Введение

Выражение меры как интеграла другой
В математике теорема Радона — Никодима — это результат в теории мер, который выражает связь между двумя мерами, определенными на одном и том же измеримом пространстве. Мера — это функционал множества, который присваивает согласованную величину измеримым подмножествам измеримого пространства. Примеры мер включают площадь и объем, где подмножествами являются множества точек, или вероятность события, которое является подмножеством возможных исходов в более широком вероятностном пространстве. Один из способов получения новой меры из уже заданной — присвоить плотность каждой точке пространства, а затем проинтегрировать ее по интересующему измеримому подмножеству. Это можно выразить как

где ν — новая мера, определяемая для любого измеримого подмножества A, а f — плотность в данной точке. Интеграл берется по существующей мере μ, которая часто может быть канонической мерой Лебега на вещественной прямой R или n-мерном евклидовом пространстве Rⁿ (соответствующей нашим стандартным представлениям о длине, площади и объеме). Например, если f представляет собой плотность массы, а μ — мера Лебега в трехмерном пространстве R³, то ν(A) будет равна общей массе в пространственной области A. Теорема Радона — Никодима по существу утверждает, что при определенных условиях любую меру ν можно выразить таким образом относительно другой меры μ на том же пространстве. Функция f называется производной Радона — Никодима и обозначается как . Важное применение — в теории вероятностей, приводящее к функции плотности вероятности случайной величины. Теорема названа в честь Иоганна Радона, который доказал теорему для частного случая, когда базовое пространство — Rⁿ в 1913 году, и Отто Никодима, который доказал общий случай в 1930 году. В 1936 году Ганс Фрейденталь обобщил теорему Радона — Никодима, доказав спектральную теорему Фрейденталя, результат в теории пространств Рисса; она содержит теорему Радона — Никодима как частный случай. Пространство Банаха Y называется обладающим свойством Радона — Никодима, если обобщение теоремы Радона — Никодима также справедливо, mutatis mutandis, для функций со значениями в Y. Все пространства Гильберта обладают свойством Радона — Никодима.

Радоновый производный

Функция, удовлетворяющая вышеуказанному равенству, однозначно определена с точностью до множества меры нуль, то есть, если – другая функция, удовлетворяющая тому же свойству, то совпадает с почти всюду. Эта функция обычно обозначается как и называется производной Радона — Никодима. Выбор обозначения и названия функции отражает тот факт, что она аналогична производной в математическом анализе в том смысле, что описывает скорость изменения плотности одной меры относительно другой (подобно тому, как определитель Якоби используется в многомерном интегрировании).

Примеры

В следующих примерах множество X представляет собой вещественный интервал [0,1], а – борелевская сигма-алгебра на X. – мера длины на X. Она присваивает каждому подмножеству Y из X значение, равное удвоенной длине Y. Далее, – мера длины на X. Она присваивает каждому подмножеству Y из X количество точек из множества {0.1, 0.5, 0.9}, содержащихся в Y. Тогда, не является абсолютно непрерывной по отношению к , поскольку она присваивает ненулевую меру точкам нулевой длины. Действительно, производной не существует: нет конечной функции, интеграл которой, например, от до , даёт для всех , где – мера длины на X, а – мера Дирака в точке 0 (она присваивает меру 1 любому множеству, содержащему 0, и меру 0 любому другому множеству). Тогда, является абсолютно непрерывной по отношению к , а её производная равна 0 в точке 0 и 1 в точке 1.

Теория вероятности

Теорема имеет большое значение для расширения идей теории вероятностей от вероятностных масс и плотностей вероятности, определенных на множестве вещественных чисел, до мер вероятности, определенных на произвольных множествах. Она показывает, возможно ли и каким образом перейти от одной меры вероятности к другой. В частности, функция плотности вероятности случайной величины является производной Радона — Никодима индуцированной меры по отношению к некоторой базовой мере (обычно мере Лебега для непрерывных случайных величин). Например, ее можно использовать для доказательства существования условного математического ожидания для мер вероятности. Само условное математическое ожидание является ключевым понятием в теории вероятностей, поскольку условная вероятность является лишь частным случаем этого понятия.

Финансовая математика

В финансовой математике теорема широко используется, в частности, посредством теоремы Гирсанова. Такие изменения меры вероятности лежат в основе рационального ценообразования деривативов и используются для преобразования реальных вероятностей в безрисковые вероятности.

Предположение о σ-окончательности

Теорема Радона–Никодима, представленная выше, предполагает, что мера μ, относительно которой вычисляется производная Радона–Никодима меры ν, является сигма-конечной.

Положительный результат

Предполагая, что теорема Радона — Никодима также справедлива, если локально измерима и является доступной относительно , то есть для всех .

Доказательство

В этом разделе приводится доказательство теоремы, основанное на теории меры. Существует также доказательство из функционального анализа, использующее методы гильбертовых пространств, впервые предложенное фон Нейманом. Для конечных мер μ и ν идея состоит в рассмотрении функций f, таких что f dμ ≤ dν. Супремум всех таких функций, наряду с теоремой о монотонной сходимости, дает производную Радона — Никодима. Тот факт, что оставшаяся часть μ сингулярна по отношению к ν, следует из технического утверждения о конечных мерах. После установления результата для конечных мер, расширение на σ-конечные, знаково-определенные и комплексные меры может быть выполнено естественным образом. Подробности приведены ниже.

Для -определенные положительные меры

Если μ и ν σ-конечны, то X можно представить в виде объединения последовательности {Bn}n непересекающихся множеств из Σ, каждое из которых имеет конечную меру как относительно μ, так и относительно ν. Для каждого n, в силу конечного случая, существует Σ-измеримая функция fn : Bn → [0, ∞) такая, что

для каждого Σ-измеримого подмножества A множества Bn. Сумма этих функций является тогда искомой функцией, такой, что

Что касается единственности, поскольку каждая из функций fn почти всюду единственна относительно μ, то и f единственна.

Для подписанных и комплексных мер

Если ν – σ-конечная знакопеременная мера, то она может быть разложена по Хану–Иордану как 1 = ν = ν⁺ − ν⁻, где одна из мер является конечной. Применяя предыдущий результат к этим двум мерам, получаем две функции g, h : X → [0, ∞), удовлетворяющие теореме Радона–Никодима для ν⁺ и ν⁻ соответственно, причём по крайней мере одна из них является μ-интегрируемой (то есть её интеграл по μ конечен). Тогда ясно, что 1 = f = g − h удовлетворяет требуемым свойствам, включая единственность, поскольку обе функции g и h определены с точностью до равенства почти всюду по μ. Если ν – комплексная мера, то она может быть разложена как 1 = ν = ν₁ + iν₂, где обе меры ν₁ и ν₂ являются знакопеременными и конечнозначными. Применяя вышеприведённый аргумент, получаем две функции g, h : X → [0, ∞), удовлетворяющие требуемым свойствам для ν₁ и ν₂ соответственно. Очевидно, что 1 = f = g + ih является требуемой функцией.

Теорема о разложении Лебежа

Теорема о разложении Лебега показывает, что предположения теоремы Радона — Никодима могут быть выполнены даже в ситуации, которая на первый взгляд кажется более общей. Рассмотрим σ-конечное положительное измерение на пространстве мер и σ-конечное знакопеременное измерение на , не предполагая абсолютной непрерывности. Тогда существуют единственные знакопеременные меры и на такие, что , , и к паре можно применить теорему Радона — Никодима.