Тұрақты функция: математикадағы анықтамасы, қасиеттері мен мысалдары. Кез келген кіріс мәні үшін бірдей шығыс мәнін беретін функция. Математикалық түсініктер.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Математикалық функция түрі
Type of mathematical function
Математикада тұрақты функция – кез келген кіріс мәні үшін бірдей мән беретін функция.
In mathematics, a constant function is a function whose (output) value is the same for every input value.
Негізгі қасиеттері
Нақты бағаланған аргументтің нақты бағаланған функциясы ретінде, тұрақты функция жалпы түрінде 1=y(x) = c немесе жай ғана c түрінде болады. Мысалы, 1=y(x) = 4 функциясы – шығыс мәні 1=c = 4 болатын нақты тұрақты функция. Бұл функцияның домені – барлық нақты сандар жиыны. Бұл функцияның мәндер жиыны – бір элементті жиын. Тәуелсіз айнымалы 1=x функция өрнегінің оң жағында пайда болмайды, сондықтан оның мәні «босқа қойылады», яғни 1=y(0) = 4, 1=y(−2.7) = 4, 1=y(π) = 4 және т.б. x-тің қандай мәні енгізілсе де, шығыс 4-ке тең болады. Тұрақты функция 1=y = c графигі – (0, c) нүктесінен өтетін жазықтықтағы көлденең түзу. Бір айнымалы x-тағы көпмүше ретінде тұрақты функция нөлдік емес тұрақты функция деп аталады, себебі ол 0 дәрежелі көпмүше, ал оның жалпы түрі 1=f(x) = c, мұндағы c нөлдік емес. Бұл функцияның осьпен қиылысу нүктесі жоқ, демек түбірі (нөл) жоқ. Екінші жағынан, 1=f(x) = 0 көпмүшесі – толыққанды нөлдік функция. Бұл (тривиалды) тұрақты функция және кез келген x – түбір. Оның графигі – жазықтықтағы ось. Оның графигі оське қатысты симметриялық, сондықтан тұрақты функция – жұп функция. Функцияның туындысы – функцияның мәндерінің кіріс мәндерінің өзгеруіне қатысты өзгеру жылдамдығының өлшемі. Тұрақты функция өзгермейтіндіктен, оның туындысы 0-ге тең. Бұл көбінесе былай жазылады: Керісінше де дұрыс. Яғни, егер барлық нақты сандар үшін x болса, онда y – тұрақты функция. Мысалы, берілген тұрақты функция үшін y-дің туындысы – толыққанды нөлдік функция.
As a real valued function of a real valued argument, a constant function has the general form 1=y(x) = c or just For example, the function 1=y(x) = 4 is the specific constant function where the output value is 1=c = 4. The domain of this function is the set of all real numbers. The image of this function is the singleton set The independent variable 1=x does not appear on the right side of the function expression and so its value is "vacuously substituted"; namely 1=y(0) = 4, 1=y(−2.7) = 4, 1=y(π) = 4, and so on. No matter what value of x is input, the output is 4. The graph of the constant function 1=y = c is a horizontal line in the plane that passes through the point (0, c). In the context of a polynomial in one variable x, the constant function is called non zero constant function because it is a polynomial of degree 0, and its general form is 1=f(x) = c, where c is nonzero. This function has no intersection point with the axis, meaning it has no root (zero). On the other hand, the polynomial 1=f(x) = 0 is the identically zero function. It is the (trivial) constant function and every x is a root. Its graph is the axis in the plane. Its graph is symmetric with respect to the axis, and therefore a constant function is an even function. In the context where it is defined, the derivative of a function is a measure of the rate of change of function values with respect to change in input values. Because a constant function does not change, its derivative is 0. This is often written: The converse is also true. Namely, if for all real numbers x, then y is a constant function. For example, given the constant function The derivative of y is the identically zero function .
Басқа қасиеттері
Алдын ала реттелген жиындар арасындағы функциялар үшін тұрақты функциялар ретті сақтайды да, ретті кері қайтарады; керісінше, егер f функциясы ретті сақтап, сонымен бірге ретті кері қайтаратын болса, және егер f функциясының домені тор болса, онда f функциясы міндетті түрде тұрақты болуы керек. Домені мен кодомені бірдей X жиыны болатын кез келген тұрақты функция, X жиынындағы толық түрлендіру моноидінің сол жақ нөлі болып табылады, бұл оның теңдестікке ие екенін білдіреді. Оның еңісі немесе градиенті нөлге тең. Топологиялық кеңістіктер арасындағы кез келген тұрақты функция үздісіз болады. Тұрақты функция бір нүктелі жиын арқылы өтеді, жиындар санатындағы терминалдық объекті. Бұл байқау Ф. Уильям Лоувирдің жинақтар теориясын аксиомалауында, яғни жинақтар санатының элементар теориясында (ETCS) маңызды роль атқарады. Кез келген бос емес X үшін, кез келген Y жиыны, Y жиынындағы тұрақты функциялар жиынына изоморфты болады. Кез келген X үшін және Y жиынындағы әрбір y элементі үшін, барлық үшін бірегей функция бар. Керісінше, егер функция барлық үшін орындалса, онда ол анықтама бойынша тұрақты функция болып табылады. Салдары ретінде, бір нүктелі жиын жиындар санатындағы генератор болып табылады. Кез келген жиын канондық түрде функциялық жиынға немесе жиындар санатындағы гомоморфты жиынға изоморфты, мұнда 1 – бір нүктелі жиын. Осыған байланысты және жиындар санатындағы Декарт көбейтінділері мен гомоморфтылық арасындағы байланыс (яғни екі айнымалының функциялары мен бір айнымалының функциялары арасындағы канондық изоморфизм бар, олар басқа (бір) айнымалының функцияларымен бағаланады), жиындар санаты – жиындардың Декарт көбейтіндісі тензорлық көбейтінді ретінде және бір нүктелі жиын тензорлық бірлік ретінде жабық моноидальды санаты болып табылады. X-ке қатысты табиғи изоморфизмдерде сол және оң бірліктер проекциялар және сәйкесінше элементке жұпталғандар болып табылады, мұнда – бір нүктелі жиынның бірегей нүктесі. Байланысты жиынғы функция, егер және тек қана тұрақты болса, жергілікті тұрақты болады.
For functions between preordered sets, constant functions are both order preserving and order reversing; conversely, if f is both order preserving and order reversing, and if the domain of f is a lattice, then f must be constant. Every constant function whose domain and codomain are the same set X is a left zero of the full transformation monoid on X, which implies that it is also idempotent. It has zero slope or gradient. Every constant function between topological spaces is continuous. A constant function factors through the one point set, the terminal object in the category of sets. This observation is instrumental for F. William Lawvere's axiomatization of set theory, the Elementary Theory of the Category of Sets (ETCS). For any non empty X, every set Y is isomorphic to the set of constant functions in For any X and each element y in Y, there is a unique function such that for all Conversely, if a function satisfies for all , is by definition a constant function. As a corollary, the one point set is a generator in the category of sets. Every set is canonically isomorphic to the function set , or hom set in the category of sets, where 1 is the one point set. Because of this, and the adjunction between Cartesian products and hom in the category of sets (so there is a canonical isomorphism between functions of two variables and functions of one variable valued in functions of another (single) variable, ) the category of sets is a closed monoidal category with the Cartesian product of sets as tensor product and the one point set as tensor unit. In the isomorphisms natural in X, the left and right unitors are the projections and the ordered pairs and respectively to the element , where is the unique point in the one point set. A function on a connected set is locally constant if and only if it is constant.