Введение
Группа, для которой данная группа является нормальной подгруппой. В математике расширение группы — это общий способ описания группы в терминах конкретной нормальной подгруппы и фактор-группы. Если G и H — две группы, то G является расширением H, если существует точная короткая последовательность:
In mathematics, a group extension is a general means of describing a group in terms of a particular normal subgroup and quotient group. If and are two groups, then is an extension of by if there is a short exact sequence
Если G является расширением H, то G — группа, H — нормальная подгруппа G, а фактор-группа G/H изоморфна H. Групповые расширения возникают в контексте задачи расширения, где группы G и H известны, а свойства расширения G должны быть определены. Следует отметить, что некоторые авторы используют формулировку "G является расширением H". Поскольку любая конечная группа G имеет максимальную нормальную подгруппу N с простой фактор-группой G/N, все конечные группы могут быть построены как последовательность расширений с использованием конечных простых групп. Этот факт послужил мотивацией для завершения классификации конечных простых групп. Расширение называется центральным расширением, если подгруппа H содержится в центре G.
Расширения в целом
Одно из них, прямое произведение, сразу очевидно. Если требуется, чтобы *G* и *H* были абелевыми группами, то множество классов изоморфизма расширений группы *G* по данной (абелевой) группе *H* на самом деле является группой, изоморфной Ext¹(*H*, *G*). Известно несколько других общих классов расширений, но не существует теории, которая рассматривала бы все возможные расширения одновременно. Расширение группы обычно описывается как сложная задача; она называется задачей расширения. В качестве примеров, если *N* является нормальной подгруппой в *G*, то *G* является расширением *N* по *G/N*. Более общо, если *G* является полупрямым произведением *N* и *H*, записываемым как *G = N rtimes H*, то *G* является расширением *N* по *H*, таким образом, продукты вроде венка являются дальнейшими примерами расширений.
cf. the Ext functor. Several other general classes of extensions are known but no theory exists that treats all the possible extensions at one time. Group extension is usually described as a hard problem; it is termed the extension problem. To consider some examples, if , then is an extension of both and More generally, if is a semidirect product of and , written as , then is an extension of by , so such products as the wreath product provide further examples of extensions.
Проблема продления
Вопрос о том, какие группы являются расширениями групп другими группами, называется проблемой расширений и интенсивно изучается с конца девятнадцатого века. Что касается мотивации этого вопроса, рассмотрим, что ряд композиции конечной группы представляет собой конечную последовательность подгрупп, где каждая подгруппа является расширением некоторой группы простой группой. Классификация конечных простых групп предоставляет нам полный список конечных простых групп; таким образом, решение проблемы расширений предоставило бы нам достаточно информации для построения и классификации всех конечных групп в общем случае.