Введение

Безразмерное астрофизическое уравнение

В астрофизике уравнение Лэйна — Эмдена представляет собой безразмерную форму уравнения Пуассона для гравитационного потенциала ньютоновской самогравитирующей, сферически симметричной политропной жидкости. Оно названо в честь астрофизиков Джонатана Гомера Лейна и Роберта Эмдена. Уравнение имеет вид

где — безразмерный радиус, а связано с плотностью, а следовательно, и с давлением, соотношением при центральной плотности . Индекс — политропный индекс, который входит в политропное уравнение состояния:

где и — давление и плотность соответственно, а — константа пропорциональности. Стандартные граничные условия — и . Решения описывают изменение давления и плотности в зависимости от радиуса и называются политропами индекса . Если вместо политропной жидкости используется изотермическая жидкость (политропный индекс стремится к бесконечности), то получается уравнение Эмдена — Чандрасекара.

Приложения

Физически, гидростатическое равновесие связывает градиент потенциала, плотность и градиент давления, а уравнение Пуассона связывает потенциал с плотностью. Таким образом, если у нас есть дополнительное уравнение, определяющее зависимость между давлением и плотностью, мы можем найти решение. Конкретный выбор политропного газа, как описано выше, делает математическую формулировку задачи особенно краткой и приводит к уравнению Лэйна — Эмдена. Это уравнение является полезным приближением для самогравитирующих сфер плазмы, таких как звезды, но обычно представляет собой довольно сильное ограничение.

Решение Шривастава

В 1962 году Самбунат Шривастава нашел явное решение, которое задается выражением

и из этого решения можно получить семейство решений, используя гомологическое преобразование. Поскольку это решение не удовлетворяет условиям в начале координат (фактически, оно осциллирует с неограниченно возрастающими амплитудами при приближении к началу координат), оно может быть использовано в составных звёздных моделях.

Аналитические растворы

В приложениях основную роль играют аналитические решения, которые можно представить в виде сходящихся степенных рядов, разложенных вокруг некоторой начальной точки. Обычно эта точка разложения – , которая также является сингулярной точкой (фиксированной сингулярностью) уравнения, и в центре звезды задаются некоторые начальные данные . Можно доказать, что уравнение имеет сходящийся степенной ряд/аналитическое решение в окрестности начала координат вида

Радиус сходимости этого ряда ограничен из-за существования двух сингулярностей на мнимой оси в комплексной плоскости. Эти сингулярности расположены симметрично относительно начала координат. Их положение меняется при изменении параметров уравнения и начального условия , поэтому они называются подвижными сингулярностями согласно классификации сингулярностей нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений в комплексной плоскости, предложенной Полем Пайнлеве. Аналогичная структура сингулярностей возникает и в других нелинейных уравнениях, получаемых при редукции оператора Лапласа в сферической симметрии, например, в уравнении изотермической сферы. Здесь интерпретируется как безразмерная масса, определяемая начальными условиями и . Первое уравнение описывает гидростатическое равновесие, а второе – закон сохранения массы.