form is also called the Jordan normal form of M. Any square matrix has a Jordan normal form if the field of coefficients is extended to one containing all the eigenvalues of the matrix. In spite of its name, the normal form for a given M is not entirely unique, as it is a block diagonal matrix formed of Jordan blocks, the order of which is not fixed; it is conventional to group blocks for the same eigenvalue together, but no ordering is imposed among the eigenvalues, nor among the blocks for a given eigenvalue, although the latter could for instance be ordered by weakly decreasing size. The Jordan normal form is named after Camille Jordan, who first stated the Jordan decomposition theorem in 1870.
Нөмірлік
Кейбір оқулықтарда төменгі диагональда орналасқан, яғни, негізгі диагональдың тікелей астында, жоғарғы диагональда емес. Өзіндік мәндер бәрібір негізгі диагональда болады.
Мотивация
A n × n матрицасы егер және тек егер өзіндік кеңістіктер өлшемдерінің қосындысы n-ге тең болса, диагональдастырылатын болады. Немесе, эквивалентті түрде, егер және тек егер A-да n сызықтық тәуелсіз өзіндік векторлар болса. Барлық матрицалар диагональдастырылмайды; диагональдастырылмаған матрицалар кемшікті матрицалар деп аталады. Келесі матрицаны қарастырайық:
Көптігін ескере отырып, A-ның өзіндік мәндері λ = 1, 2, 4, 4. Өзіндік мән 4-ке сәйкес келетін өзіндік кеңістіктің өлшемі 1 (2 емес), сондықтан A диагональдастырылмайды. Дегенмен, J = P−1AP болатын, P инвертибельдік матрицасы бар, мұндағы
матрицасы дерлік диагональдік. Бұл A-ның Жордан канондық түрі. Төмендегі мысал бөлімі есептеулердің толық мәліметтерін ұсынады.
Бірегейлігі
Берілген A матрицасының Джордан қалыпты формасы Джордан блоктарының ретіне дейін бірегей екенін көрсетуге болады. Өзіндік мәндердің алгебралық және геометриялық көбейтулерін білу A матрицасының Джордан қалыпты түрін анықтау үшін жеткіліксіз. λ өзіндік мәнінің алгебралық көбейтуі m(λ) белгілі деп есептесек, (A − λI)m(λ) дәрежелерінің рангілерін талдау арқылы Джордан формасының құрылымын анықтауға болады. Мұны көрген үшін, n × n матрицасы A тек бір λ өзіндік мәніне ие деп болжайық. Онда m(λ) = n. А матрицасының Джордан формасындағы ең үлкен Джордан блогының өлшемі – ең кіші бүтін сан k1. (Бұл k1 саны λ-ның индексі деп те аталады. Толығырақ келесі бөлімде қарастырылады.) -нің рангі k1 өлшемді Джордан блоктарының санына тең. Сол сияқты, -нің рангі k1 өлшемді Джордан блоктарының санынан екі есе көп, плюс k1 - 1 өлшемді Джордан блоктарының санына тең. Жалпы жағдай да осыған ұқсас. Осы арқылы Джордан формасының бірегейлігін көрсетуге болады. J1 және J2 матрицалары A-ның екі Джордан қалыпты формасы болсын. Онда J1 және J2 ұқсас матрицалар болып табылады және олардың спектрлері бірдей, соның ішінде өзіндік мәндердің алгебралық көбейтулері де. Бұл матрицалардың құрылымын анықтау үшін жоғарыдағы абзацта сипатталған процедураны қолдануға болады. Матрицаның рангісі ұқсастық түрлендіру кезінде сақталады, сондықтан J1 және J2 матрицаларының Джордан блоктары арасында биекция бар. Бұл мәлімдеменің бірегейлігін дәлелдейді.
is the size of the largest Jordan block in the Jordan form of A. (This number k1 is also called the index of λ. See discussion in a following section.) The rank of
is the number of Jordan blocks of size k1. Similarly, the rank of
is twice the number of Jordan blocks of size k1 plus the number of Jordan blocks of size k1 − 1. The general case is similar. This can be used to show the uniqueness of the Jordan form. Let J1 and J2 be two Jordan normal forms of A. Then J1 and J2 are similar and have the same spectrum, including algebraic multiplicities of the eigenvalues. The procedure outlined in the previous paragraph can be used to determine the structure of these matrices. Since the rank of a matrix is preserved by similarity transformation, there is a bijection between the Jordan blocks of J1 and J2. This proves the uniqueness part of the statement.
Нақты матрицалар
Егер A нақты матрица болса, оның Джордан түрі бәрібір нақты емес болуы мүмкін. Жоғарыда талқыланғандай, оны күрделі өзіндік мәндермен және супердиагоналдағы бірліктермен көрсетудің орнына, P−1AP = J түріндегі нақты бұрыштық диагональдық матрица бар, мұнда әр блок нақты Джордан блогы болып табылады. Нақты Джордан блогы тиісті өзіндік мәні нақты болса, күрделі Джордан блогымен сәйкес келеді, немесе нақты емес өзіндік мәнінің берілген алгебралық көптігі үшін 2×2 блоктардан тұратын блок матрицасы болып табылады және ол күрделі жазықтықтағы көбейтуді сипаттайды. Супердиагоналдық блоктар 2×2 бірлік матрицалары болып табылады, сондықтан осы көрсетуде матрицаның өлшемдері күрделі Джордан түрінен үлкен. Толық нақты Джордан блогы былай беріледі: Бұл нақты Джордан формасы күрделі Джордан формасының салдары болып табылады. Нақты матрица үшін нақты емес өзіндік векторлар мен жалпыланған өзіндік векторларды әрқашан күрделі конъюгат жұптар түрінде таңдауға болады. Вектор мен оның конъюгатының сызықтық комбинациясын (нақты және жорамал бөліктерді) алып, матрица жаңа базис бойынша осы пішінге ие болады.
and describe multiplication by in the complex plane. The superdiagonal blocks are 2×2 identity matrices and hence in this representation the matrix dimensions are larger than the complex Jordan form. The full real Jordan block is given by
This real Jordan form is a consequence of the complex Jordan form. For a real matrix the nonreal eigenvectors and generalized eigenvectors can always be chosen to form complex conjugate pairs. Taking the real and imaginary part (linear combination of the vector and its conjugate), the matrix has this form with respect to the new basis.
Тарабындағы жазулары бар матрицалар
Джорданның редукциясын кез келген квадраттық матрица M-ге кеңейтуге болады, оның элементтері K өрісінде жатыр. Нәтижесінде, кез келген M матрицасын D + N түрінде жазуға болады, мұнда D жартылай қарапайым, N – нильпотентті, және DN = ND. Бұл Джордан-Шевалли ыдырауы деп аталады. Егер K өрісі M матрицасының өзіндік мәндерін қамтитын болса, әсіресе K алгебралық жабық болған жағдайда, нормалық түрін Джордан блоктарының тікелей қосындысы ретінде ашық түрде көрсетуге болады. K өрісі кешенді сандар болған жағдайдағы сияқты, (M − λI)k ядроларының өлшемдерін білу, 1 ≤ k ≤ m, мұндағы m – λ өзіндік мәнінің алгебралық еселігі, M матрицасының Джордан түрін анықтауға мүмкіндік береді. Негізгі векторлық кеңістік V-ді K[x] модуль ретінде қарастыруға болады, x-тің V-ға әсерін M матрицасын қолдану ретінде қарастырып, K-сызықтылығын кеңейту арқылы. Содан кейін (x − λ)k көпмүшелері M матрицасының элементарлық бөлгіштері болып табылады, ал Джорданның нормалық түрі M матрицасын элементарлық бөлгіштерге байланысты блоктар арқылы көрсетуге арналған. Джорданның нормалық түрін дәлелдеу әдетте K[x] сақинасына негізгі идеалдық домендегі шекті жасалған модульдер үшін құрылым теоремасын қолдану ретінде жүзеге асырылады, ол осы теореманың салдары болып табылады.
Салдарлар
Джорданның қалыпты түрі – шаршы матрицаларды жіктеудің маңызды нәтижесі, сондықтан сызықтық алгебраның көптеген маңызды теоремаларын оның салдары ретінде қарастыруға болады.
Спектрлік карталау теоремасы
Джорданның қалыпты түрін қолдану арқылы тікелей есептеу, көпмүшелік функционалдық есептеу үшін спектрлік бейнелеу теоремасын береді: A – n × n матрица болсын, оның өзіндік мәндері λ1, ..., λn болса, онда кез келген p көпмүшелігі үшін p(A)-ның өзіндік мәндері p(λ1), ..., p(λn) болады.
Кейли-Гамильтон теоремасы
Кейли-Гамильтон теоремасы әрбір A матрицасы өзінің сипаттамалық теңдеуін қанағаттандырады деп мәлімдейді: егер p A матрицасының сипаттамалық полиномы болса, онда Бұл Джордан түрінде тікелей есептеу арқылы көрсетілуі мүмкін, себебі егер λ көптігі m болатын өзіндік мән болса, онда оның Джордан блогы анық түрде қанағаттандырады. Диагональ блоктар бір-біріне әсер етпейтіндіктен, -ның i-ші диагональ блогы ; демек, Джордан түрі матрицаның базалық өрісін кеңейтетін өрісте бар деп қарастыруға болады, мысалы, p полиномының түбірлер өрісінде; бұл өріс кеңейтілуі p(A) матрицасын ешқандай жолмен өзгертпейді.
then its Jordan block clearly satisfies As the diagonal blocks do not affect each other, the ith diagonal block of is ; hence
The Jordan form can be assumed to exist over a field extending the base field of the matrix, for instance over the splitting field of p; this field extension does not change the matrix p(A) in any way.
Минималды көптік
Квадраттық матрица А-ның ең төменгі дәрежелі моник көпмүшесі P, мұнда P(A) = 0. Басқаша айтқанда, берілген А-ны жоятын көпмүшелер жиыны C[x]-дегі I идеал құрайды, бұл күрделі коэффициенттері бар көпмүшелердің негізгі идеалдық домені. I идеалды тудыратын моник элемент дәл P болып табылады.
A-ның ерекше өзіндік мәндері λ1, …, λq болсын, ал si – λi-ге сәйкес келетін ең үлкен Джордан блогының өлшемі болсын. Джорданның канондық түрінен, A-ның ең төменгі көпмүшесінің дәрежесі Σsi-ға тең екені көрінеді. Джорданның канондық түрі ең төменгі көпмүшені анықтаса, керісінше дұрыс емес. Бұл элементар бөлгіштер туралы түсінікке алып келеді. Квадраттық матрица А-ның элементар бөлгіштері – оның Джордан блоктарының сипаттамалық көпмүшелері. Ең төменгі көпмүше m-нің көбейткіштері – ерекше өзіндік мәндерге сәйкес келетін ең үлкен дәрежедегі элементар бөлгіштер. Элементар бөлгіштің дәрежесі – сәйкес Джордан блогының өлшемі, демек, сәйкес инвариантты подкеңістіктің өлшемі. Егер барлық элементар бөлгіштер сызықтық болса, A диагональдастырылатын болады.
Компактты операторлар
Джорданның қалыпты түріне ұқсас нәтиже Банах кеңістігіндегі жиынтық операторлар үшін де қолданылады. Жиынтық операторларға көшу себебі, жиынтық оператордың T спектріндегі кез келген x нүктесі өзіндік мән болып табылады; жалғыз ерекшелік – x спектрдің шекті нүктесі болған жағдай. Бұл шектелген операторлар үшін жалпы алғанда дұрыс емес. Осы жалпылауды түсіну үшін, біз ең алдымен Джорданның жіктелуін функционалдық анализ тілімен қайта қарастырайық.