Введение

Математическая функция, производная которой существует

В математике дифференцируемая функция одной вещественной переменной – это функция, имеющая производную в каждой точке своей области определения. Иными словами, график дифференцируемой функции имеет невертикальную касательную в каждой внутренней точке своей области определения. Дифференцируемая функция гладкая (функция локально хорошо аппроксимируется линейной функцией в каждой внутренней точке) и не содержит разрывов, углов или заострений. Если x0 – внутренняя точка в области определения функции f, то f называется дифференцируемой в x0, если существует производная. Иными словами, график f имеет невертикальную касательную в точке (x0, f(x0)). Функция f называется дифференцируемой на множестве U, если она дифференцируема в каждой точке множества U. Функция f называется непрерывно дифференцируемой, если ее производная также является непрерывной функцией на области определения функции. В общем случае, функция f считается принадлежащей классу C<sup>k</sup>, если существуют первые k ее производных, которые являются непрерывными на области определения функции. Для многомерной функции, как показано здесь, дифференцируемость – это понятие, более широкое, чем существование ее частных производных.

Дифференцируемость и преемственность

Если функция f дифференцируема в точке x0, то она также должна быть непрерывной в x0. В частности, любая дифференцируемая функция должна быть непрерывной во всех точках своей области определения. Обратное неверно: непрерывная функция не обязана быть дифференцируемой. Например, функция с точкой перегиба, куспидом или вертикальной касательной может быть непрерывной, но не дифференцируемой в точке аномалии. Большинство функций, встречающихся на практике, имеют производные во всех или почти всех точках. Однако, результат Стефана Банаха утверждает, что множество функций, имеющих производную хотя бы в одной точке, является неполным (скудным) множеством в пространстве всех непрерывных функций. Неформально это означает, что дифференцируемые функции являются весьма нетипичными среди непрерывных функций. Первым известным примером функции, непрерывной всюду, но нигде не дифференцируемой, является функция Вейерштрасса.

Дифференцируемость в сложном анализе

В комплексном анализе комплексная дифференцируемость определяется с использованием того же определения, что и для вещественных функций одной переменной. Это возможно благодаря возможности деления комплексных чисел. Таким образом, функция f называется дифференцируемой в точке z, если

Хотя это определение похоже на дифференцируемость вещественных функций одной переменной, оно, тем не менее, является более строгим условием. Функция f, которая комплексно дифференцируема в точке z, автоматически дифференцируема в этой точке, если рассматривать её как функцию двух вещественных переменных. Это происходит потому, что комплексная дифференцируемость подразумевает, что

Однако функция f может быть дифференцируемой как функция многих переменных, но не быть комплексно дифференцируемой. Например, f(z) = z̄ является дифференцируемой в каждой точке, если рассматривать её как вещественную функцию двух переменных, но она не является комплексно дифференцируемой ни в одной точке, поскольку предел lim (f(z + h) - f(z))/h не существует (например, он зависит от угла подхода). Любую функцию, которая комплексно дифференцируема в окрестности точки, называют голоморфной в этой точке. Такая функция обязательно бесконечно дифференцируема и, фактически, аналитична.

Дифференцируемые функции на коллекторах

Если M — дифференцируемое многообразие, то функция f с вещественными или комплексными значениями на M называется дифференцируемой в точке p, если она дифференцируема относительно некоторой (или любой) координатной окрестности, определенной в окрестности точки p. Если M и N — дифференцируемые многообразия, то функция f: M → N называется дифференцируемой в точке p, если она дифференцируема относительно некоторой (или любой) координатной окрестности, определенной в окрестностях точек p и f(p).