Введение
Тип математической функции
В математике константная функция — это функция, значение которой не меняется для всех входных значений.
Основные свойства
В качестве функции вещественного аргумента, принимающей вещественные значения, постоянная функция имеет общий вид 1=y(x) = c или просто c. Например, функция 1=y(x) = 4 является конкретным примером постоянной функции, где выходное значение 1=c = 4. Областью определения этой функции является множество всех действительных чисел. Область значений этой функции – одноэлементное множество {c}. Независимая переменная 1=x не встречается в правой части выражения функции, поэтому её значение подставляется "формально"; а именно 1=y(0) = 4, 1=y(−2.7) = 4, 1=y(π) = 4 и так далее. Какое бы значение x ни было подставлено, результатом всегда будет 4. График постоянной функции 1=y = c – это горизонтальная прямая на плоскости, проходящая через точку (0, c). В контексте многочлена от одной переменной x, постоянная функция называется ненулевой постоянной функцией, поскольку это многочлен степени 0, и её общий вид 1=f(x) = c, где c – ненулевое число. Эта функция не имеет точек пересечения с осями координат, то есть не имеет корней (нулей). С другой стороны, многочлен 1=f(x) = 0 является тождественно нулевой функцией. Это (тривиальная) постоянная функция, и каждое x является её корнем. Её график – это ось координат. График этой функции симметричен относительно оси, и, следовательно, постоянная функция является чётной функцией. В том контексте, в котором определена производная, она является мерой скорости изменения значений функции относительно изменения аргумента. Поскольку постоянная функция не изменяется, её производная равна 0. Это часто записывают: d/dx(c) = 0. Обратное также верно. А именно, если d/dx(y) = 0 для всех действительных чисел x, то y является постоянной функцией. Например, для постоянной функции 1=y(x) = c производная y является тождественно нулевой функцией.
Другие свойства
Для функций между предварительно упорядоченными множествами, постоянные функции сохраняют порядок и обращают порядок; обратно, если функция f одновременно сохраняет и обращает порядок, и если область определения f является решеткой, то f должна быть постоянной. Каждая постоянная функция, область определения и область значений которой совпадают и равны множеству X, является левым нулем полного моноида преобразований на X, что влечет за собой ее идемпотентность. Она имеет нулевой наклон или градиент. Каждая постоянная функция между топологическими пространствами непрерывна. Постоянная функция факторизуется через одноэлементное множество, являющееся терминальным объектом в категории множеств. Это наблюдение играет ключевую роль в аксиоматизации теории множеств Ф. Уильяма Лоувера, в Элементарной теории категории множеств (ЭТКС). Для любого непустого X, каждое множество Y изоморфно множеству постоянных функций в Для любого X и каждого элемента y из Y, существует единственная функция такая, что для всех Наоборот, если функция удовлетворяет условию для всех , то по определению это постоянная функция. Как следствие, одноэлементное множество является генератором в категории множеств. Каждое множество канонически изоморфно множеству функций или hom-множеству в категории множеств, где 1 – одноэлементное множество. Благодаря этому, а также адъюнкции между декартовыми произведениями и hom в категории множеств (следовательно, существует канонический изоморфизм между функциями двух переменных и функциями одной переменной со значениями в функциях одной переменной), категория множеств является замкнутой моноидальной категорией, где декартовое произведение множеств выступает в качестве тензорного произведения, а одноэлементное множество – в качестве тензорной единицы. В естественных изоморфизмах, естественных относительно X, левые и правые униторы являются проекциями и упорядоченными парами и соответственно на элемент , где – единственная точка в одноэлементном множестве. Функция на связном множестве локально постоянна тогда и только тогда, когда она постоянна.