Введение
В математике расширяемые кардиналы — это большие кардиналы, введенные [имя математика], частично мотивированные принципами отражения. Интуитивно, такой кардинал представляет собой границу, за которой начальные фрагменты вселенной множеств начинают становиться похожими, в том смысле, что каждый из них элементарно встраивается в последующий.
Определение
Для каждого ординала η кардинал κ называется η-расширяемым, если для некоторого ординала λ существует нетривиальное элементарное вложение j из Vκ+η в Vλ, где κ является критической точкой j, и, как обычно, Vα обозначает α-й уровень иерархии фон Неймана. Кардинал κ называется расширяемым кардиналом, если он является η-расширяемым для каждого ненулевого ординала η (Kanamori 2003).
Свойства
Для кардинала, скажем, что логика компактна, если для любого множества предложений, если каждое его подмножество мощности имеет модель, то и само множество имеет модель. (Обычная теорема о компактности показывает компактность логики первого порядка.) Пусть будет бесконечная логика для теории множеств второго порядка, допускающая бесконечные конъюнкции и дизъюнкции длины . Логика является расширяемой, если она компактна.
Варианты и отношения с другими кардиналами
Кардинал κ называется η C(n)-расширяемым, если существует элементарное вложение j, свидетельствующее о том, что κ является η-расширяемым (то есть, j является элементарным от Vκ+η в некоторое Vλ с критической точкой κ), причем Vj(κ) является Σn-корректным в V. То есть, для каждой Σn-формулы φ, φ выполняется в Vj(κ) тогда и только тогда, когда φ выполняется в V. Кардинал κ называется C(n)-расширяемым, если он является η C(n)-расширяемым для каждого ординала η. Каждый расширяемый кардинал является C(1)-расширяемым, но для n≥1 наименьший C(n)-расширяемый кардинал никогда не является C(n+1)-расширяемым (Bagaria 2011). Принцип Вопенки влечет существование расширяемых кардиналов; фактически, принцип Вопенки (для определенных классов) эквивалентен существованию C(n)-расширяемых кардиналов для всех n (Bagaria 2011). Все расширяемые кардиналы являются суперкомпактными кардиналами (Kanamori 2003).