Кіріспе
Евклидтік емес геометрия
Математикада n өлшемді гиперболалық кеңістік – бұл тұрақты қималық қисықтығы -1-ге тең болатын, бір-бірімен жай байланысқан, n өлшемді Риманн көптігі. Ол біртекті және симметриялық кеңістік болудың күшті қасиеттерін қанағаттандырады. Оны Риман метрикасымен анықталған ашық жиын ретінде құрастырудың көптеген жолдары бар; мұндай құрастырулар модельдер деп аталады. Гиперболалық 2 кеңістігі, H2, алғаш зерттелген және гиперболалық жазықтық деп аталады. Ол кейде гиперболалық геометрия тақырыбында алғаш жариялаған авторлардың есімдерімен Лобачевский кеңістігі немесе Боляй-Лобачевский кеңістігі деп те аталады. Күрделі гиперболалық кеңістіктер, кватерниондық гиперболалық кеңістіктер және теріс қисықтығы бар басқа симметриялық кеңістіктер, атап айтқанда октонондық гиперболалық жазықтықтан ажырату үшін кейде "нақты" деген сөз қолданылады. Гиперболалық кеңістік Громов гиперболалық кеңістігінің прототипі болып табылады, бұл дифференциалдық геометриялық және теріс қисықтықтың синтетикалық тәсілі арқылы комбинаторлық кеңістіктерді де қамтитын кең ұғым. Тағы бір жалпылау – КАТ(-1) кеңістігі туралы түсінік.
Анықтама
Өлшемдік гиперболалық кеңістік немесе гиперболалық кеңістік, әдетте белгіленеді, -1-ге тең тұрақты теріс қималық қисықтығы бар, бір-бірімен жай байланысқан, өлшемді толық Римандық көптік болып табылады. Біртұтастығы дегеніміз, осы қасиеттерді қанағаттандыратын кез келген екі Римандық көптік бір-біріне изометриялық болады. Бұл Киллинг-Хопф теоремасының салдары.
Параллель сызықтар
Гиперболалық кеңістік, Николай Лобачевский, Янош Болай және Карл Фридрих Гаусспен тәуелсіз түрде дамытылған, Евклид кеңістігіне ұқсас геометриялық кеңістік, бірақ Евклидтің параллельдік постулаты енді орындалмайды деп есептеледі. Оның орнына, параллельдік постулат келесі альтернативамен алмастырылады (екі өлшемде): Егер L түзуі және L түзуінде жатпайтын P нүктесі берілген болса, P нүктесінен өтетін және L түзуін қиыспайтын кем дегенде екі түрлі түзу бар. Содан кейін, P нүктесінен өтетін мұндай түзулер шексіз көп екендігі теорема болып табылады. Бұл аксиома гиперболалық жазықтықты изометрияға дейін бірегей түрде сипаттамайды; қосымша тұрақты, қисықтық K < 0, анықталуы керек. Дегенмен, ол гомотетияға дейін бірегей түрде сипатталады, яғни тек қашықтық ұғымын бірдей тұрақтымен өзгертетін биекцияларға дейін. Тиісті ұзындық масштабын таңдау арқылы, жалпылықты жоғалтпай, 1=K = −1 деп қарастыруға болады.
Given any line L and point P not on L, there are at least two distinct lines passing through P that do not intersect L.
It is then a theorem that there are infinitely many such lines through P. This axiom still does not uniquely characterize the hyperbolic plane up to isometry; there is an extra constant, the curvature K < 0, that must be specified. However, it does uniquely characterize it up to homothety, meaning up to bijections that only change the notion of distance by an overall constant. By choosing an appropriate length scale, one can thus assume, without loss of generality, that 1=K = −1.
Евклидтік кіріктірулер
Гиперболалық жазықтықты Гильберт теоремасы бойынша Евклидтік 3 кеңістікке изометриялық түрде ендіру мүмкін емес. Алайда, Нэш ендіру теоремасы гиперболалық n кеңістігін үлкен өлшемді Евклидтік кеңістікке изометриялық түрде ендіруге болатынын көрсетеді (Нэш ендіру теоремасына сәйкес, гиперболалық жазықтық үшін 5 өлшемді). Гиперболалық кеңістік Евклидтік кеңістікке изометриялық түрде ендірілген кезде, оның әрбір нүктесі шегір нүктесі болып табылады.
Көлемнің өсуі және изопериметриялық теңсіздік
Гиперболалық кеңістікте шарлардың көлемі, евклидтік кеңістіктегідей полиномдық емес, шар радиусына қатысты экспоненциалды түрде өседі. Атап айтқанда, егер - радиусы болған кез келген шар болса, онда:
мұнда - радиусы 1 болатын евклидтік сфераның жалпы көлемі. Гиперболалық кеңістік сондай-ақ сызықтық изопериметриялық теңсіздікті де қанағаттандырады, яғни, шекарасының ұзындығы болған кез келген енгізілген дискінің ауданы ең көп -қа тең болады. Бұл, евклидтік кеңістіктегі изопериметриялық теңсіздіктің квадраттық болуымен салыстырылады.
where is the total volume of the Euclidean sphere of radius 1. The hyperbolic space also satisfies a linear isoperimetric inequality, that is there exists a constant such that any embedded disk whose boundary has length has area at most This is to be contrasted with Euclidean space where the isoperimetric inequality is quadratic.
Басқа метрикалық қасиеттер
Гиперболалық кеңістіктің Евклид кеңістігінен ерекшеленетін көптеген метрикалық қасиеттері бар. Олардың кейбіреулерін Громов гиперболалық кеңістіктеріне жалпылауға болады, бұл тек ірі масштабты қасиеттерін пайдаланып, жалпы метрикалық кеңістіктерге теріс қисықтық ұғымын кеңейту болып табылады. Одан да нақты ұғым – CAT(-1) кеңістігі.
Гиперболалық коллекторлар
Тұрақты теріс қисықтығы -1 бар әрбір толық, байланысты, жай байланысты көптік Hn нақты гиперболалық кеңістігіне изометриялық болып табылады. Сәйкесінше, тұрақты теріс қисықтығы -1 кез келген жабық көптік M-нің әмбебап жабуы, яғни гиперболалық көптік, Hn болып табылады. Осылайша, әрбір осындай M-ді Hn/Γ түрінде жазуға болады, мұнда Γ – Hn-дегі изометриялардың бұралусыз дискретті тобы. Яғни, Γ – белгісіз ортогональды топтағы тор.
Риманн беттері
Екі өлшемді гиперболалық беттерді Риман беттерінің тілі арқылы да түсінуге болады. Біркелкілендіру теоремасына сәйкес, әрбір Риман беті эллипстік, параболалық немесе гиперболалық болып табылады. Көптеген гиперболалық беттер тривиалды емес негізгі топқа ие: 1=π1 = Γ; осылай туындаған топтар Фуксиандық топтар деп аталады. Жоғары жарты жазықтықтың негізгі топқа қатысты H2/Γ бөлігі гиперболалық беттің Фуксиандық моделі деп аталады. Поанкаре жарты жазықтығы да гиперболалық, бірақ жай байланысқан және шексіз. Ол басқа гиперболалық беттердің жалпы жамылғысы болып табылады. Үш өлшемді гиперболалық беттер үшін аналогтық құрылым – Клейн моделі.