Кіріспе
Берілген топқа қатысты қалыпты кіші топ. Математикада топтың кеңейтілуі – топты белгілі бір қалыпты кіші топ және фактор-топ арқылы сипаттаудың жалпы құралы. Егер G және H екі топ болса, онда G – H-тың кеңейтілуі деп аталады, егер қысқа дәл тізбек болса:
In mathematics, a group extension is a general means of describing a group in terms of a particular normal subgroup and quotient group. If and are two groups, then is an extension of by if there is a short exact sequence
Егер G – H-тың кеңейтілуі болса, онда G – топ, H – G-нің қалыпты кіші тобы және фактор-топ G/H, H-қа изоморфты болады. Топ кеңейтулері кеңейту мәселесі контекстінде туындайды, онда топтар G және H белгілі және G-нің қасиеттерін анықтау керек. Кейбір авторлар «G – H-тың кеңейтілуі» деген тіркес қолданатынын ескеріңіз. Кез келген шекті топта қарапайым фактор-тобымен максималды қалыпты кіші топ болады, сондықтан барлық шекті топтарды шекті қарапайым топтармен кеңейтулер тізбегі ретінде құруға болады. Осы факт шекті қарапайым топтарды жіктеуді аяқтауға ықпал етті. Егер H кіші тобы G-нің ортасында жатса, онда кеңейту орталық кеңейту деп аталады.
Жалпы кеңейтулер
Бір кеңейту, тікелей көбейтінді, бірден көзге көрінеді. Егер және абельдік топтар болуы талап етілсе, онда берілген (абельдік) топ бойынша кеңейтулердің изоморфизм кластары жиыны, іс жүзінде, топ болып табылады, және ол Ext функторымен салыстырылады. Кеңейтулердің тағы бірнеше жалпы кластары белгілі, бірақ барлық мүмкін кеңейтулерді бір уақытта қарастыратын теория жоқ. Топ кеңейтілуі көбінесе қиын мәселе ретінде сипатталады; бұл мәселе кеңейту мәселесі деп аталады. Мысалдар келтірейік: егер , онда -ның және кеңейтілуі болып табылады. Көбірек айтқанда, егер және -ның жартылай тікелей көбейтіндісі болса, жазылатын болса, онда -ның кеңейтілуі болады, сондықтан, шөптеу көбейтіндісі сияқты көбейтінділер кеңейтулердің қосымша мысалдарын ұсынады.
cf. the Ext functor. Several other general classes of extensions are known but no theory exists that treats all the possible extensions at one time. Group extension is usually described as a hard problem; it is termed the extension problem. To consider some examples, if , then is an extension of both and More generally, if is a semidirect product of and , written as , then is an extension of by , so such products as the wreath product provide further examples of extensions.
Ұзарту мәселесі
Қай топтар қандай топтың кеңейтілуі болып табылады деген сұрақ кеңейту проблемасы деп аталады және он тоғызыншы ғасырдың соңынан бері жан-жақты зерттелді. Оның себебіне келетін болсақ, шекті топтың композициялық қатары – бұл әрқайсысы қандай да бір қарапайым топтың кеңейтілуі болатын шекті топтардың тізбегі. Шекті қарапайым топтардың жіктелуі бізге шекті қарапайым топтардың толық тізімін береді; демек, кеңейту проблемасын шешу бізге барлық шекті топтарды құру және жіктеу үшін жеткілікті мәліметтерді ұсынар еді.