Кіріспе
Математикада, сақинадағы модульдің S жиынының жойғышы – S жиынының әрбір элементімен көбейтілгенде әрқашан нөлді беретін сақина элементтерінен құралған идеал. Бүтін доменде нөлдік емес жойғышы бар модуль – бұралу модулі, ал шекті түрде жасалған бұралу модулінің нөлдік емес жойғышы болады. Аталған анықтама коммутативті емес сақиналар үшін де қолданылады, онда сол модульдің сол жақ жойғышы – сол идеал, ал оң модульдің оң жақ жойғышы – оң идеал болып табылады.
In mathematics, the annihilator of a subset S of a module over a ring is the ideal formed by the elements of the ring that give always zero when multiplied by each element of S.
Over an integral domain, a module that has a nonzero annihilator is a torsion module, and a finitely generated torsion module has a nonzero annihilator. The above definition applies also in the case of noncommutative rings, where the left annihilator of a left module is a left ideal, and the right annihilator, of a right module is a right ideal.
Қасиеттері
Егер S сол R модулі M-дің ішкі жиыны болса, онда Ann(S) R-дің сол идеал болады.
Егер S M-нің ішкі модулі болса, онда AnnR(S) тіпті екі жақты идеал: (ac)s = a(cs) = 0, себебі cs S-нің тағы бір елеуі.
Егер S M-нің ішкі жиыны болса және N S-тің тудырған M-нің ішкі модулі болса, онда әдетте AnnR(N) AnnR(S)-тің ішкі жиыны болады, бірақ олар міндетті түрде тең емес. Егер R коммутативті болса, онда теңдік орындалады. M-ді R/AnnR(M) модулі ретінде де қарастыруға болады. Айта кетейік, R модулін осылай R/I модуліне айналдыру әрқашан мүмкін емес, бірақ егер I идеал M-нің анигиляторының ішкі жиыны болса, онда бұл амал дұрыс анықталған. R/AnnR(M) модулі ретінде қарастырылғанда, M автоматты түрде адал модуль болып табылады.
Коммутативті сақиналар үшін
Осы бөлімдегідей, R коммутативті сақина, ал M – R-модулінің шекті түрде құрылған модулі болсын.
Бүкіл сандар бойынша
Кез келген шекті түрде құрылған модуль Абель топтарының негізгі теоремасы бойынша, оның еркін бөлігі мен бұрылыс бөлігінің тікелей қосындысы ретінде толықтай жіктеледі. Сонда, шекті түрде құрылған модульдің аннигиляторы тек қана бұрылыс болса ғана маңызды болады. Себебі, оның әрбір элементін өлтіретін жалғыз элемент – нөл. Мысалы, модульдің аннигиляторы – идеалдың туындысы. Шындығында, бұрылыс модульдің аннигиляторы олардың ең кіші ортақ еселігімен туындаған идеалға изоморфты. Бұл аннигиляторларды бүтін сандар арқылы оңай жіктеуге болатынын көрсетеді.
since the only element killing each of the is For example, the annihilator of is
the ideal generated by In fact the annihilator of a torsion module
is isomorphic to the ideal generated by their least common multiple, This shows the annihilators can be easily be classified over the integers.
Анигилятордың идеалдардағы тізбектік жағдайлары
S R-дің кіші жиыны болған жағдайдағы идеалдар торы, ішінара кіріктіру арқылы реттелгенде толық тор құрайды. Бұл тордың (немесе оның оң жаққа қатысты аналогының) өсу тізбегі шартын немесе кему тізбегі шартын қанағаттандыратын сақиналарды зерттеу қызықты. R-дің сол жақ жойғыш идеалдарының торын деп, ал R-дің оң жақ жойғыш идеалдарының торын деп белгілейік. көтерілу тізбегі шартын қанағаттандырса және тек қана кему тізбегі шартын қанағаттандырса, және симметриялық түрде, көтерілу тізбегі шартын қанағаттандырса және тек қана кему тізбегі шартын қанағаттандырса. Егер тордың бірінде осы тізбек шарттарының бірі болса, онда R шексіз жұптық ортогональ теңпотенттер жиынына ие емес. Егер R сақинасы шартын қанағаттандырса және RR шекті біртекті өлшемге ие болса, онда R сол жақ Голди сақинасы деп аталады.