Кіріспе
Бір өлшемені екінші өлшеменің интегралы ретінде көрсету. Математикада Радон–Никодим теоремасы – бір өлшеуіш кеңістікте анықталған екі өлшемнің арақатынасын көрсететін өлшем теориясының нәтижесі. Өлшем – өлшенетін кеңістіктің өлшенетін ішкі жиындарына тұрақты шама беретін жиындық функция. Өлшемге аудан және көлем жатады, онда ішкі жиындар нүктелер жиыны болып табылады; немесе оқиғаның ықтималдығы, ол кеңірек ықтималдық кеңістігіндегі мүмкін нәтижелердің ішкі жиыны. Жаңа өлшемді бұрыннан берілген өлшемнен алудың бір жолы – кеңістіктің әрбір нүктесіне тығыздық тағайындау, содан кейін қызығушылық тудыратын өлшенетін ішкі жиынды интегралдау. Бұл келесідей көрсетілуі мүмкін:
In mathematics, the Radon–Nikodym theorem is a result in measure theory that expresses the relationship between two measures defined on the same measurable space. A measure is a set function that assigns a consistent magnitude to the measurable subsets of a measurable space. Examples of a measure include area and volume, where the subsets are sets of points; or the probability of an event, which is a subset of possible outcomes within a wider probability space. One way to derive a new measure from one already given is to assign a density to each point of the space, then integrate over the measurable subset of interest. This can be expressed as
мұнда ν – кез келген өлшенетін A ішкі жиыны үшін анықталатын жаңа өлшем, ал f – берілген нүктедегі тығыздық функциясы. Интеграл μ өлшеміне қатысты алынады, ол көбінесе нақты түзу 'R' немесе n-өлшемді Евклид кеңістігі 'R'^(n) (ұзындық, аудан және көлем туралы стандартты түсініктерге сәйкес) бойынша канондық Лебег өлшемі болуы мүмкін. Мысалы, егер f массалық тығыздықты білдірсе және μ үш өлшемді кеңістіктегі Лебег өлшемі болса, онда ν(A) кеңістіктік аймақ A-дағы жалпы массаға тең болады. Радон–Никодим теоремасы негізінде, белгілі бір шарттар орындалғанда, кез келген ν өлшемін сол кеңістікте μ өлшеміне қатысты осылай көрсетуге болады. f функциясы Радон–Никодим туындысы деп аталады және ол ықтималдық теориясында маңызды қолданысқа ие, осы кездейсоқ айнымалының ықтималдық тығыздық функциясына әкеледі. Теорема 1913 жылы негізгі кеңістік 'R'^(n) болатын ерекше жағдай үшін теореманы дәлелдеген Иоганн Радонның және 1930 жылы жалпы жағдайды дәлелдеген Отто Никодимнің құрметіне аталған. 1936 жылы Ханс Фрейденталь Радон–Никодим теоремасын Фрейденталь спектрлік теоремасын дәлелдеу арқылы жалпылады, бұл Риес кеңістік теориясының нәтижесі; ол Радон–Никодим теоремасын ерекше жағдай ретінде қамтиды. Банах кеңістігі Y, егер Радон–Никодим теоремасының жалпылауы Y-дегі мәндері бар функциялар үшін де қолданылса, Радон–Никодим қасиетіне ие деп айтылады. Барлық Гильберт кеңістіктері Радон–Никодим қасиетіне ие.
Радон-Никодим туындысы
Жоғарыдағы теңдікті қанағаттандыратын функция нөлдік жиынға дейін бірегей түрде анықталады, яғни егер бірдей қасиетті қанағаттандыратын тағы бір функция болса, онда дерлік барлық жерде . Бұл функция әдетте деп жазылады және Радон–Никодим туындысы деп аталады. Функцияның белгіленуі мен атауы, функцияның бір шаманың тығыздығының өзгеру жылдамдығын екінші шамаға қатысты сипаттауындағы, есептеудегі туындыға ұқсастығын көрсетеді (якобиан детерминантының көп айнымалы интегралда қолданылуы сияқты).
Мысалдар
Келесі мысалдарда X жиынтығы – [0,1] нақты аралығы, ал X-тегі Борель сигма-алгебрасы болып табылады. – X-тегі ұзындық өлшемі. Ол X-тің кез келген Y ішкі жиынына Y-тың ұзындығының екі еселенгенін тағайындайды. Содан кейін, – X-тегі ұзындық өлшемі. Ол X-тің кез келген Y ішкі жиынына Y-та бар {0.1, 0.5, 0.9} жиынтығындағы нүктелер санын тағайындайды. Содан кейін, бұл өлшем абсолюттік үздіксіздікке ие емес, себебі ол нөлдік ұзындығы бар нүктелерге нөлдік емес өлшем тағайындайды. Шындығында, туындысы жоқ: мысалы, [a, b] аралығында интегралдағанда, барлық Y үшін –ты беретін шекті функция жоқ, мұнда – X-тегі ұзындық өлшемі, ал – 0 нүктесіндегі Дирак өлшемі (ол 0-ді қамтитын кез келген жиынға 1 өлшем, ал басқа кез келген жиынға 0 өлшем тағайындайды). Содан кейін, бұл өлшем –ке қатысты абсолюттік үздіксіздікке ие, ал туындысы 0 және 1 тең.
is the length measure on X. assigns to each subset Y of X, twice the length of Y. Then, is the length measure on X. assigns to each subset Y of X, the number of points from the set {0.1, , 0.9} that are contained in Y. Then, is not absolutely continuous with respect to since it assigns non zero measure to zero length points. Indeed, there is no derivative : there is no finite function that, when integrated e. g. from to , gives for all , where is the length measure on X and is the Dirac measure on 0 (it assigns a measure of 1 to any set containing 0 and a measure of 0 to any other set). Then, is absolutely continuous with respect to , and – the derivative is 0 at and 1 at .
Ықтималдық теориясы
Теорема ықтималдық теориясының идеяларын нақты сандар бойынша анықталған ықтималдық массалары мен ықтималдық тығыздықтарынан кез келген жиынтықтар бойынша анықталған ықтималдық шараларына кеңейтуде маңызды рөл атқарады. Ол бір ықтималдық шарасынан екіншісіне өтудің қалай мүмкін екенін көрсетеді. Атап айтқанда, кездейсоқ шаманың ықтималдық тығыздық функциясы – белгілі бір базалық шараға қатысты туындаған шараның Радон-Никодим туындысы болып табылады (әдетте, үздіксіз кездейсоқ шамалар үшін Лебег шарасы). Мысалы, оны ықтималдық шаралары үшін шартты күтудің болуын дәлелдеуге қолдануға болады. Шартты күтудің өзі ықтималдық теориясының маңызды түсінігі, себебі шартты ықтималдық – оның ерекше жағдайы ғана.
Қаржылық математика
Басқа салалардың қатарында қаржылық математика бұл теореманы кеңінен пайдаланады, әсіресе Гирсанов теоремасы арқылы. Мұндай ықтималдық шарасын өзгерту деривативтерді рационалды бағалаудың негізгі тасы болып табылады және нақты ықтималдықтарды тәуекелсіз ықтималдықтарға түрлендіру үшін қолданылады.
σ-тұрақтылық болжамы
Жоғарыдағы Радон-Никодим теоремасы ν-тің өзгеру жылдамдығын есептеу үшін қолданылатын μ өлшемінің σ-шекті екенін қабылдайды.
Оң нәтиже
Радон–Никодим теоремасы да орындалады, егер ол жергілікті түрде анықталған болса және барлық үшін -қа қатысты қол жетімді болса, яғни, барлығы үшін.
Дәлел
Бұл бөлім теореманың өлшемдік теориялық дәлелін ұсынады. Гильберт кеңістігі әдістерін қолдана отырып, фон Нейман алғаш рет берген функционалдық аналитикалық дәлел де бар. μ және ν шекті өлшемдері үшін, f dμ ≤ dν шартын қанағаттандыратын f функцияларын қарастырамыз. Мұндай функциялардың жоғарғы шегі, монотонды жинақталу теоремасымен бірге, Радон–Никодим туындысын қамтамасыз етеді. μ өлшемінің ν-ге қатысты қалған бөлігінің бірегейлігі шектеулі өлшемдерге қатысты техникалық фактіден туындайды. Нәтиже шекті өлшемдер үшін дәлелденгеннен кейін, σ-шекті, белгілі және кешенді өлшемдерге кеңейту оңай жүзеге асырылады. Толық мәліметтер төменде келтірілген.
Белгілі бір оң шаралар үшін
Егер μ және ν σ-шекті болса, онда X-ті Σ-дағы {Bn}n тізбегінің бірігісі ретінде жазуға болады, олардың әрқайсысы μ және ν шаралары бойынша шекті шамаға ие. Әр n үшін, шекті жағдайда, fn: Bn → [0, ∞) Σ-өлшенетін функциясы бар, осылайша кез келген Σ-өлшенетін Bn жиынының A ішкі жиыны үшін. Осы функциялардың қосындысы – қажетті функция, ал бірегейлік тұрғысынан, fn-нің әрқайсысы μ шарасы бойынша дерлік әр жерде бірегей болғандықтан, f да бірегей.
for each Σ measurable subset A of Bn. The sum of those functions is then the required function such that
As for the uniqueness, since each of the fn is μ almost everywhere unique, so is f.
Қол қойылған және күрделі шаралар үшін
Егер ν σ-шекті белгісі бар өлшем болса, онда оны 1=ν = ν^(+) − ν^(−) түрінде Ха́н–Жорда́нға жіктеуге болады, мұнда өлшемдердің бірі шекті болады. Бұл екі өлшемге алдыңғы нәтижені қолданғанда, g, h : X → [0, ∞) екі функцияны аламыз, олар ν^(+) және ν^(−) үшін Радон–Никодим теоремасын қанағаттандырады, және олардың кем дегенде біреуі μ-интегралды (яғни, μ-ға қатысты интегралы шекті). Онда 1=f = g − h қажетті қасиеттерді, соның ішінде бірегейлікті қанағаттандырады, себебі g және h екеуі де μ-ге шамалы дерлік теңдікке дейін бірегей. Егер ν кешенді өлшем болса, оны 1=ν = ν1 + iν2 деп жіктеуге болады, мұнда ν1 және ν2 екеуі де шекті мәнді белгісі бар өлшемдер. Жоғарыдағы аргументті қолданғанда, g, h : X → [0, ∞) екі функцияны аламыз, олар ν1 және ν2 үшін қажетті қасиеттерді қанағаттандырады. Онда 1=f = g + ih қажетті функция болады.
Лебегтің ыдырау теоремасы
Лебегтің ыдырау теоремасы Радон-Никодим теоремасының шарттары тіпті көрінеу жалпырақ жағдайда да табылатынын көрсетеді. Өлшем кеңістігіндегі σ-шекті оң өлшемді және , абсолютті үздіксіздік туралы ешқандай болжамсыз σ-шекті таңбаланған өлшемді қарастырайық. Онда , және теңдіктері орындалатындай бірегей таңбаланған өлшемдер бар. Содан кейін Радон-Никодим теоремасын жұпқа қолдануға болады.