Математика негіздеріндегі қаптау леммасы және ядролық модельдер
Covering lemma
Математика негіздеріндегі қабатын леммасы, үлкен кардиналдардың болмауы жағдайында канондық ішкі модельдің (core model) болуын көрсетеді. KDJ моделі, L және т.б. туралы ақпарат.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Математика негіздерінде, жабын леммасы белгілі бір үлкен кардиналдардың болмауы канондық ішкі модельдің, яғни негізгі модельдің болуын дәлелдеу үшін қолданылады. Бұл модель белгілі бір мағынада максималды және фон Нейман әлемінің V құрылымын шамамен бейнелейді. Жабын леммасы, белгілі бір үлкен кардиналға қарсы тұратын болжам бойынша, негізгі модельдің бар екенін және таңдалған үлкен кардиналға байланысты белгілі бір мағынада максималды екенін көрсетеді. Мұндай алғашқы нәтижені Рональд Дженсен 0# жоқ деп есептегенде құрастырылатын әлем үшін дәлелдеді, бұл қазір Дженсеннің жабын теоремасы ретінде белгілі.
In the foundations of mathematics, a covering lemma is used to prove that the non existence of certain large cardinals leads to the existence of a canonical inner model, called the core model, that is, in a sense, maximal and approximates the structure of the von Neumann universe V. A covering lemma asserts that under some particular anti large cardinal assumption, the core model exists and is maximal in a sense that depends on the chosen large cardinal. The first such result was proved by Ronald Jensen for the constructible universe assuming 0# does not exist, which is now known as Jensen's covering theorem.
Мысал
Мысалы, егер өлшенетін кардинал үшін ішкі модель болмаса, онда Додд-Дженсен ядролық моделі, KDJ – ядролық модель болып табылады және жабатын қасиетті қанағаттандырады, яғни әрбір санаусыз ординалдар жиыны x үшін, y жиыны бар, y ⊃ x, y жиыны x-пен бірдей кардиналдыққа ие, және y ∈ KDJ. (Егер 0# болмаса, онда KDJ = L.)
For example, if there is no inner model for a measurable cardinal, then the Dodd–Jensen core model, KDJ is the core model and satisfies the covering property, that is for every uncountable set x of ordinals, there is y such that y ⊃ x, y has the same cardinality as x, and y ∈ KDJ. (If 0# does not exist, then KDJ = L.)
Ұзартқыштар және ажыратылмас бөлшектер
Жалпы кеңейтушілердің үстінен жабыспайтын негізгі модельдер үшін ажыратылмаушы жүйелер жақсы түсініледі. Егер (егер K өлшенетін кардиналдардың қолжетімді емес шегіне ие болса) жүйе жабатын жиынға байланысты болса да, ол әлсіз мағынада жақсы анықталған және бірегей болады. Жабудың бір қолданылуы – ажыратылмаушы сандардың (тізбектерінің) санын есептеу, бұл дара кардиналдар гипотезасының әртүрлі сәтсіздіктері үшін оңтайлы төменгі шекараларды береді. Мысалы, егер K-де жалпы кеңейтушілердің үстінен жабысып кетпесе, және κ – синглярлы күшті шек, ал 2κ = κ++, онда κ-да кем дегенде κ++ Митчелл ордені бар. Керісінше, дара кардиналдық гипотезаның сәтсіздігі (жалпы кеңейтуде) κ-дан o(κ) = κ++ арқылы алынуы мүмкін. Жалпы кеңейтушілердің үстінен түсетін (яғни кардиналдық күшті өлшенетінге дейін) негізгі модельдер үшін ажыратылмаушы элементтердің жүйелері нашар түсініледі, ал қолданыстар (мысалы, әлсіз жабу) ажыратылмаушы элементтерді талдаудың орнына болдырмауға бейім.
For core models without overlapping total extenders, the systems of indiscernibles are well understood. Although (if K has an inaccessible limit of measurable cardinals), the system may depend on the set to be covered, it is well determined and unique in a weaker sense. One application of the covering is counting the number of (sequences of) indiscernibles, which gives optimal lower bounds for various failures of the singular cardinals hypothesis. For example, if K does not have overlapping total extenders, and κ is singular strong limit, and 2κ = κ++, then κ has Mitchell order at least κ++ in K. Conversely, a failure of the singular cardinal hypothesis can be obtained (in a generic extension) from κ with o(κ) = κ++. For core models with overlapping total extenders (that is with a cardinal strong up to a measurable one), the systems of indiscernibles are poorly understood, and applications (such as the weak covering) tend to avoid rather than analyze the indiscernibles.
Қосымша қасиеттері
Егер K бар болса, онда әрбір тұрақты Jónsson кардиналы K-де Рамсей болып табылады. K-де тұрақты әрбір жеке кардинал K-де өлшенетін болады.
If K exists, then every regular Jónsson cardinal is Ramsey in K. Every singular cardinal that is regular in K is measurable in K.
Сонымен қатар, егер K(X) негізгі моделі X ординалдар жиынынан жоғары жатса, онда ол X-тен жоғарыда талқыланған қасиеттерге ие болады.
Also, if the core model K(X) exists above a set X of ordinals, then it has the above discussed covering properties above X.