Математикада кеңейтілген кардиналдар – үлкен кардиналдардың бір түрі. Бұл кардиналдар жиын теориясының бастапқы бөлімдерінің ұқсастығын көрсетеді, элементарлы енгізілім арқылы анықталады.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Математикада кеңейтілетін кардиналдар – бұл ірі кардиналдар, оларды рефлексия принциптерімен шабыданған К.Г. енгізген. Интуитивті түрде, мұндай кардинал жиындардың ғаламының бастапқы бөліктері ұқсас бола бастайтын нүктені көрсетеді, яғни әрқайсысы кейінгісіне элементарлы түрде енгізіле алады.
In mathematics, extendible cardinals are large cardinals introduced by , who was partly motivated by reflection principles. Intuitively, such a cardinal represents a point beyond which initial pieces of the universe of sets start to look similar, in the sense that each is elementarily embeddable into a later one.
Анықтама
Кез келген ordinal η үшін, кардинал κ, егер кейбір ordinal λ үшін Vκ+η-ның Vλ-ға тривиальді емес элементарлық кіріктірілуі болса, онда κ кіріктірілудің сыни нүктесі болып табылады, ал Vα әдеттегідей фон Нейман иерархиясының α-шы деңгейін білдіреді, кеңейтілетін деп аталады. Егер κ кардиналы нөлдік емес кез келген ordinal η үшін кеңейтілетін болса, онда ол кеңейтілетін кардинал деп аталады (Kanamori 2003).
For every ordinal η, a cardinal κ is called η extendible if for some ordinal λ there is a nontrivial elementary embedding j of Vκ+η into Vλ, where κ is the critical point of j, and as usual Vα denotes the αth level of the von Neumann hierarchy. A cardinal κ is called an extendible cardinal if it is η extendible for every nonzero ordinal η (Kanamori 2003).
Қасиеттері
Кардинал үшін, логика компакт деп аталады, егер кез келген сөйлемдер жиыны үшін, егер оның кез келген кардиналдылығы бар кіші жиыны модельге ие болса, онда жиынның өзі де модельге ие болады. (Кәдімгі тығыздық теоремасы бірінші реттік логиканың компакттығын көрсетеді.) Екінші реттік жиын теориясы үшін шексіз логика, шексіз конъюнкциялар мен дизъюнкцияларды қабылдаса, онда ол кеңейтіледі, егер компакт болса.
For a cardinal , say that a logic is compact if for every set of sentences, if every subset of or cardinality has a model, then has a model. (The usual compactness theorem shows compactness of first order logic.) Let be the infinitary logic for second order set theory, permitting infinitary conjunctions and disjunctions of length is extendible iff is compact.
Варианттары және басқа кардиналдармен байланысы
Кардинал κ, егер элементарлық кіріктіру j болса, ол κ η кеңейтілетін екенін көрсетеді (яғни, j Vκ+η-дан кейбір Vλ-ға, κ критикалық нүктесімен элементарлық болып табылады) және сонымен қатар, Vj(κ) В-де Σn дұрыс болса, η C(n) кеңейтілетін деп аталады. Яғни, кез келген Σn формуласы φ үшін, φ Vj(κ)-де дұрыс, егер және тек егер φ V-де дұрыс болса. Кардинал κ C(n) кеңейтілетін деп аталады, егер ол кез келген ординал η үшін η C(n) кеңейтілетін болса. Кез келген кеңейтілетін кардинал C(1) кеңейтілетін, бірақ n≥1 үшін ең кіші C(n) кеңейтілетін кардинал ешқашан C(n+1) кеңейтілетін болмайды (Bagaria 2011). Вопенка принципі кеңейтілетін кардиналдардың бар екенін білдіреді; шындығында, Вопенка принципі (анықталатын кластар үшін) барлық n үшін C(n) кеңейтілетін кардиналдардың бар екеніне эквивалентті (Bagaria 2011). Барлық кеңейтілетін кардиналдар – суперкомпактты кардиналдар (Kanamori 2003).
A cardinal κ is called η C(n) extendible if there is an elementary embedding j witnessing that κ is η extendible (that is, j is elementary from Vκ+η to some Vλ with critical point κ) such that furthermore, Vj(κ) is Σn correct in V. That is, for every Σn formula φ, φ holds in Vj(κ) if and only if φ holds in V. A cardinal κ is said to be C(n) extendible if it is η C(n) extendible for every ordinal η. Every extendible cardinal is C(1) extendible, but for n≥1, the least C(n) extendible cardinal is never C(n+1) extendible (Bagaria 2011). Vopěnka's principle implies the existence of extendible cardinals; in fact, Vopěnka's principle (for definable classes) is equivalent to the existence of C(n) extendible cardinals for all n (Bagaria 2011). All extendible cardinals are supercompact cardinals (Kanamori 2003).