Введение

Идеал, обнуляющий подмножество модуля

В математике аннигилятором подмножества S модуля над кольцом называется идеал, состоящий из элементов кольца, которые при умножении на каждый элемент S дают нуль.

Над областью целостности модуль, имеющий ненулевой аннигилятор, является модулем кручения, и конечно порожденный модуль кручения имеет ненулевой аннигилятор. Вышеприведенное определение также применимо к случаю некоммутативных колец, где левый аннигилятор левого модуля является левым идеалом, а правый аннигилятор правого модуля – правым идеалом.

Свойства

Если S является подмножеством левого R-модуля M, то Ann(S) является левым идеалом в R.

Если S является подмодулем M, то AnnR(S) является даже двусторонним идеалом: (ac)s = a(cs) = 0, поскольку cs является другим элементом S.

Если S является подмножеством M, а N – подмодулем M, порожденным S, то в общем случае AnnR(N) является подмножеством AnnR(S), но они не обязательно равны. Если R коммутативно, то равенство выполняется. M также можно рассматривать как модуль над R/AnnR(M) с использованием соответствующего действия. Кстати, не всегда возможно преобразовать R-модуль в модуль над R/I таким образом, но если идеал I является подмножеством аннигилятора M, то это действие определено корректно. Рассматриваемый как модуль над R/AnnR(M), M автоматически является верным модулем.

Для коммутационных колец

В этом разделе пусть R — коммутативное кольцо, а M — конечно порожденный R-модуль.

По целым числам

Любой конечно сгенерированный модуль полностью классифицируется как прямая сумма его свобоной части и торсионной части согласно фундаментальной теореме об абелевых группах. Тогда аннигилятор конечно сгенерированного модуля является нетривиальным только в том случае, если он состоит целиком из торсионных элементов. Это происходит потому, что единственный элемент, уничтожающий каждый из них, — это, например, аннигилятор является идеалом, порожденным. Фактически, аннигилятор торсионного модуля изоморфен идеалу, порожденному их наименьшим общим кратным. Это показывает, что аннигиляторы можно легко классифицировать над целыми числами.

Условия цепи на аннигиляторе идеалов

Сетка идеалов вида, где S – подмножество R, образует полную решетку при частичном упорядочивании по включению. Интересно изучать кольца, для которых эта решетка (или ее правый аналог) удовлетворяет условию восходящей цепи или условию нисходящей цепи. Обозначим решетку левых идеалов-аннигиляторов R как а решетку правых идеалов-аннигиляторов R как . Известно, что удовлетворяет условию восходящей цепи тогда и только тогда, когда удовлетворяет условию нисходящей цепи, и симметрично, удовлетворяет условию восходящей цепи тогда и только тогда, когда удовлетворяет условию нисходящей цепи. Если хотя бы одна из решёток удовлетворяет хотя бы одному из этих условий на цепи, то R не имеет бесконечных парно-ортогональных множеств идемпотентов. Если R – кольцо, для которого удовлетворяет условию А.В.Ц. (A.C.C.) и RR имеет конечную однородную размерность, то R называется левым кольцом Голди.