Введение

Группа классов отображений тора, сохраняющая ориентацию, — группа, решётка подгрупп которой модулярна.

В математике модульная группа — это проективная специальная линейная группа матриц с целочисленными коэффициентами и определителем 1. Матрицы A и −A считаются идентичными. Модульная группа действует на верхней полуплоскости комплексной плоскости посредством дробно-линейных преобразований, а название "модульная группа" происходит от связи с модульными пространствами, а не от модульной арифметики.

Найти элементы

Чтобы найти явную матрицу в SL(2, ℤ), начните с двух взаимно простых целых чисел и решите уравнение определителя (Обратите внимание, что уравнение определителя требует, чтобы числа были взаимно простыми, поскольку в противном случае был бы такой общий фактор, что , , следовательно, не имело бы целочисленных решений). Например, если , то уравнение определителя выглядит как , тогда, взяв и , получаем , следовательно, является матрицей. Затем, используя проекцию, эти матрицы определяют элементы в PSL(2, ℤ).

Группа плетений

Брудовая группа B3 является универсальным центральным расширением модулярной группы, причем обе они являются решетками в (топологической) универсальной накрывающей группе. Более того, модулярная группа имеет тривиальный центр, и, следовательно, модулярная группа изоморфна факторгруппе B3 по ее центру; что эквивалентно группе внутренних автоморфизмов B3. В свою очередь, брудовая группа B3 изоморфна группе узла трилистника.

Коэффициенты

Значительный интерес представляют частные от деления по подгруппам конгруэнтности. Другие важные частные — это треугольные группы (2, 3, n), которые геометрически соответствуют переходу к цилиндру и делению координаты x по модулю n. Так, (2, 3, 5) является группой икосаэдрической симметрии, а треугольная группа (2, 3, 7) (и соответствующая ей мозаика) является накрытием для всех поверхностей Hurwitz.

Подгруппы конгруэнтности

Важные подгруппы модульной группы Γ, называемые конгруэнтными подгруппами, задаются наложением соотношений сравнения на соответствующие матрицы. Существует естественный гомоморфизм SL(2, ℤ) → SL(2, ℤ/Nℤ), заданный взятием элементов по модулю N. Это индуцирует гомоморфизм на модульной группе PSL(2, ℤ) → PSL(2, ℤ/Nℤ). Ядро этого гомоморфизма называется главной конгруэнтной подгруппой уровня N и обозначается Γ(N). У нас есть следующая точная последовательность:

Будучи ядром гомоморфизма, Γ(N) является нормальной подгруппой модульной группы Γ. Группа Γ(N) задается как множество всех модульных преобразований

для которых a ≡ d ≡ ±1 (mod N) и b ≡ c ≡ 0 (mod N). Легко показать, что след матрицы, представляющей элемент Γ(N), не может быть равен −1, 0 или 1, следовательно, эти подгруппы являются группами без кручения. (Существуют и другие подгруппы без кручения.) Главная конгруэнтная подгруппа уровня 2, Γ(2), также называется модульной группой Λ. Поскольку PSL(2, ℤ/2ℤ) изоморфна симметрической группе, Λ является подгруппой индекса 6. Группа Λ состоит из всех модульных преобразований, для которых a и d нечетны, а b и c четны. Другое важное семейство конгруэнтных подгрупп – модульная группа Γ₀(N), определяемая как множество всех модульных преобразований, для которых c ≡ 0 (mod N), или, эквивалентно, как подгруппа, матрицы которой становятся верхнетреугольными при взятии по модулю N. Отметим, что Γ(N) является подгруппой Γ₀(N). Модульные кривые, связанные с этими группами, являются частью феномена «монструозного лунного света» – для простого числа p модульная кривая нормализатора имеет род ноль тогда и только тогда, когда p делит порядок группы монстров, или, эквивалентно, если p является суперсингулярным простым числом.

Диадический моноид

Одним из важных подмножеств модульной группы является диадный моноид, который представляет собой моноид всех строк вида для положительных целых чисел k, m, n. Этот моноид возникает естественным образом при изучении фрактальных кривых и описывает симметрии самоподобия функции Кантора, функции вопросительного знака Минковского и снежинки Коха, каждая из которых является частным случаем общей кривой де Рэма. Моноид также имеет линейные представления в более высоких размерностях; например, представление можно интерпретировать как описание самосимметрии кривой бланкманж.

Карты тора

Группа GL(2, ℤ) состоит из линейных отображений, сохраняющих стандартную решетку ℤ², а SL(2, ℤ) — из сохраняющих ориентацию линейных отображений, сохраняющих эту решетку. Таким образом, они индуцируют самогомеоморфизмы тора (SL отображается в отображения, сохраняющие ориентацию), и фактически изоморфно отображаются в (расширенную) группу классов отображений тора, то есть каждый самогомеоморфизм тора изотопен отображению такого вида. Алгебраические свойства матрицы как элемента GL(2, ℤ) соответствуют динамике индуцированного отображения тора.

История

Модульная группа и её подгруппы впервые были подробно изучены Ричардом Дедекиндом и Феликсом Клейном в рамках его эрлангенской программы в 1870-х годах. Однако, тесно связанные с ней эллиптические функции изучались Жозефом Луи Лагранжем еще в 1785 году, а Карл Густав Якоб Якоби и Нильс Хенрик Абель опубликовали дальнейшие результаты об эллиптических функциях в 1827 году.