Кіріспе
Бағытталуды сақтайтын тордың карталау кластық тобы – кіші топтарының торы модульді болып келетін топ. Математикада модульдік топ – бүтін коэффициенттері және 1-ге тең детерминанты бар матрицалардың проективті арнайы сызықтық тобы. A және -A матрицалары эквивалентті саналады. Модульдік топ күрделі жазықтықтың жоғарғы жартысында бөлшек сызықтық түрлендірулер арқылы әрекет етеді, ал "модульдік топ" атауы модульдік арифметикамен емес, модульдік кеңістіктермен байланысты.
a group whose lattice of subgroups is modular
In mathematics, the modular group is the projective special linear group of matrices with integer coefficients and determinant 1. The matrices A and −A are identified. The modular group acts on the upper half of the complex plane by fractional linear transformations, and the name "modular group" comes from the relation to moduli spaces and not from modular arithmetic.
Іздеу элементтері
SL(2, 'Z')-де нақты матрица табу үшін, екі өзара жай саннан бастап, детерминант теңдеуін шешіңіз. (Детерминант теңдеуінің өзара жай болуын ескеріңіз, әйтпесе ортақ бөлгіші бар болар еді, яғни , сондықтан бүтін сан шешімдері болмас еді.) Мысалы, егер онда детерминант теңдеуі былай болады: , содан кейін және шарттарын алсақ, онда – матрица болады. Содан кейін проекцияны қолдану арқылы, бұл матрицалар PSL(2, 'Z') элементтерін анықтайды.
Қалқан топ
B3 өрімдер тобы модульдік топтың әмбебап орталық кеңейтімі болып табылады, олар (топологиялық) әмбебап жапқыш топтың ішінде торлар ретінде орналасқан. Сонымен қатар, модульдік топтың тривиальды центрі бар, сондықтан модульдік топ B3 өрімдер тобының центрі бойынша факторлық тобына изоморфты; балама түрінде, B3 өрімдер тобының ішкі автоморфизмдер тобына. B3 өрімдер тобы өз кезегінде үш жақ тізбекті түйінің түйін тобына изоморфты.
Квотиенттер
Конгруэнттік кіші топтар бойынша бөлінділер маңызды қызығушылық тудырады. Басқа да маңызды бөлінділер – (2, 3, n) үшбұрышты топтар, олар геометриялық тұрғыдан цилиндрге өтуге және x координатаны n-ге бөлуге сәйкес келеді. (2, 3, 5) тобы икосаэдрлік симметрия тобы болып табылады, ал (2, 3, 7) үшбұрышты тобы (және оған байланысты мозаика) барлық Хурвиц беттерінің жабыны болып табылады.
Конгруэнттік кіші топтар
Модульдік топ Γ-ның маңызды кіші топтары, конгруэнттік кіші топтар деп аталады, олар байланысты матрицаларға конгруэнттік қатынастарды қою арқылы беріледі. Бұл SL(2, 'Z') → SL(2, 'Z'/N'Z') гомоморфизмін тудырады, мұнда жазбалар N модулі бойынша қысқартылады. Бұл модульдік топтың PSL(2, 'Z') → PSL(2, 'Z'/N'Z') гомоморфизмін шақырады. Осы гомоморфизмнің ядросы N деңгейінің негізгі конгруэнттік кіші тобы деп аталады және Γ(N) деп белгіленеді. Бізде келесі қысқа дәл тізбек бар:
Being the kernel of a homomorphism Γ(N) is a normal subgroup of the modular group Γ. The group Γ(N) is given as the set of all modular transformations
for which a ≡ d ≡ ±1 (mod N) and b ≡ c ≡ 0 (mod N). It is easy to show that the trace of a matrix representing an element of Γ(N) cannot be −1, 0, or 1, so these subgroups are torsion free groups. (There are other torsion free subgroups.) The principal congruence subgroup of level 2, Γ(2), is also called the modular group Λ. Since PSL(2, 'Z'/2'Z') is isomorphic to [[symmetric group, Λ is a subgroup of index 6. The group Λ consists of all modular transformations for which a and d are odd and b and c are even. Another important family of congruence subgroups are the modular group Γ0(N) defined as the set of all modular transformations for which c ≡ 0 (mod N), or equivalently, as the subgroup whose matrices become upper triangular upon reduction modulo N. Note that Γ(N) is a subgroup of Γ0(N). The modular curves associated with these groups are an aspect of monstrous moonshine – for a prime number p, the modular curve of the normalizer is genus zero if and only if p divides the order of the monster group, or equivalently, if p is a supersingular prime.
Гомоморфизмнің ядросы болғандықтан, Γ(N) модульдік топ Γ-ның қалыпты кіші тобы болып табылады. Γ(N) тобы a ≡ d ≡ ±1 (mod N) және b ≡ c ≡ 0 (mod N) шартын қанағаттандыратын барлық модульдік түрлендірулердің жиынтығы ретінде беріледі. Γ(N) элементін білдіретін матрицаның іздері −1, 0 немесе 1 болмайтынын көрсету оңай, сондықтан бұл кіші топтар бұралыссыз топтар болып табылады. (Басқа бұралыссыз кіші топтар да бар.) 2 деңгейінің негізгі конгруэнттік кіші тобы Γ(2) модульдік Λ тобы деп те аталады. PSL(2, 'Z'/2'Z') симметриялық топқа изоморфты болғандықтан, Λ индексі 6-дың кіші тобы болып табылады. Λ тобы a және d тақ, ал b және c жұп болатын барлық модульдік түрлендірулерден тұрады. Конгруэнттік кіші топтардың тағы бір маңызды отбасысы – модульдік топ Γ0(N), ол c ≡ 0 (mod N) шартын қанағаттандыратын барлық модульдік түрлендірулердің жиынтығы ретінде немесе, эквивалентті түрде, матрицалары N модулі бойынша қысқарту кезінде жоғарғы үшбұрышты болатын кіші топ ретінде анықталады. Γ(N) тобы Γ0(N) тобының кіші тобы болып табылады. Осы топтармен байланысты модульдік қисықтар қара санның айшықты айшаңдығының бір аспектісі болып табылады – егер және тек қана қара сан p, қара сан тобының ретін бөлісе немесе p суперсингулярлық қара сан болса, нормализатордың модульдік қисығы нөлдік тегі болады.
Being the kernel of a homomorphism Γ(N) is a normal subgroup of the modular group Γ. The group Γ(N) is given as the set of all modular transformations
for which a ≡ d ≡ ±1 (mod N) and b ≡ c ≡ 0 (mod N). It is easy to show that the trace of a matrix representing an element of Γ(N) cannot be −1, 0, or 1, so these subgroups are torsion free groups. (There are other torsion free subgroups.) The principal congruence subgroup of level 2, Γ(2), is also called the modular group Λ. Since PSL(2, 'Z'/2'Z') is isomorphic to [[symmetric group, Λ is a subgroup of index 6. The group Λ consists of all modular transformations for which a and d are odd and b and c are even. Another important family of congruence subgroups are the modular group Γ0(N) defined as the set of all modular transformations for which c ≡ 0 (mod N), or equivalently, as the subgroup whose matrices become upper triangular upon reduction modulo N. Note that Γ(N) is a subgroup of Γ0(N). The modular curves associated with these groups are an aspect of monstrous moonshine – for a prime number p, the modular curve of the normalizer is genus zero if and only if p divides the order of the monster group, or equivalently, if p is a supersingular prime.
Диадикалық моноид
Модульдік топтың маңызды бір кіші жиынтығы – диадтық моноид, ол оң бүтін сандар k, m, n үшін түріндегі барлық тізбектердің моноиды болып табылады. Бұл моноид фракталдық қисықтарды зерттеуде табиғи түрде кездеседі және Кантор функциясының, Минковски сұрақ белгісі функциясының және Кох қар жапырағының өзіне ұқсас симметрияларын сипаттайды. Бұл қисықтардың әрқайсысы жалпы де Рам қисығының ерекше жағдайы болып табылады. Моноидтың жоғары өлшемді сызықтық бейнелеулері де бар; мысалы, бейнелеуі бланкмендж қисығының өзіне ұқсас симметриясын түсіндіруге болады.
Торостың карталары
GL(2, 'Z') тобы – стандартты торды 'Z'^(2) сақтайтын сызықтық түрлендірулер, ал SL(2, 'Z') – осы торды сақтайтын және бағытталған түрлендірулер; осылайша, олар тордың өзіне гомеоморфизмдеріне өтеді (SL бағытталған түрлендірулерге өтеді), және шындығында торостың (кеңейтілген) карталау класы тобына изоморфты бейнеленеді, яғни тордың кез келген өзіне гомеоморфизмі осы түрдегі картаға изотопты болады. GL(2, 'Z') элементі ретіндегі матрицаның алгебралық қасиеттері, тордың туындаған картасының динамикасына сәйкес келеді.
Тарих
Модульдік топ және оның кіші топтарын алғаш рет Рихард Дедекинд пен Феликс Клейн 1870 жылдары Эрланген бағдарламасының бір бөлігі ретінде толыққанды зерттеді. Дегенмен, осыған тығыз байланысты эллипстік функцияларды 1785 жылы Жозеф Луи Лагранж зерттеген, ал 1827 жылы Карл Густав Якоб Якоби мен Нильс Хенрик Абель эллипстік функциялар бойынша қосымша нәтижелер жариялады.