Лан-Эмден теңдеуі: Астрофизикадағы гравитациялық потенциал, тығыздық, қысым арақатынасын сипаттайтын маңызды теңдеу. Политрөптер мен гидростатикалық тепе-теңдік.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Өлшемі жоқ астрофизика теңдеуі
Dimensionless astrophysics equation
Астрофизикада Лэйн-Эмден теңдеуі – Ньютондық өзін-өзі гравитациялық тартымға ұшыратып, сфералық симметриялы, политропты сұйықтың гравитациялық потенциалы үшін Пуассон теңдеуінің өлшемсіз түрі. Ол астрофизиктер Джонатан Гомер Лейн және Роберт Эмденнің құрметіне аталған. Теңдеу былай жазылады:
In astrophysics, the Lane–Emden equation is a dimensionless form of Poisson's equation for the gravitational potential of a Newtonian self gravitating, spherically symmetric, polytropic fluid. It is named after astrophysicists Jonathan Homer Lane and Robert Emden. The equation reads
мұндағы – өлшемсіз радиус, ал – тығыздыққа және, демек, қысымға байланысты, орталық тығыздық үшін. Индекс – политроптық күй теңдеуінде кездесетін политроптық индекс,
where is a dimensionless radius and is related to the density, and thus the pressure, by for central density The index is the polytropic index that appears in the polytropic equation of state,
мұндағы және сәйкесінше қысым мен тығыздық, ал – пропорционалдық тұрақтысы. Стандартты шекаралық шарттары – және . Осылайша алынған шешімдер қысым мен тығыздықтың радиусқа қарай өзгеруін сипаттайды және олар индекс бойынша политроптар деп аталады. Егер политропты сұйықтың орнына изотермиялық сұйықтық (политроптық индекс шексіздікке ұмтылады) қолданылса, Эмден-Чандрасекар теңдеуіне жетеді.
where and are the pressure and density, respectively, and is a constant of proportionality. The standard boundary conditions are and Solutions thus describe the run of pressure and density with radius and are known as polytropes of index If an isothermal fluid (polytropic index tends to infinity) is used instead of a polytropic fluid, one obtains the Emden–Chandrasekhar equation.
Қолданбалар
Физикалық тұрғыдан алғанда, гидростатикалық тепе-теңдік потенциал градиентімен, тығыздықпен және қысым градиентімен байланыстырады, ал Пуассон теңдеуі потенциалды тығыздықпен байланыстырады. Сондықтан, егер бізде қысым мен тығыздықтың бір-біріне қатысты өзгеруін анықтайтын қосымша теңдеу болса, онда шешім табуға болады. Жоғарыда көрсетілгендей политроптық газды таңдау мәселенің математикалық тұжырымын ерекше айқын және қысқа етіп береді және Лейн-Эмден теңдеуіне алып келеді. Бұл теңдеу жұлдыздар сияқты плазманың өзін-өзі гравитациялық тартымға ұшыратушы шарлары үшін пайдалы жуықтама болып табылады, бірақ көбінесе бұл өте шектеулі шарт.
Physically, hydrostatic equilibrium connects the gradient of the potential, the density, and the gradient of the pressure, whereas Poisson's equation connects the potential with the density. Thus, if we have a further equation that dictates how the pressure and density vary with respect to one another, we can reach a solution. The particular choice of a polytropic gas as given above makes the mathematical statement of the problem particularly succinct and leads to the Lane–Emden equation. The equation is a useful approximation for self gravitating spheres of plasma such as stars, but typically it is a rather limiting assumption.
Шриваставаның шешімі
1962 жылы Самбунат Шривастава нақты шешім тапты. Оның шешімі былай берілген:
In 1962, Sambhunath Srivastava found an explicit solution when His solution is given by
және осы шешімнен гомологиялық түрлендіруді пайдаланып, шешімдер отбасын алуға болады. Бұл шешім нөлдік нүктедегі шарттарды қанағаттандырмайды (іс жүзінде, нөлдік нүктеге жақындаған сайын амплитудасы шексіз өсетін тербелісті шешім болып табылады), сондықтан бұл шешімді құрама жұлдыздық модельдерде қолдануға болады.
and from this solution, a family of solutions can be obtained using homology transformation. Since this solution does not satisfy the conditions at the origin (in fact, it is oscillatory with amplitudes growing indefinitely as the origin is approached), this solution can be used in composite stellar models.
Талдаулық ерітінділер
Қолданбаларда негізгі рөлді бастапқы нүктеге қарай кеңейтілген, конвергентті қуат қатарлары арқылы өрнектелетін талдамалық шешімдер атқарады. Әдетте, кеңейту нүктесі – , ол теңдеудің жеке нүктесі (тұрақты жекелік) болып табылады және жұлдыздың ортасында белгілі бір бастапқы деректер беріледі. Теңдеудің шығу тегі маңында конвергентті қуат қатары/талдамалық шешімге ие екенін дәлелдеуге болады:
In applications, the main role play analytic solutions that are expressible by the convergent power series expanded around some initial point. Typically the expansion point is , which is also a singular point (fixed singularity) of the equation, and there is provided some initial data at the centre of the star. One can prove that the equation has the convergent power series/analytic solution around the origin of the form
Бұл қатардың конвергенция радиусы кешенді жазықтықтағы жолғану осінде екі жекелік болуына байланысты шектеледі. Бұл жекеліктер шығу тегіне қатысты симметриялы түрде орналасқан. Олардың орны теңдеу параметрлерін және бастапқы шартты өзгерту кезінде өзгереді, сондықтан олар Поль Пэйнлеве жіктемесі бойынша сызықты емес дифференциалдық теңдеулердің жекеліктеріне байланысты жылжымалы жекеліктер деп аталады. Мұндай жекеліктердің ұқсас құрылымы сфералық симметриядағы Лаплас операторын кеміту нәтижесінде туындайтын басқа да сызықты емес теңдеулерде де кездеседі, мысалы, Изотермалық сфера теңдеуінде. Мұнда – өлшемсіз масса ретінде қарастырылады, ол арқылы анықталады. Тиісті бастапқы шарттар – және болып табылады. Бірінші теңдеу гидростатикалық тепе-теңдікті, ал екіншісі массаның сақталуын көрсетеді.
The radius of convergence of this series is limited due to existence of two singularities on the imaginary axis in the complex plane. These singularities are located symmetrically with respect to the origin. Their position change when we change equation parameters and the initial condition , and therefore, they are called movable singularities due to classification of the singularities of non linear ordinary differential equations in the complex plane by Paul Painlevé. A similar structure of singularities appears in other non linear equations that result from the reduction of the Laplace operator in spherical symmetry, e. g., Isothermal Sphere equation. Here, is interpreted as the dimensionless mass, defined by The relevant initial conditions are and The first equation represents hydrostatic equilibrium and the second represents mass conservation.