Кіріспе
Математикалық функция, оның туындысы табылады. Математикада бір нақты айнымалының дифференциалданатын функциясы – бұл функцияның туындысы оның анықталу облысының әрбір нүктесінде болатын функция. Басқаша айтқанда, дифференциалданатын функцияның графигінде оның анықталу облысының әрбір ішкі нүктесінде тік емес жанама сызық болады. Дифференциалданатын функция тегіс (функция әрбір ішкі нүктеде сызықтық функция ретінде жергілікті түрде жақсы жуықталады) және ешқандай үзіліс, бұрыш немесе ұш жағы болмайды. Егер x0 функцияның f анықталу облысындағы ішкі нүкте болса, онда f x0 нүктесінде дифференциалданады, егер туындысы болса. Басқаша айтқанда, f графигінің (x0, f(x0)) нүктесінде тік емес жанама сызығы бар. f жиыны U-да дифференциалданады деп айтылады, егер ол U жиынының әрбір нүктесінде дифференциалданатын болса. f үздіксіз дифференциалданады деп айтылады, егер оның туындысы функцияның анықталу облысында үздіксіз функция болса. Жалпы алғанда, f белгілі бір классқа жатады деп айтылады, егер оның бірінші туындылары бар болса және функцияның анықталу облысында үздіксіз болса. Көп айнымалы функция үшін, мысалы, оның дифференциалдануы оның жеке туындыларының болуынан гөрі күрделірек шартты қанағаттандыруды білдіреді.
In mathematics, a differentiable function of one real variable is a function whose derivative exists at each point in its domain. In other words, the graph of a differentiable function has a non vertical tangent line at each interior point in its domain. A differentiable function is smooth (the function is locally well approximated as a linear function at each interior point) and does not contain any break, angle, or cusp. If x0 is an interior point in the domain of a function f, then f is said to be differentiable at x0 if the derivative exists. In other words, the graph of f has a non vertical tangent line at the point (x0, f(x0)). f is said to be differentiable on U if it is differentiable at every point of U. f is said to be continuously differentiable if its derivative is also a continuous function over the domain of the function Generally speaking, f is said to be of class if its first derivatives exist and are continuous over the domain of the function
For a multivariable function, as shown here, the differentiability of it is something more than the existence of the partial derivatives of it.
Дифференциацияланушылық және сабақтастық
Егер f функциясы x0 нүктесінде дифференциалданатын болса, онда f функциясы x0 нүктесінде үзіліссіз болуы керек. Атап айтқанда, кез келген дифференциалданатын функция өзінің анықталу облысының әрбір нүктесінде үзіліссіз болады. Керісінше, үзіліссіз функция міндетті түрде дифференциалданатын болуы қажет емес. Мысалы, иілісі, тік нүктесі немесе тік жанасуы бар функция үзіліссіз болуы мүмкін, бірақ аномалия орналасқан жерде дифференциалдана алмайды. Іс жүзінде кездесетін көптеген функциялардың барлық немесе дерлік барлық нүктелерінде туындылары болады. Дегенмен, Стефан Банахтың нәтижесіне сәйкес, белгілі бір нүктеде туындысы бар функциялар жиыны барлық үзіліссіз функциялар кеңістігінде өте кішкентай жиынтық болып табылады. Бұл, қарапайым тілмен айтқанда, дифференциалданатын функциялар үзіліссіз функциялардың арасында сирек кездесетінін білдіреді. Барлық жерде үзіліссіз, бірақ еш жерде дифференциалдана алмайтын функцияның алғашқы белгілі мысалы – Вейерштрасс функциясы.
Күрделі талдаудағы дифференциалдануы
Күрделі талдауда күрделі дифференциалдану бір айнымалы нақты функциялар үшін қолданылатын анықтамамен бірдей анықталады. Бұған күрделі сандарды бөлу мүмкіндігі себеп. Сондықтан, функция нүктеде дифференциалданады деп айтылады, егер:
Бұл анықтама бір айнымалы нақты функциялардың дифференциалдануына ұқсас болғанымен, күрделі дифференциалдану шарттарына қатаңрақ талаптар қойылады. Бір нүктеде күрделі дифференциалданатын функция, нақты функция ретінде қарастырылғанда, сол нүктеде автоматты түрде дифференциалданады. Өйткені күрделі дифференциалдану мынаны білдіреді:
Дегенмен, функция көп айнымалы функция ретінде дифференциалдануы мүмкін, бірақ күрделі дифференциалдана бермейді. Мысалы, функция екі айнымалы нақты функция ретінде қарастырылғанда кез келген нүктеде дифференциалданады, бірақ ол ешқандай нүктеде күрделі дифференциалдана алмайды, себебі шек табылмайды (мысалы, ол жақындау бұрышына тәуелді). Егер функция бір нүктенің айналасындағы аймақта күрделі дифференциалданатын болса, онда ол нүктеде голоморфты деп аталады. Мұндай функция міндетті түрде шексіз дифференциалданады және тіпті аналитикалық болады.
Манифолдтардағы дифференциалданған функциялар
Егер M дифференциалданатын көптік болса, M-дегі f нақты немесе кешенді мәнді функциясы p нүктесінде дифференциалданатын болады, егер ол p нүктесінің маңындағы кез келген (немесе бір) координаттық кескінге қатысты дифференциалданатын болса. Егер M және N дифференциалданатын көптік болса, f: M → N функциясы p нүктесінде дифференциалданатын болады, егер ол p және f(p) нүктелерінің маңындағы кез келген (немесе бір) координаттық кескінге қатысты дифференциалданатын болса.