Кіріспе
Математикада, жиынтықтар теориясында, құрастырылатын әлем (немесе Гёдельдің құрастырылатын әлемі), – бұл қарапайым жиынтықтармен толық сипатталатын жиынтықтардың ерекше класы. Бұл конструктивті иерархияның біріндісі. Оны Курт Гёдель 1938 жылғы «Таңдау аксиомасының және жалпыланған континуум гипотезасының тұрақтылығы» атты мақаласында енгізді. Осы мақалада ол құрастырылатын әлемнің ZF жиынтықтар теориясының ішкі моделі екенін (яғни, таңдау аксиомасы жоқ Жермело-Франкель жиынтықтар теориясының ішкі моделі екенін) және таңдау аксиомасы мен жалпыланған континуум гипотезасы құрастырылатын әлемде дұрыс екенін дәлелдеді. Бұл екі мәлімдеме де жиынтықтар теориясының негізгі аксиомаларымен үйлесімді екенін көрсетеді, егер ZF өзі тұрақталған болса. Көптеген басқа теоремалар тек осы екі мәлімдемеден біреуі немесе екеуі де дұрыс болатын жүйелерде ғана орындалатындықтан, олардың тұрақталғандығы маңызды нәтиже болып табылады.
In mathematics, in set theory, the constructible universe (or Gödel's constructible universe), denoted by , is a particular class of sets that can be described entirely in terms of simpler sets. is the union of the constructible hierarchy It was introduced by Kurt Gödel in his 1938 paper "The Consistency of the Axiom of Choice and of the Generalized Continuum Hypothesis". In this paper, he proved that the constructible universe is an inner model of ZF set theory (that is, of Zermelo–Fraenkel set theory with the axiom of choice excluded), and also that the axiom of choice and the generalized continuum hypothesis are true in the constructible universe. This shows that both propositions are consistent with the basic axioms of set theory, if ZF itself is consistent. Since many other theorems only hold in systems in which one or both of the propositions is true, their consistency is an important result.
L - ZFC стандартты ішкі моделі
стандартты модель, яғни транзитивті класс және интерпретация нақты элемент қатынасын қолданады, сондықтан ол жақсы негізделген. ішкі модель, яғни ол -тің барлық ординал сандарын қамтиды және -тегі жиындардан басқа "қосымша" жиындары жоқ. Дегенмен, бұл ZFC моделі, яғни келесі аксиомаларды қанағаттандырады:
Регулярлық аксиомасы: Кез келген бос емес жиын элементі бар, мұндағы және қиылыспайтын жиындар. Атап айтқанда, егер , онда , өйткені біз сол элемент қатынасын қолданамыз және жаңа жиындар қосылмаған.
Экстенсионалдылық аксиомасы: Екі жиын бірдей элементтерге ие болса, олар бірдей болады. Егер және -тегі жиындар болса және олардың -тегі элементтері бірдей болса, онда -тің транзитивтілігі бойынша, олардың элементтері бірдей ( -те). Демек, олар тең (-те және осылайша -те).
Бос жиын аксиомасы: {} – жиын. , ол -те. Элемент қатынасы бірдей болғандықтан және жаңа элементтер қосылмағандықтан, бұл -тің бос жиыны.
Жұптастыру аксиомасы: Егер және жиындар болса, онда жиын. Егер және , онда қандай да бір ординал бар, мұндағы және содан кейін . Осылайша, және ол - үшін де, үшін де бірдей мағынаға ие.
Біріктіру аксиомасы: Кез келген жиын үшін жиын бар, оның элементтері элементтерінің элементтерімен дәл сәйкес келеді. Егер , онда оның элементтері -те, ал олардың элементтері де -те. Демек, -тің кіші жиыны. Осылайша, .
Шексіздік аксиомасы: жиын бар, мұндағы -те және кез келген -те болса, онда олардың біріктірілісі де -те болады. Трансфиниттік индукцияны әрбір ординал -те екенін көрсету үшін қолдануға болады. Атап айтқанда, және осылайша .
Бөлу аксиомасы: Кез келген жиын және кез келген қасиет берілгенде, жиын бар. -тің субформулалары бойынша индукция қолданып, -ті қамтитын бар екенін көрсетуге болады және ( егерде және тек егерде болса ғана тура болса) , соңғысы "көрініс принципі" деп аталады). Демек, = . Осылайша, кіші жиын -те.
Алмастыру аксиомасы: Кез келген жиын және кез келген бейнелеу (формальды түрде және көрсетілгенде тура болатын қасиет ретінде анықталған) берілгенде, жиын болады. формуласын -ке қатысты қарастырайық, яғни -тегі барлық кванторлар -мен шектеледі. Бұл формуласынан әлдеқайда күрделі, бірақ ол әлі де шекті формула және -тің бейнелеуі болғандықтан, -тің бейнелеуі болуы керек; осылайша біз -те алмастыруды қолдана аламыз. Сондықтан = -і жиыны және -тің кіші классы. Тағы да , алмастыру аксиомасын қолдана отырып, бұл жиынның кіші жиыны болуы керек екенін көрсетуге болады. Содан кейін, ол элементі екенін көрсету үшін бөлу аксиомасын қолдануға болады.
Күшті жиын аксиомасы: Кез келген жиын үшін жиын бар, мұндағы элементтері кіші жиынтарымен дәл сәйкес келеді. Жалпы, жиынының кейбір кіші жиынтары -те болмайды. Сондықтан, -тің күшті жиынының толық жиыны әдетте -те болмайды. Бізге қажеттісі – күшті жиынның -мен қиылысының -те екенін көрсету. -те алмастыруды қолданып, қиылыс кіші жиыны болатын α бар екенін көрсетуге болады. Содан кейін қиылыс . Осылайша, қажетті жиын -те.
Таңдау аксиомасы: Өзара қиылыспайтын бос емес жиындар жиыны берілгенде, жиын бар ( - үшін таңдау жиыны), оның әрбір мүшесінен дәл бір элементті қамтиды. -тің анықтамалары бойынша және рангі бойынша реттелгенде, -тің анықталатын жақсы реттелуін көрсетуге болады. Осылайша, -тің әрбір мүшесінен ең кіші элементті таңдап, одан жиынын құруға болады.
Ескеріңіз, -тің ZFC моделі екенін дәлелдеу үшін -тің ZF моделі болуы жеткілікті, яғни -те таңдау аксиомасы орындалады деп есептемейміз.
Axiom of regularity: Every non empty set contains some element such that and are disjoint sets. is a substructure of , which is well founded, so is well founded. In particular, if , then by the transitivity of , If we use this same as in , then it is still disjoint from because we are using the same element relation and no new sets were added. Axiom of extensionality: Two sets are the same if they have the same elements. If and are in and they have the same elements in , then by 's transitivity, they have the same elements (in ). So they are equal (in and thus in ). Axiom of empty set: {} is a set. , which is in So Since the element relation is the same and no new elements were added, this is the empty set of Axiom of pairing: If , are sets, then is a set. If and , then there is some ordinal such that and Then Thus and it has the same meaning for as for Axiom of union: For any set there is a set whose elements are precisely the elements of the elements of If , then its elements are in and their elements are also in So is a subset of Then Thus Axiom of infinity: There exists a set such that is in and whenever is in , so is the union Transfinite induction can be used to show each ordinal is in In particular, and thus Axiom of separation: Given any set and any proposition , is a set. By induction on subformulas of , one can show that there is an such that contains and and ( is true in if and only if is true in ), the latter is called the "reflection principle"). So = Thus the subset is in Axiom of replacement: Given any set and any mapping (formally defined as a proposition where and implies ), is a set. Let be the formula that relativizes to , i. e. all quantifiers in are restricted to is a much more complex formula than , but it is still a finite formula, and since was a mapping over , must be a mapping over ; thus we can apply replacement in to So = is a set in and a subclass of Again using the axiom of replacement in , we can show that there must be an such that this set is a subset of Then one can use the axiom of separation in to finish showing that it is an element of
Axiom of power set: For any set there exists a set , such that the elements of are precisely the subsets of In general, some subsets of a set in will not be in So the whole power set of a set in will usually not be in What we need here is to show that the intersection of the power set with is in Use replacement in to show that there is an α such that the intersection is a subset of Then the intersection is Thus the required set is in Axiom of choice: Given a set of mutually disjoint nonempty sets, there is a set (a choice set for ) containing exactly one element from each member of One can show that there is a definable well ordering of , in particular based on ordering all sets in by their definitions and by the rank they appear at. So one chooses the least element of each member of to form using the axioms of union and separation in
Notice that the proof that is a model of ZFC only requires that be a model of ZF, i. e. we do not assume that the axiom of choice holds in .
L абсолютті және минималды
Егер ZF-нің кез келген стандартты моделі , онда онда анықталған , онда анықталған сияқты , және , кез келген ординал үшін және сол формулалар мен параметрлер , сондай-ақ , барлық ординалдарды қамтитын ең кіші сынып болып табылады. Шындығында, бұл барлық осындай сыныптардың қиылысы. Егер ZF-нің стандартты моделі болып табылатын жиын болса, онда ординал - бұл жиын ішінде кездесетін ординалдар жиынтығы. Егер ZF-нің стандартты моделі болып табылатын жиын болса, онда ең кіші жиын осындай болады. Бұл жиын ZFC-нің минималды моделі деп аталады. Төменге қарай Ловенхайм-Сколем теоремасын пайдаланып, ең аз модель (егер ол бар болса) саналатын жиын екенін көрсетуге болады. Әрине, кез келген дәйекті теорияда модель болуы керек, сондықтан жинақ теориясының минималды моделі ішінде ZF-ның модельдері болып табылатын жинақтар бар (ZF дәйекті деп есептей отырып). Алайда, бұл жиынтық модельдер стандартты емес. Атап айтқанда, олар қалыпты элемент қатынасын қолданбайды және жақсы негізделмеген. Өйткені " ішінде құралған " және " ішінде құралған " екеуі де нақты нәтиже береді , ал " және " екеуі де нақты , сондықтан бұл ZF моделіне сәйкес келеді және кез келген ZF моделіне сәйкес келеді. Алайда, ZF-тің басқа стандартты моделінде бұл сәйкес келмейді.
Furthermore, since is a subclass of and, similarly, is a subclass of , is the smallest class containing all the ordinals that is a standard model of ZF. Indeed, is the intersection of all such classes. If there is a set in that is a standard model of ZF, and the ordinal is the set of ordinals that occur in , then is the of If there is a set that is a standard model of ZF, then the smallest such set is such a This set is called the minimal model of ZFC. Using the downward Löwenheim–Skolem theorem, one can show that the minimal model (if it exists) is a countable set. Of course, any consistent theory must have a model, so even within the minimal model of set theory there are sets that are models of ZF (assuming ZF is consistent). However, those set models are non standard. In particular, they do not use the normal element relation and they are not well founded. Because both " constructed within " and " constructed within " result in the real , and both the of and the of are the real , we get that is true in and in any that is a model of ZF. However, does not hold in any other standard model of ZF.
L және ірі кардиналдар
Ординалдардың, функцияның немесе басқа құрылымның (яғни формулалардың) болмауына байланысты қасиеттері төмендегенде сақталады. Сондықтан кардиналдардың бастапқы ординалдары тұрақты ординалдарда бастапқы болып қалады. Тұрақты ординалдар тұрақты болып қалады. Әлсіз шекті кардиналдар күшті шекті кардиналдарға айналады, себебі жалпыланған континуум гипотезасы орындалады. Әлсіз қолжетімсіз кардиналдар күшті қолжетімсіз кардиналдарға айналады. Әлсіз Мало кардиналдары күшті Мало кардиналдарына айналады. Және жалпы алғанда, 0-ден әлсіз кез келген үлкен кардиналдық қасиет сақталады.
However, is false in even if true in So all the large cardinals whose existence implies cease to have those large cardinal properties, but retain the properties weaker than which they also possess. For example, measurable cardinals cease to be measurable but remain Mahlo in
If holds in , then there is a closed unbounded class of ordinals that are indiscernible in While some of these are not even initial ordinals in , they have all the large cardinal properties weaker than in Furthermore, any strictly increasing class function from the class of indiscernibles to itself can be extended in a unique way to an elementary embedding of into This gives a nice structure of repeating segments.
Дегенмен, тіпті болса да, жалған. Сондықтан, тіршілікке жататын барлық үлкен кардиналдар осы үлкен кардиналдық қасиеттерінен айырылады, бірақ оларға тән әлсіз қасиеттерін сақтайды. Мысалы, өлшенетін кардиналдар өлшенетін болып қалудан бас тартады, бірақ Малода қалады.
However, is false in even if true in So all the large cardinals whose existence implies cease to have those large cardinal properties, but retain the properties weaker than which they also possess. For example, measurable cardinals cease to be measurable but remain Mahlo in
If holds in , then there is a closed unbounded class of ordinals that are indiscernible in While some of these are not even initial ordinals in , they have all the large cardinal properties weaker than in Furthermore, any strictly increasing class function from the class of indiscernibles to itself can be extended in a unique way to an elementary embedding of into This gives a nice structure of repeating segments.
Егер онда, бөлінбейтін ординалдардың жабық шексіз класы бар, олар ішінде ажыратылмайды. Олардың кейбіреулері тіпті бастапқы ординалдар болмаса да, олардың барлық үлкен кардиналдық қасиеттері әлсіз. Бұдан әрі, ажыратылмайтын кластан өзіне дейінгі кез келген қатаң өсу кластық функцияны бірегей жолмен кеңейтуге болады, осылайша оны кіріктіруге болады. Бұл қайталанатын сегменттердің жақсы құрылымын қамтамасыз етеді.
However, is false in even if true in So all the large cardinals whose existence implies cease to have those large cardinal properties, but retain the properties weaker than which they also possess. For example, measurable cardinals cease to be measurable but remain Mahlo in
If holds in , then there is a closed unbounded class of ordinals that are indiscernible in While some of these are not even initial ordinals in , they have all the large cardinal properties weaker than in Furthermore, any strictly increasing class function from the class of indiscernibles to itself can be extended in a unique way to an elementary embedding of into This gives a nice structure of repeating segments.
L жақсы реттелген болуы мүмкін
Жақсы ретке келтірудің әртүрлі жолдары бар. Олардың кейбіреулері Рональд Бьорн Дженсеннің 1972 жылғы «Құрастырылатын иерархияның нақты құрылымы» деген мақаласында алғаш сипатталған «нақты құрылымды» қамтиды. Біз осы нақты құрылымды түсіндірмейміз, оның орнына жоғарыда берілген анықтаманы ғана қолдана отырып, қалай жақсы реттелгенін көрсетеміз. Егер және екі түрлі жиын болса және біз анықтағымыз келсе немесе болса, егер бірінші болып жиындықта пайда болса және бірінші болып жиындықта пайда болса және егер екі жиын да бір-бірінен өзгеше болса, онда < егер және тек егер болса. Бұдан әрі, біз кезеңде жиындарды анықтау үшін параметрлері бар формулаларды қолданамыз. Егер параметрлерді (сәтсіздікке ұшырамай) ескермесек, онда формулаларға табиғи сандар бойынша стандартты Гедель нөмірлеуін беруге болады. Егер анықтауға болатын ең кіші Гедель саны бар формула болса, және анықтауға болатын ең кіші Гедель саны бар формула болса, және егер екі жиын да бір-бірінен өзгеше болса, онда Гедель нөмірлеуінде < егер және тек егер болса. Бұдан әрі, біз кезеңде параметрлерді қолданады деп есептейміз, және сол сияқты , және тек қана немесе (және) немесе (және) және т.б. Бұл кері лексикографиялық рет деп аталады; егер жиынның біреуін анықтайтын бірнеше параметрлер тізбегі болса, біз осы рет бойынша ең кішісін таңдаймыз. Параметрлердің әрқайсысының мүмкін болатын мәндері жиындықтың ретіне шектеу қойылғандағы ретке сәйкес реттеледі, сондықтан бұл анықтамада трансфиниттік рекурсия қолданылады.
The stage uses formulas with parameters from to define the sets and If one discounts (for the moment) the parameters, the formulas can be given a standard Gödel numbering by the natural numbers. If is the formula with the smallest Gödel number that can be used to define , and is the formula with the smallest Gödel number that can be used to define , and is different from , then let < if and only if in the Gödel numbering. Henceforth, we suppose that
Suppose that uses parameters from Suppose is the sequence of parameters that can be used with to define , and does the same for Then let if and only if either or ( and ) or ( and and ), etc. This is called the reverse lexicographic ordering; if there are multiple sequences of parameters that define one of the sets, we choose the least one under this ordering. It being understood that each parameter's possible values are ordered according to the restriction of the ordering of to , so this definition involves transfinite recursion on
The well ordering of the values of single parameters is provided by the inductive hypothesis of the transfinite induction. The values of tuples of parameters are well ordered by the product ordering. The formulas with parameters are well ordered by the ordered sum (by Gödel numbers) of well orderings. And is well ordered by the ordered sum (indexed by ) of the orderings on
Notice that this well ordering can be defined within itself by a formula of set theory with no parameters, only the free variables and And this formula gives the same truth value regardless of whether it is evaluated in , , or (some other standard model of ZF with the same ordinals) and we will suppose that the formula is false if either or is not in
It is well known that the axiom of choice is equivalent to the ability to well order every set. Being able to well order the proper class (as we have done here with ) is equivalent to the axiom of global choice, which is more powerful than the ordinary axiom of choice because it also covers proper classes of non empty sets.
Жеке параметрлердің мәндерін жақсы реттеу трансфиниттік индукцияның индуктивтік гипотезасымен қамтамасыз етіледі. Параметрлердің жұптарын жақсы реттеу өнім ретімен жақсы реттеледі. Параметрлері бар формулалар Гедель сандары бойынша жақсы реттелген сомамен жақсы реттеледі. Ал жиындықтың жақсы реті – жиындықтың реті бойынша жақсы реттелген сомамен (индекстелген) жақсы реттеледі.
The stage uses formulas with parameters from to define the sets and If one discounts (for the moment) the parameters, the formulas can be given a standard Gödel numbering by the natural numbers. If is the formula with the smallest Gödel number that can be used to define , and is the formula with the smallest Gödel number that can be used to define , and is different from , then let < if and only if in the Gödel numbering. Henceforth, we suppose that
Suppose that uses parameters from Suppose is the sequence of parameters that can be used with to define , and does the same for Then let if and only if either or ( and ) or ( and and ), etc. This is called the reverse lexicographic ordering; if there are multiple sequences of parameters that define one of the sets, we choose the least one under this ordering. It being understood that each parameter's possible values are ordered according to the restriction of the ordering of to , so this definition involves transfinite recursion on
The well ordering of the values of single parameters is provided by the inductive hypothesis of the transfinite induction. The values of tuples of parameters are well ordered by the product ordering. The formulas with parameters are well ordered by the ordered sum (by Gödel numbers) of well orderings. And is well ordered by the ordered sum (indexed by ) of the orderings on
Notice that this well ordering can be defined within itself by a formula of set theory with no parameters, only the free variables and And this formula gives the same truth value regardless of whether it is evaluated in , , or (some other standard model of ZF with the same ordinals) and we will suppose that the formula is false if either or is not in
It is well known that the axiom of choice is equivalent to the ability to well order every set. Being able to well order the proper class (as we have done here with ) is equivalent to the axiom of global choice, which is more powerful than the ordinary axiom of choice because it also covers proper classes of non empty sets.
Бұл жақсы реттеуді өзімен-өзінде, параметрлері жоқ, тек еркін айнымалылары және жиындар теориясының формуласы арқылы анықтауға болады. Бұл формула бағаланған кезде, немесе (ZF-тің басқа стандартты моделінде, бірдей ординалдармен) бірдей мәнді береді және егер немесе жиындықта болмаса, онда формула жалған деп есептейміз.
The stage uses formulas with parameters from to define the sets and If one discounts (for the moment) the parameters, the formulas can be given a standard Gödel numbering by the natural numbers. If is the formula with the smallest Gödel number that can be used to define , and is the formula with the smallest Gödel number that can be used to define , and is different from , then let < if and only if in the Gödel numbering. Henceforth, we suppose that
Suppose that uses parameters from Suppose is the sequence of parameters that can be used with to define , and does the same for Then let if and only if either or ( and ) or ( and and ), etc. This is called the reverse lexicographic ordering; if there are multiple sequences of parameters that define one of the sets, we choose the least one under this ordering. It being understood that each parameter's possible values are ordered according to the restriction of the ordering of to , so this definition involves transfinite recursion on
The well ordering of the values of single parameters is provided by the inductive hypothesis of the transfinite induction. The values of tuples of parameters are well ordered by the product ordering. The formulas with parameters are well ordered by the ordered sum (by Gödel numbers) of well orderings. And is well ordered by the ordered sum (indexed by ) of the orderings on
Notice that this well ordering can be defined within itself by a formula of set theory with no parameters, only the free variables and And this formula gives the same truth value regardless of whether it is evaluated in , , or (some other standard model of ZF with the same ordinals) and we will suppose that the formula is false if either or is not in
It is well known that the axiom of choice is equivalent to the ability to well order every set. Being able to well order the proper class (as we have done here with ) is equivalent to the axiom of global choice, which is more powerful than the ordinary axiom of choice because it also covers proper classes of non empty sets.
Таңдау аксиомасының кез келген жиынды жақсы реттеу мүмкіндігіне тең екені белгілі. Өзіндік класты жақсы реттеуге қол жеткізу (біз осы жерде жасағанымыздай) – жалпы таңдау аксиомасына тең, ол әдеттегі таңдау аксиомасынан күштірек, өйткені ол бос емес жиындардың өзіндік кластарын да қамтиды.
The stage uses formulas with parameters from to define the sets and If one discounts (for the moment) the parameters, the formulas can be given a standard Gödel numbering by the natural numbers. If is the formula with the smallest Gödel number that can be used to define , and is the formula with the smallest Gödel number that can be used to define , and is different from , then let < if and only if in the Gödel numbering. Henceforth, we suppose that
Suppose that uses parameters from Suppose is the sequence of parameters that can be used with to define , and does the same for Then let if and only if either or ( and ) or ( and and ), etc. This is called the reverse lexicographic ordering; if there are multiple sequences of parameters that define one of the sets, we choose the least one under this ordering. It being understood that each parameter's possible values are ordered according to the restriction of the ordering of to , so this definition involves transfinite recursion on
The well ordering of the values of single parameters is provided by the inductive hypothesis of the transfinite induction. The values of tuples of parameters are well ordered by the product ordering. The formulas with parameters are well ordered by the ordered sum (by Gödel numbers) of well orderings. And is well ordered by the ordered sum (indexed by ) of the orderings on
Notice that this well ordering can be defined within itself by a formula of set theory with no parameters, only the free variables and And this formula gives the same truth value regardless of whether it is evaluated in , , or (some other standard model of ZF with the same ordinals) and we will suppose that the formula is false if either or is not in
It is well known that the axiom of choice is equivalent to the ability to well order every set. Being able to well order the proper class (as we have done here with ) is equivalent to the axiom of global choice, which is more powerful than the ordinary axiom of choice because it also covers proper classes of non empty sets.
шағылысу принципі бар
Бөлу аксиомасының, ауыстыру аксиомасының және таңдау аксиомасының орындалатынын дәлелдеу үшін (кем дегенде жоғарыда көрсетілгендей) бейнелеу принципін пайдалану қажет. Мұнда біз мұндай принципті сипаттаймыз. Индукция арқылы кез келген ординал үшін ZF жүйесін қолдана отырып, кез келген ординал үшін, ординалы бар екенін дәлелдейміз, осылайша кез келген сөйлем үшін, егер ішіндегі және символдан кем символдар (элементі үшін тұрақты символ бір символ ретінде саналады) болса, онда ішінде дұрыс болса және тек сонда ғана ішінде дұрыс болады.
Жалпыланған континуум гипотезасы L-де орындалады
Егер , және кез келген құрастырылатын жиын болса, онда осындай бар, сонда , кейбір формула үшін және кейбір элементтер үшін . Төменгі Löwenheim–Skolem теоремасы және Мостовский құлдырауы бойынша, осындай транзитивті жиын болуы керек, ол кіріктіріп, және бірдей бірінші реттік теорияға ие, онда -ты -мен алмастырғанда; және бұл жиынның кардиналы -қа тең болады. Егер -ның ішінде дұрыс болса, онда -ның ішінде де дұрыс, сондықтан кейбір элементтер үшін бірдей кардиналға ие. Ал , өйткені және бірдей теорияға ие. Демек, шындығында -ның ішінде.
So all the constructible subsets of an infinite set have ranks with (at most) the same cardinal as the rank of ; it follows that if is the initial ordinal for , then serves as the "power set" of within Thus this "power set" And this in turn means that the "power set" of has cardinal at most Assuming itself has cardinal , the "power set" must then have cardinal exactly But this is precisely the generalized continuum hypothesis relativized to .
Осылайша, шексіз жиынның барлық құрастырылатын жиындарының рангілері (ең көп дегенде) -ның рангісімен бірдей кардиналға ие; егер - жиынның бастапқы ординалы болса, онда ол -ның ішіндегі "қуат жиыны" ретінде қызмет етеді. Осылайша, бұл "қуат жиыны", ал бұл өз кезегінде "қуат жиынының" кардиналы ең көп дегенде болады. Егер өзінің кардиналы болса, онда "қуат жиынының" кардиналы дәл болуы керек. Бірақ бұл -қа қатысты жалпыланған континуум гипотезасының өзі.
So all the constructible subsets of an infinite set have ranks with (at most) the same cardinal as the rank of ; it follows that if is the initial ordinal for , then serves as the "power set" of within Thus this "power set" And this in turn means that the "power set" of has cardinal at most Assuming itself has cardinal , the "power set" must then have cardinal exactly But this is precisely the generalized continuum hypothesis relativized to .