Введение
Форма матрицы, указывающая её собственные значения и их алгебраические кратности.
В линейной алгебре нормальная форма Жордана, также известная как каноническая форма Жордана (JCF), представляет собой верхнетреугольную матрицу особого вида, называемую матрицей Жордана, представляющую линейный оператор в конечномерном векторном пространстве относительно некоторого базиса. В такой матрице каждый ненулевой элемент, расположенный непосредственно над главной диагональю (на супердиагонали), равен 1, а элементы главной диагонали и ниже неё идентичны. Пусть V – векторное пространство над полем K. Тогда базис, относительно которого матрица имеет требуемый вид, существует тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы лежат в K, или, эквивалентно, если характеристический многочлен оператора разлагается на линейные множители над K. Это условие всегда выполняется, если K алгебраически замкнуто (например, если это поле комплексных чисел). Элементы главной диагонали нормальной формы являются собственными значениями (оператора), а число раз, которое каждое собственное значение встречается, называется алгебраической кратностью этого собственного значения. Если оператор изначально задан квадратной матрицей M, то его нормальная форма Жордана также называется нормальной формой Жордана матрицы M. Любая квадратная матрица имеет нормальную форму Жордана, если поле коэффициентов расширено до поля, содержащего все собственные значения матрицы. Несмотря на своё название, нормальная форма для данной матрицы M не является полностью однозначной, поскольку это блочно-диагональная матрица, сформированная из блоков Жордана, порядок которых не фиксирован; принято группировать блоки, соответствующие одному и тому же собственному значению, вместе, но никакое упорядочение не накладывается ни между собственными значениями, ни между блоками для данного собственного значения, хотя последние могут быть упорядочены, например, по убыванию размера. Нормальная форма Жордана названа в честь Камиля Жордана, который впервые сформулировал теорему о разложении Жордана в 1870 году.
is an upper triangular matrix of a particular form called a Jordan matrix representing a linear operator on a finite dimensional vector space with respect to some basis. Such a matrix has each non zero off diagonal entry equal to 1, immediately above the main diagonal (on the superdiagonal), and with identical diagonal entries to the left and below them. Let V be a vector space over a field K. Then a basis with respect to which the matrix has the required form exists if and only if all eigenvalues of the matrix lie in K, or equivalently if the characteristic polynomial of the operator splits into linear factors over K. This condition is always satisfied if K is algebraically closed (for instance, if it is the field of complex numbers). The diagonal entries of the normal form are the eigenvalues (of the operator), and the number of times each eigenvalue occurs is called the algebraic multiplicity of the eigenvalue. If the operator is originally given by a square matrix M, then its Jordan normal form is also called the Jordan normal form of M. Any square matrix has a Jordan normal form if the field of coefficients is extended to one containing all the eigenvalues of the matrix. In spite of its name, the normal form for a given M is not entirely unique, as it is a block diagonal matrix formed of Jordan blocks, the order of which is not fixed; it is conventional to group blocks for the same eigenvalue together, but no ordering is imposed among the eigenvalues, nor among the blocks for a given eigenvalue, although the latter could for instance be ordered by weakly decreasing size. The Jordan normal form is named after Camille Jordan, who first stated the Jordan decomposition theorem in 1870.
Обозначение
В некоторых учебниках они расположены на поддиагонали, то есть непосредственно под главной диагональю, а не над ней. Собственные значения по-прежнему находятся на главной диагонали.
Мотивация
Матрица A размера n × n диагонализуема тогда и только тогда, когда сумма размерностей собственных подпространств равна n. Или, что эквивалентно, тогда и только тогда, когда A имеет n линейно независимых собственных векторов. Не все матрицы диагонализуемы; матрицы, которые не диагонализуемы, называются вырожденными (дефектными) матрицами. Рассмотрим следующую матрицу: собственные значения A, с учетом кратности, равны λ = 1, 2, 4, 4. Размерность собственного подпространства, соответствующего собственному значению 4, равна 1 (а не 2), поэтому A не диагонализуема. Однако существует невырожденная матрица P такая, что J = P−1AP, где матрица почти диагональна. Это нормальная жорданова форма матрицы A. В разделе «Пример» ниже приведены подробности вычислений.
Including multiplicity, the eigenvalues of A are λ = 1, 2, 4, 4. The dimension of the eigenspace corresponding to the eigenvalue 4 is 1 (and not 2), so A is not diagonalizable. However, there is an invertible matrix P such that J = P−1AP, where
The matrix is almost diagonal. This is the Jordan normal form of A. The section Example below fills in the details of the computation.
Уникальность
Можно показать, что нормальная форма Жордана данной матрицы A уникальна с точностью до порядка жордановых блоков. Знание алгебраических и геометрических кратностей собственных значений недостаточно для определения нормальной формы Жордана матрицы A. Предположим, что известна алгебраическая кратность m(λ) собственного значения λ. Тогда структуру жордановой формы можно установить, анализируя ранги степеней (A − λI)m(λ). Чтобы увидеть это, предположим, что матрица A размера n × n имеет только одно собственное значение λ. Следовательно, m(λ) = n. Наименьшее целое число k1, такое что
является размером наибольшего жорданова блока в жордановой форме A. (Это число k1 также называется индексом λ. Подробное обсуждение приведено в следующем разделе.) Ранг
равен числу жордановых блоков размера k1. Аналогично, ранг
равен удвоенному числу жордановых блоков размера k1 плюс числу жордановых блоков размера k1 − 1. Общий случай аналогичен. Это можно использовать для доказательства единственности жордановой формы. Пусть J1 и J2 — две нормальные формы матрицы A. Тогда J1 и J2 подобны и имеют один и тот же спектр, включая алгебраические кратности собственных значений. Процедуру, описанную в предыдущем абзаце, можно использовать для определения структуры этих матриц. Поскольку ранг матрицы сохраняется при преобразовании подобия, существует биекция между жордановыми блоками J1 и J2. Это доказывает единственность утверждения.
Реальные матрицы
Если A — вещественная матрица, её жорданова форма всё равно может быть комплексной. Вместо представления её с помощью комплексных собственных значений и единиц на сверхдиагонали, как обсуждалось выше, существует вещественная невырожденная матрица P, такая что P⁻¹AP = J является вещественной блочно-диагональной матрицей, причём каждый блок является вещественным жордановым блоком. Вещественный жорданов блок либо идентичен комплексному жорданову блоку (если соответствующее собственное значение вещественно), либо сам является блочной матрицей, состоящей из блоков 2×2 (для комплексных собственных значений с заданной алгебраической кратностью) вида
and describe multiplication by in the complex plane. The superdiagonal blocks are 2×2 identity matrices and hence in this representation the matrix dimensions are larger than the complex Jordan form. The full real Jordan block is given by
This real Jordan form is a consequence of the complex Jordan form. For a real matrix the nonreal eigenvectors and generalized eigenvectors can always be chosen to form complex conjugate pairs. Taking the real and imaginary part (linear combination of the vector and its conjugate), the matrix has this form with respect to the new basis.
и описывает умножение на в комплексной плоскости. Блоки на сверхдиагонали — это 2×2 единичные матрицы, и, следовательно, в этом представлении размерность матрицы больше, чем у комплексной жордановой формы. Полный вещественный жорданов блок задаётся формулой. Эта вещественная жорданова форма является следствием комплексной жордановой формы. Для вещественной матрицы недействительные собственные векторы и обобщённые собственные векторы всегда можно выбрать так, чтобы они образовывали комплексно сопряжённые пары. Выделяя вещественную и мнимую части (как линейную комбинацию вектора и его сопряжённого), матрица принимает эту форму относительно нового базиса.
and describe multiplication by in the complex plane. The superdiagonal blocks are 2×2 identity matrices and hence in this representation the matrix dimensions are larger than the complex Jordan form. The full real Jordan block is given by
This real Jordan form is a consequence of the complex Jordan form. For a real matrix the nonreal eigenvectors and generalized eigenvectors can always be chosen to form complex conjugate pairs. Taking the real and imaginary part (linear combination of the vector and its conjugate), the matrix has this form with respect to the new basis.
Матрицы с записями в поле
Редукция Жордана может быть расширена на любую квадратную матрицу M, элементы которой принадлежат полю K. Результатом является то, что любую матрицу M можно представить в виде суммы D + N, где D – полупростая, N – нильпотентная, и DN = ND. Это называется разложением Жордана — Шевалле. Если поле K содержит собственные значения матрицы M, в частности, если K алгебраически замкнуто, то нормальная форма может быть явно выражена как прямая сумма жордановых блоков. Аналогично случаю, когда K – комплексные числа, знание размерностей ядер (M − λI)^k для 1 ≤ k ≤ m, где m – алгебраическая кратность собственного значения λ, позволяет определить жорданову форму матрицы M. Мы можем рассматривать лежащее в основе векторное пространство V как K[x]-модуль, рассматривая действие x на V как применение M и расширяя линейность до K. Тогда многочлены (x − λ)^k являются элементарными делителями матрицы M, а жорданова нормальная форма связана с представлением M в терминах блоков, соответствующих элементарным делителям. Доказательство жордановой нормальной формы обычно проводится как применение к кольцу K[x] теоремы о структуре для конечно порожденных модулей над областью главных идеалов, следствием которой она является.
Последствия
Можно увидеть, что нормальная форма Жордана по сути является результатом классификации квадратных матриц, и, следовательно, многие важные результаты линейной алгебры можно рассматривать как её следствия.
Теорема спектрального отображения
Используя нормальную форму Жордана, непосредственный расчет дает теорему спектрального отображения для полиномиального функционального исчисления: пусть A — матрица размера n × n с собственными значениями λ1, …, λn, тогда для любого полинома p матрица p(A) имеет собственные значения p(λ1), …, p(λn).
Теорема КейлиГамильтона
Теорема Кейли–Гамильтона утверждает, что каждая матрица A удовлетворяет своему характеристическому уравнению: если p — характеристический полином матрицы A, то это можно показать прямым вычислением в жордановой форме. Если λ является собственным значением кратности m, то соответствующий жорданов блок явно удовлетворяет условию (A - λI)^m = 0. Поскольку диагональные блоки не влияют друг на друга, i-й диагональный блок равен (A - λI)^m; следовательно, жорданова форма может быть рассмотрена над полем, расширяющим базовое поле матрицы, например, над полем расщепления полинома p. Это расширение поля никак не изменяет матрицу p(A).
then its Jordan block clearly satisfies As the diagonal blocks do not affect each other, the ith diagonal block of is ; hence
The Jordan form can be assumed to exist over a field extending the base field of the matrix, for instance over the splitting field of p; this field extension does not change the matrix p(A) in any way.
Минимальный полином
Минимальный полином P квадратной матрицы A — это единственный моничный полином наименьшей степени m, такой что P(A) = 0. Альтернативно, множество полиномов, аннулирующих данную матрицу A, образует идеал I в C[x] — основной идеальный домен полиномов с комплексными коэффициентами. Моничный элемент, порождающий I, и есть P. Пусть λ₁, …, λq — различные собственные значения матрицы A, а si — размер наибольшего жорданова блока, соответствующего λi. Из жордановой нормальной формы следует, что минимальный полином матрицы A имеет степень Σsi. Хотя жорданова нормальная форма определяет минимальный полином, обратное неверно. Это приводит к понятию элементарных делителей. Элементарные делители квадратной матрицы A — это характеристические полиномы её жордановых блоков. Факторы минимального полинома m — это элементарные делители наибольшей степени, соответствующие различным собственным значениям. Степень элементарного делителя равна размеру соответствующего жорданова блока, а следовательно, размерности соответствующего инвариантного подпространства. Если все элементарные делители линейны, то матрица A диагонализуема.
Let λ1, , λq be the distinct eigenvalues of A, and si be the size of the largest Jordan block corresponding to λi. It is clear from the Jordan normal form that the minimal polynomial of A has degree Σsi. While the Jordan normal form determines the minimal polynomial, the converse is not true. This leads to the notion of elementary divisors. The elementary divisors of a square matrix A are the characteristic polynomials of its Jordan blocks. The factors of the minimal polynomial m are the elementary divisors of the largest degree corresponding to distinct eigenvalues. The degree of an elementary divisor is the size of the corresponding Jordan block, therefore the dimension of the corresponding invariant subspace. If all elementary divisors are linear, A is diagonalizable.
Операторы компактных машин
Результат, аналогичный нормальной форме Жордана, справедлив для компактных операторов в банаховом пространстве. Рассматриваются только компактные операторы, поскольку каждая точка x в спектре компактного оператора T является собственным значением; исключением является лишь случай, когда x является предельной точкой спектра. Это неверно для ограниченных операторов в общем случае. Чтобы проиллюстрировать это обобщение, мы сначала переформулируем разложение Жордана на языке функционального анализа.