Интегральная геометрия: теория инвариантных мер и интегральных преобразований.
Integral geometry
Интегральная геометрия: теория инвариантных мер в геометрии и преобразований функций. Радон-преобразования, геометрическая вероятность, работы Сантало и Блашке.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Введение
В математике интегральная геометрия – это теория мер на геометрическом пространстве, инвариантных относительно группы симметрий этого пространства. В последнее время понятие интегральной геометрии расширилось и включает в себя рассмотрение инвариантных (или эквивариантных) преобразований из пространства функций на одном геометрическом пространстве в пространство функций на другом геометрическом пространстве. Такие преобразования часто представлены в виде интегральных преобразований, как, например, преобразование Радона и его обобщения.
In mathematics, integral geometry is the theory of measures on a geometrical space invariant under the symmetry group of that space. In more recent times, the meaning has been broadened to include a view of invariant (or equivariant) transformations from the space of functions on one geometrical space to the space of functions on another geometrical space. Such transformations often take the form of integral transforms such as the Radon transform and its generalizations.
Классический контекст
Интегральная геометрия как таковая впервые возникла как попытка уточнить некоторые утверждения геометрической теории вероятностей. Ранние работы Луиса Сантало и Вильгельма Блашке были связаны с этим направлением. Это следует из классической теоремы Крофтона, выражающей длину плоской кривой как математическое ожидание числа пересечений со случайной прямой. Здесь слово "случайный" следует понимать в контексте корректного учета симметрии. Существует пространство линий, на котором действует аффинная группа плоскости. На этом пространстве ищут меру вероятности, инвариантную относительно группы симметрии. Если, как в данном случае, удается найти единственную такую инвариантную меру, то это решает проблему точного определения смысла выражения "случайная прямая", и математические ожидания становятся интегралами по этой мере. (Следует отметить, например, что фраза "случайная хорда окружности" может быть использована для построения некоторых парадоксов, например, парадокса Бертрана.) Таким образом, интегральную геометрию в этом смысле можно рассматривать как применение теории вероятностей (в аксиоматизации Колмогорова) в контексте эрлангенской программы Кляйна. Содержание теории сводится к изучению инвариантных (гладких) мер на (желательно компактных) однородных пространствах групп Ли и вычислению интегралов дифференциальных форм. Ярким примером является задача об игле Буффона: бросить иглу на пол, состоящий из досок, и вычислить вероятность того, что игла пересечет щель. В более общем виде эта теория применяется к различным стохастическим процессам, связанным с геометрическими задачами и задачами об инцидентности. См. стохастическую геометрию. Одной из наиболее интересных теорем в этой форме интегральной геометрии является теорема Хадвигера в евклидовом пространстве. Впоследствии теоремы типа Хадвигера были установлены в различных контекстах, в частности, в эрмитовой геометрии, с использованием продвинутых инструментов из теории валораций. Более современное понимание интегральной геометрии связано с работами Сигурдура Хельгасона и Израиля Гельфанда. Она рассматривает более конкретно интегральные преобразования, построенные по образцу преобразования Радона. Здесь основное геометрическое отношение инцидентности (точки, лежащие на прямых, в случае Крофтона) рассматривается в более широком смысле, как область определения интегрального преобразования, представляющего собой откат на граф инцидентности с последующим прямым преобразованием.
Integral geometry as such first emerged as an attempt to refine certain statements of geometric probability theory. The early work of Luis Santaló and Wilhelm Blaschke was in this connection. It follows from the classic theorem of Crofton expressing the length of a plane curve as an expectation of the number of intersections with a random line. Here the word 'random' must be interpreted as subject to correct symmetry considerations. There is a sample space of lines, one on which the affine group of the plane acts. A probability measure is sought on this space, invariant under the symmetry group. If, as in this case, we can find a unique such invariant measure, then that solves the problem of formulating accurately what 'random line' means and expectations become integrals with respect to that measure. (Note for example that the phrase 'random chord of a circle' can be used to construct some paradoxes—for example Bertrand's paradox.) We can therefore say that integral geometry in this sense is the application of probability theory (as axiomatized by Kolmogorov) in the context of the Erlangen programme of Klein. The content of the theory is effectively that of invariant (smooth) measures on (preferably compact) homogeneous spaces of Lie groups; and the evaluation of integrals of the differential forms. A very celebrated case is the problem of Buffon's needle: drop a needle on a floor made of planks and calculate the probability the needle lies across a crack. Generalising, this theory is applied to various stochastic processes concerned with geometric and incidence questions. See stochastic geometry. One of the most interesting theorems in this form of integral geometry is Hadwiger's theorem in the Euclidean setting. Subsequently Hadwiger type theorems were established in various settings, notably in hermitian geometry, using advanced tools from valuation theory. The more recent meaning of integral geometry is that of Sigurdur Helgason and Israel Gelfand. It deals more specifically with integral transforms, modeled on the Radon transform. Here the underlying geometrical incidence relation (points lying on lines, in Crofton's case) is seen in a freer light, as the site for an integral transform composed as pullback onto the incidence graph and then push forward.