Введение

Неевклидова геометрия

В математике гиперболическое пространство размерности n — это единственное простосвязное n-мерное риманово многообразие с постоянной сечением кривизной, равной −1. Оно однородно и обладает более сильным свойством — является симметричным пространством. Существует множество способов построить его как открытое подмножество с явно заданной римановой метрикой; такие построения называются моделями. Гиперболическое пространство размерности 2, H2, которое было первым изученным примером, также называется гиперболической плоскостью. Его также иногда называют пространством Лобачевского или пространством Бойяи — Лобачевского, в честь авторов, которые первыми опубликовали работы по гиперболической геометрии. Иногда добавляется определение "действительное", чтобы отличить его от комплексных гиперболических пространств, квартионных гиперболических пространств и октаноновой гиперболической плоскости, которые являются другими симметричными пространствами отрицательной кривизны. Гиперболическое пространство служит прототипом пространства Громова гиперболического типа, являющегося широким понятием, включающим дифференциальную геометрию, а также более комбинаторные пространства посредством синтетического подхода к отрицательной кривизне. Другим обобщением является понятие пространства CAT(−1).

Определение

Размерное гиперболическое пространство или гиперболическое пространство, обычно обозначаемое , является единственным простосвязным, -мерным полным римановым многообразием с постоянной отрицательной сечной кривизной, равной −1. Единственность означает, что любые два римановых многообразия, удовлетворяющие этим свойствам, изометричны друг другу. Это вытекает из теоремы Киллинга-Хопфа.

Параллельные линии

Гиперболическое пространство, разработанное независимо Николаем Лобачевским, Яношем Бояи и Карлом Фридрихом Гауссом, является геометрическим пространством, аналогичным евклидову пространству, но в котором постулат Евклида о параллельных больше не принимается как истинный. Вместо этого постулат о параллельных заменяется следующим утверждением (в двух измерениях): для любой прямой L и точки P, не лежащей на L, существует по крайней мере две различные прямые, проходящие через P и не пересекающие L. Впоследствии доказывается, что через P проходит бесконечно много таких прямых. Эта аксиома, однако, не определяет однозначно гиперболическую плоскость с точностью до изометрии; необходимо указать дополнительную константу – кривизну K < 0. Тем не менее, она однозначно определяет её с точностью до гомотетии, то есть с точностью до взаимно однозначных преобразований, изменяющих понятие расстояния только на общий множитель. Выбрав подходящий масштаб длины, можно без потери общности считать, что K = −1.

Евклидово внедрение

Гиперболическая плоскость не может быть изометрически вложена в евклидово 3-мерное пространство теоремой Гильберта. С другой стороны, теорема Нэша о вложениях подразумевает, что гиперболическое n-мерное пространство может быть изометрически вложено в некоторое евклидово пространство большей размерности (5 для гиперболической плоскости, согласно теореме Нэша о вложениях). При изометрическом вложении в евклидово пространство каждая точка гиперболического пространства является седловой точкой.

Рост объема и изопериметрическое неравенство

Объем шаров в гиперболическом пространстве увеличивается экспоненциально относительно радиуса шара, а не полиномиально, как в евклидовом пространстве. А именно, для любого шара радиуса *r* в *H<sup>n</sup>* выполняется:

где *V<sub>n</sub>* – общий объем евклидовой *n*-сферы радиуса 1. Гиперболическое пространство также удовлетворяет линейному изопериметрическому неравенству, то есть существует константа *C* такая, что любой встроенный диск, граница которого имеет длину *L*, имеет площадь не более *CL*. Это следует противопоставить евклидову пространству, где изопериметрическое неравенство является квадратичным.

Другие метрические свойства

Существует множество других метрических свойств гиперболического пространства, которые отличают его от евклидова пространства. Некоторые из них можно обобщить на случай пространств Громова-гиперболических, являющихся обобщением понятия отрицательной кривизны на общие метрические пространства, использующих лишь крупномасштабные свойства. Более точным понятием является пространство CAT(-1).

Гиперболические коллекторы

Каждый полный, связный, простосвязный многообразный постоянной отрицательной кривизны −1 изометричен вещественному гиперболическому пространству Hn. Следовательно, универсальная накрывающая группа любого замкнутого многообразия M постоянной отрицательной кривизны −1, то есть гиперболического многообразия, является Hn. Таким образом, каждое такое M можно представить в виде Hn/Γ, где Γ — дискретная группа изометрий на Hn, не содержащая торсий. То есть, Γ является решеткой в неопределенной ортогональной группе.

Поверхности Римана

Двумерные гиперболические поверхности также можно понимать в терминах теории поверхностей Римана. Согласно теореме об униформизации, каждая поверхность Римана является либо эллиптической, либо параболической, либо гиперболической. У большинства гиперболических поверхностей есть нетривиальная фундаментальная группа π₁ = Γ; группы, возникающие таким образом, называются группами Фукса. Пространство частного H₂/Γ верхней полуплоскости по действию фундаментальной группы известно как модель Фукса гиперболической поверхности. Полуплоскость Пуанкаре также является гиперболической, но она односвязна и некомпактна. Она является универсальным накрытием для других гиперболических поверхностей. Аналогичная конструкция для трехмерных гиперболических поверхностей – модель Клейна.