Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Кіріспе
Математикада интегралды геометрия – геометриялық кеңістіктегі, сол кеңістіктің симметрия тобына қатысты инвариантты өлшемдер теориясы. Жақында ғылымдағы мағынасы кеңейіп, бір геометриялық кеңістіктегі функциялар кеңістігінен екінші геометриялық кеңістіктегі функциялар кеңістігіне инвариантты (немесе эквивариантты) түрлендірулерді де қамтиды. Мұндай түрлендірулер көбінесе Радон түрлендіруі және оның обобщениелері сияқты интегралды түрлендірулер түрінде келеді.
In mathematics, integral geometry is the theory of measures on a geometrical space invariant under the symmetry group of that space. In more recent times, the meaning has been broadened to include a view of invariant (or equivariant) transformations from the space of functions on one geometrical space to the space of functions on another geometrical space. Such transformations often take the form of integral transforms such as the Radon transform and its generalizations.
Классикалық контекст
Интегралды геометрияның өзі геометриялық ықтималдық теориясының кейбір тұжырымдарын жетілдіруге жасалған тыраштан туындады. Луис Сантало мен Вильгельм Блашкенің ерте жұмыстары осыған қатысты болды. Бұл Крофтонның классикалық теоремасынан туындайды, ол жазықтық қисығының ұзындығын кездейсоқ түзумен қиылысулар санының математикалық үміті ретінде көрсетеді. Мұнда "кездейсоқ" сөзі дұрыс симметриялық талаптарға сәйкес түсінілуі керек. Түзулердің үлгі кеңістігі бар, онда жазықтықтың аффиндік тобы әрекет етеді. Осы кеңістікте симметрия тобына қатысты инвариантты ықтималдық өлшемі іздестіріледі. Егер, осы жағдай сияқты, біз мұндай бірегей инвариантты өлшемді таба алсақ, онда "кездейсоқ түзу" дегенді нақты тұжырымдау мәселесі шешіледі және математикалық үміттер осы өлшемге қатысты интегралдарға айналады. (Мысалы, "шеңбердің кездейсоқ хордасы" тіркесін кейбір парадокстарды құру үшін қолдануға болады, мысалы, Бертран парадоксы.) Сондықтан интегралды геометрия осы мағынада Клейннің Эрланген бағдарламасы аясында ықтималдық теориясының (Колмогоровпен аксиомаландырылған) қолданылуы деуге болады. Теорияның мазмұны, негізінен, Ли тобының біртекті кеңістіктеріндегі (көбінесе ықшам) инвариантты (тегіс) өлшемдерді және дифференциалдық формалардың интегралдарын есептеуден тұрады. Buffon инесінің мәселесі өте танымал мысал: тақтайшалардан жасалған еденге ине тастап, ине жарыққа тию ықтималдығын есептеу. Жалпылай келгенде, бұл теория геометриялық және инциденттік сұрақтарға қатысты әртүрлі стохастикалық процестерге қолданылады. Стохастикалық геометрияға қараңыз. Интегралды геометрияның осы түріндегі ең қызықты теоремалардың бірі – Евклид кеңістігіндегі Хадвигер теоремасы. Кейіннен Хадвигер сияқты теоремалар әртүрлі жағдайларда, әсіресе гермиттік геометрияда, бағалау теориясының жетілдірілген құралдарын пайдалана отырып, дәлелденді. Интегралды геометрияның қазіргі мағынасы Сигурдюр Хельгасон мен Израиль Гельфандқа қатысты. Ол, әсіресе, Радон түрленуіне негізделген интегралды түрленулермен айналысады. Мұнда негізгі геометриялық инциденттік қатынас (Крофтон жағдайында түзулерде жатқан нүктелер) еркін жарықта қарастырылады, өйткені интегралды түрлену инциденттік графқа кері проекция ретінде және содан кейін алға жылжу ретінде құрастырылады.
Integral geometry as such first emerged as an attempt to refine certain statements of geometric probability theory. The early work of Luis Santaló and Wilhelm Blaschke was in this connection. It follows from the classic theorem of Crofton expressing the length of a plane curve as an expectation of the number of intersections with a random line. Here the word 'random' must be interpreted as subject to correct symmetry considerations. There is a sample space of lines, one on which the affine group of the plane acts. A probability measure is sought on this space, invariant under the symmetry group. If, as in this case, we can find a unique such invariant measure, then that solves the problem of formulating accurately what 'random line' means and expectations become integrals with respect to that measure. (Note for example that the phrase 'random chord of a circle' can be used to construct some paradoxes—for example Bertrand's paradox.) We can therefore say that integral geometry in this sense is the application of probability theory (as axiomatized by Kolmogorov) in the context of the Erlangen programme of Klein. The content of the theory is effectively that of invariant (smooth) measures on (preferably compact) homogeneous spaces of Lie groups; and the evaluation of integrals of the differential forms. A very celebrated case is the problem of Buffon's needle: drop a needle on a floor made of planks and calculate the probability the needle lies across a crack. Generalising, this theory is applied to various stochastic processes concerned with geometric and incidence questions. See stochastic geometry. One of the most interesting theorems in this form of integral geometry is Hadwiger's theorem in the Euclidean setting. Subsequently Hadwiger type theorems were established in various settings, notably in hermitian geometry, using advanced tools from valuation theory. The more recent meaning of integral geometry is that of Sigurdur Helgason and Israel Gelfand. It deals more specifically with integral transforms, modeled on the Radon transform. Here the underlying geometrical incidence relation (points lying on lines, in Crofton's case) is seen in a freer light, as the site for an integral transform composed as pullback onto the incidence graph and then push forward.