Введение

Особый класс множеств, которые могут быть полностью описаны в терминах более простых множеств.

В математике, в теории множеств, конструктивная вселенная (или конструктивная вселенная Гёделя), обозначаемая , представляет собой особый класс множеств, которые могут быть полностью описаны в терминах более простых множеств. является объединением конструктивной иерархии. Она была введена Куртом Гёделем в его статье 1938 года "Согласованность аксиомы выбора и обобщённой гипотезы континуума". В этой статье он доказал, что конструктивная вселенная является внутренней моделью теории множеств ZF (то есть теории множеств Цермело — Френкеля без аксиомы выбора), а также что аксиома выбора и обобщённая гипотеза континуума верны в конструктивной вселенной. Это показывает, что оба утверждения согласуются с основными аксиомами теории множеств, если ZF сама по себе согласована. Поскольку многие другие теоремы справедливы только в системах, в которых одно или оба этих утверждения истинны, их согласованность является важным результатом.

L - стандартная внутренняя модель ZFC

является стандартной моделью, то есть является транзитивным классом, и интерпретация использует отношение элемента, поэтому она хорошо обоснована. является внутренней моделью, то есть содержит все ординалы и не имеет "лишних" множеств, кроме тех, что в Однако может быть строгим подклассом является моделью ZFC, что означает, что она удовлетворяет следующим аксиомам: Аксиома регулярности: Каждое непустое множество содержит элемент, такой, что и являются непересекающимися множествами. является подструктурой, которая хорошо обоснована, следовательно, хорошо обоснована. В частности, если , то по транзитивности , если мы используем то же самое, что и в , то оно все еще не пересекается с , поскольку используется то же отношение элемента и не было добавлено новых множеств. Аксиома экстенсиональности: Два множества равны, если они имеют одни и те же элементы. Если и находятся в и имеют одни и те же элементы в , то по транзитивности они имеют одни и те же элементы (в ). Следовательно, они равны (в и, следовательно, в ). Аксиома пустого множества: {} является множеством. , который находится в . Поскольку отношение элемента остается прежним и не было добавлено новых элементов, это пустое множество в. Аксиома парности: Если и являются множествами, то является множеством. Если и , то существует ординал такой, что и . Тогда . Таким образом, и это имеет то же значение для , что и для . Аксиома объединения: Для любого множества существует множество, элементы которого являются точно элементами элементов . Если , то его элементы находятся в , а их элементы также находятся в . Следовательно, является подмножеством . Тогда . Аксиома бесконечности: Существует множество, такое, что находится в и, когда находится в , то и объединение находится в . Трансфинитная индукция может быть использована для доказательства того, что каждый ординал находится в . В частности, и, следовательно, . Аксиома выделения: Для любого множества и любого утверждения является множеством. По индукции на подформулы можно показать, что существует такое, что содержит и и (истинно в тогда и только тогда, когда истинно в ), последнее называется "принципом отражения"). Таким образом, = . Следовательно, подмножество находится в . Аксиома замены: Для любого множества и любого отображения (формально определенного как утверждение, где и влечет за собой) является множеством. Пусть формула, которая релятивизирует к , то есть все кванторы в ограничены , является гораздо более сложной формулой, чем , но это все равно конечная формула, и поскольку было отображением над , должно быть отображением над ; таким образом, мы можем применить замену в к . Следовательно, = является множеством в и подклассом в. Снова используя аксиому замены в , мы можем показать, что должно существовать такое, что это множество является подмножеством в. Затем можно использовать аксиому выделения в , чтобы завершить доказательство того, что оно является элементом . Аксиома множества степеней: Для любого множества существует множество, такое, что элементы являются точно подмножествами . В общем, некоторые подмножества множества в не будут в , поэтому все множество степеней множества в обычно не будет в . Нам нужно показать, что пересечение множества степеней с находится в . Используйте замену в , чтобы показать, что существует α, такое, что пересечение является подмножеством . Тогда пересечение . Таким образом, требуемое множество находится в . Аксиома выбора: Для заданного множества непересекающихся непустых множеств существует множество (множество выбора для ), содержащее ровно один элемент из каждого члена . Можно показать, что существует определенный хорошо упорядоченный порядок , в частности, основанный на упорядочивании всех множеств в по их определениям и по рангу, в котором они появляются. Таким образом, выбирается наименьший элемент каждого члена для формирования с использованием аксиом объединения и выделения в .

Обратите внимание, что доказательство того, что является моделью ZFC, требует только того, чтобы была моделью ZF, то есть мы не предполагаем, что аксиома выбора выполняется в .

L - абсолютная и минимальная

Если существует какая-либо стандартная модель ZF, разделяющая те же ординалы, что и , то определенное в определяется так же, как определенное в . В частности, совпадает в и , для любого ординала. И одни и те же формулы и параметры в порождают одни и те же конструктивные множества в . Более того, поскольку является подклассом и, аналогично, является подклассом , то является наименьшим классом, содержащим все ординалы и являющимся стандартной моделью ZF. Действительно, является пересечением всех таких классов. Если в существует множество, являющееся стандартной моделью ZF, и ординал – это множество ординалов, встречающихся в , то является относительно . Если существует множество, являющееся стандартной моделью ZF, то наименьшее такое множество является таким. Это множество называется минимальной моделью ZFC. Используя теорему о понижении Лёвенхейма — Сколема, можно показать, что минимальная модель (если она существует) является счетным множеством. Разумеется, любая непротиворечивая теория должна иметь модель, поэтому даже внутри минимальной модели теории множеств существуют множества, являющиеся моделями ZF (при условии, что ZF непротиворечива). Однако эти модельные множества не являются стандартными. В частности, они не используют нормальное отношение принадлежности и не являются вполне упорядоченными. Поскольку и "построенные внутри " и "построенные внутри " приводят к реальному , и и "от " и "от " являются реальными , то истинно в и в любой , являющейся моделью ZF. Однако не выполняется ни в одной другой стандартной модели ZF.

L и большие кардиналы

С , свойства порядковых чисел, зависящие от отсутствия функции или иной структуры (то есть формул), сохраняются при переходе от к . Следовательно, начальные порядковые числа кардиналов остаются начальными в . Регулярные порядковые числа остаются регулярными в . Слабопределённые кардиналы становятся сильнопределёнными кардиналами в , поскольку обобщённая гипотеза континуума выполняется в . Слабо недоступные кардиналы становятся сильно недоступными. Слабые кардиналы Мало становятся сильными кардиналами Мало. И в более общем случае, любое большое кардинальное свойство, более слабое, чем 0 (см. список больших кардинальных свойств), сохраняется в .

Однако, ложно в , даже если истинно в . Таким образом, все большие кардиналы, существование которых влечёт , теряют эти большие кардинальные свойства, но сохраняют более слабые свойства, которыми они также обладают. Например, измеримые кардиналы перестают быть измеримыми, но остаются кардиналами Мало в .

Если выполняется в , то существует замкнутое неограниченное множество порядковых чисел, которые неразличимы в . Хотя некоторые из них даже не являются начальными порядковыми числами в , они обладают всеми большими кардинальными свойствами, более слабыми, чем в . Более того, любая строго возрастающая классовая функция из класса неразличимых в себя может быть единственным образом расширена до элементарного вложения в . Это придаёт приятную структуру повторяющихся сегментов.

Я могу быть хорошо упорядочен

Существуют различные способы хорошо упорядочить некоторые из них включают в себя "тонкую структуру" , которая была впервые описана Рональдом Бьорном Дженсеном в его статье 1972 года под названием "Тонкая структура конструктивной иерархии". Вместо того чтобы объяснять тонкую структуру, мы дадим обзор того, как можно было бы хорошо упорядочить , используя только приведенное выше определение. Предположим, что и представляют собой два различных множества, и мы хотим определить, является ли < или < . Если первым появляется в и первым появляется в и отличается от , то пусть < если и только если . В дальнейшем мы предполагаем, что этап использует формулы с параметрами из для определения множеств и . Если один не принимает во внимание (на данный момент) параметры, формулы могут быть даны стандартной нумерацией Гёделя натуральными числами. Если – формула с наименьшим числом Гёделя, которая может быть использована для определения , а – формула с наименьшим числом Гёделя, которая может быть использована для определения , и отличается от , то пусть < если и только если в нумерации Гёделя. В дальнейшем мы предполагаем, что этап использует параметров из . Пусть – последовательность параметров, которые могут быть использованы с для определения , а делает то же самое для . Тогда пусть < если и только если либо , либо ( и ) , либо ( и и ), и т. д. Это называется обратным лексикографическим упорядочением; если существует несколько последовательностей параметров, которые определяют одно из множеств, мы выбираем наименьшую из них в этом упорядочении. При этом понимается, что возможные значения каждого параметра упорядочены в соответствии с ограничением упорядочения на , поэтому это определение включает трансфинитную рекурсию на .

Хорошо упорядоченность значений отдельных параметров обеспечивается индуктивной гипотезой трансфинитной индукции. Значения кортежей параметров хорошо упорядочены порядком произведения. Формулы с параметрами хорошо упорядочены упорядоченной суммой (по числам Гёделя) хорошо упорядоченных множеств. И хорошо упорядочен упорядоченной суммой (индексированной ) упорядочений на .

Обратите внимание, что это хорошо упорядочение может быть определено внутри самого себя формулой теории множеств без параметров, только со свободными переменными и . И эта формула дает то же самое значение истинности независимо от того, оценивается ли она в , , или (в какой-то другой стандартной модели ZF с теми же ординалами), и мы предположим, что формула ложна, если либо , либо не принадлежит .

Хорошо известно, что аксиома выбора эквивалентна возможности хорошо упорядочить каждое множество. Возможность хорошо упорядочить собственный класс (как мы сделали здесь с ) эквивалентна аксиоме глобального выбора, которая сильнее обычной аксиомы выбора, поскольку она также охватывает собственные классы непустых множеств.

имеет принцип отражения

Доказательство того, что аксиома разделения, аксиома замены и аксиома выбора выполняются в , требует (по крайней мере, как показано выше) использования принципа отражения для . Здесь мы описываем такой принцип. По индукции на , мы можем использовать ZF в , чтобы доказать, что для любого ординала существует ординал , такой что для любого предложения с в и содержащего менее символов (считая постоянный символ для элемента из как один символ) следует, что оно истинно в , если и только если оно истинно в .

Гипотеза обобщенного континуума подтверждается в L

Пусть , и пусть будет любым конструктивным подмножеством Тогда существует такое , что , и , для некоторой формулы и некоторого , взятого из . По нисходящей теореме Лёвенхайма — Сколема и коллапсу Мостовского, должно существовать некоторое транзитивное множество , содержащее и некоторое , обладающее той же теорией первого порядка, что и , при замене в нем на ; и это множество будет иметь тот же кардинал, что и . Поскольку истинно в , оно также истинно в , следовательно, для некоторого , имеющего тот же кардинал, что и . И , поскольку и имеют одну и ту же теорию. Таким образом, на самом деле принадлежит .

Следовательно, все конструктивные подмножества бесконечного множества имеют ранги с (не более) тем же кардиналом, что и ранг ; из этого следует, что если является начальным ординалом для , то оно служит "множеством степеней" для внутри . Таким образом, это "множество степеней". И это, в свою очередь, означает, что "множество степеней" имеет кардинальность не более . Предполагая, что само по себе имеет кардинальность , "множество степеней" должно тогда иметь кардинальность ровно . Но это и есть обобщенная гипотеза континуума, релятивизированная к .