Кіріспе
Екі үшбұрыш тек қана олар орталық перспективада болса, онда осьтік перспективада болады. Проективті геометрияда Дезарг теоремасы, Жирар Дезаргтың есімімен аталады, мынадай мәлімдеме береді:
In projective geometry, Desargues's theorem, named after Girard Desargues, states:
Two triangles are in perspective axially if and only if they are in perspective centrally. Denote the three vertices of one triangle by a, b and c, and those of the other by A, B and C. Axial perspectivity means that lines and meet in a point, lines and meet in a second point, and lines and meet in a third point, and that these three points all lie on a common line called the axis of perspectivity. Central perspectivity means that the three lines and are concurrent, at a point called the center of perspectivity. This intersection theorem is true in the usual Euclidean plane but special care needs to be taken in exceptional cases, as when a pair of sides are parallel, so that their "point of intersection" recedes to infinity. Commonly, to remove these exceptions, mathematicians "complete" the Euclidean plane by adding points at infinity, following Jean Victor Poncelet. This results in a projective plane. Desargues's theorem is true for the real projective plane and for any projective space defined arithmetically from a field or division ring; that includes any projective space of dimension greater than two or in which Pappus's theorem holds. However, there are many "non Desarguesian planes", in which Desargues's theorem is false.
Екі үшбұрыш тек қана олар орталық перспективада болса, онда осьтік перспективада болады. Бір үшбұрыштың үш төбесін a, b және c, ал екіншісін A, B және C арқылы белгілейік. Осілік перспективалық байланыс дегеніміз – түзулер бір нүктеде, түзулер екінші нүктеде, ал түзулер үшінші нүктеде қиылысады және осы үш нүкте де перспективалық ось деп аталатын бір түзудің бойында жатады. Орталық перспективалық байланыс дегеніміз – үш түзу бір нүктеде, яғни перспективалық орталықта қиылысады. Бұл қиылысу теоремасы әдеттегі Евклид жазықтығында дұрыс, бірақ ерекше жағдайларда сақтық тану қажет, мысалы, екі қабырға параллель болғанда, олардың «қиылысу нүктесі» шексіздікке кетеді. Әдетте, осы ерекшеліктерді жою үшін математиктер Жан Виктор Понселеден кейін Евклид жазықтығын шексіздіктегі нүктелерді қосу арқылы «толықтайды». Бұл проективті жазықтыққа әкеледі. Дезарг теоремасы нақты проективті жазықтық үшін де, өріс немесе бөлу сақинасынан арифметикалық түрде анықталған кез келген проективті кеңістік үшін де дұрыс; бұл екіден үлкен өлшемді немесе Папп теоремасы орындалатын кез келген проективті кеңістікті қамтиды. Алайда, Дезарг теоремасы бұрыс болатын көптеген «Дезарг емес жазықтықтар» бар.
In projective geometry, Desargues's theorem, named after Girard Desargues, states:
Two triangles are in perspective axially if and only if they are in perspective centrally. Denote the three vertices of one triangle by a, b and c, and those of the other by A, B and C. Axial perspectivity means that lines and meet in a point, lines and meet in a second point, and lines and meet in a third point, and that these three points all lie on a common line called the axis of perspectivity. Central perspectivity means that the three lines and are concurrent, at a point called the center of perspectivity. This intersection theorem is true in the usual Euclidean plane but special care needs to be taken in exceptional cases, as when a pair of sides are parallel, so that their "point of intersection" recedes to infinity. Commonly, to remove these exceptions, mathematicians "complete" the Euclidean plane by adding points at infinity, following Jean Victor Poncelet. This results in a projective plane. Desargues's theorem is true for the real projective plane and for any projective space defined arithmetically from a field or division ring; that includes any projective space of dimension greater than two or in which Pappus's theorem holds. However, there are many "non Desarguesian planes", in which Desargues's theorem is false.
Тарих
Десарг бұл теореманы жарияламаған, бірақ ол 1648 жылы оның досы және шәкірті Абрахам Босс (1602–1676) жариялаған перспективаны қолдану туралы практикалық кітапқа «Перспективаны қолдану үшін Десаргтың әмбебап әдісі» (Manière universelle de M. Desargues pour practiquer la perspective) деген аталыммен қосымша ретінде енген.
Үйлестіру
Десарг теоремасының абстрактты проективті геометриядағы маңызы, оның проективті кеңістік осы теореманы қанағаттандырса ғана, өріс немесе бөлу сақинасы үстінде анықталған проективті кеңістікке изоморфты болуымен байланысты.
Проективті және аффиндік кеңістіктер
Эвклид жазықтығы сияқты аффиндік кеңістікте де ұқсас тұжырым дұрыс, бірақ бұл үшін параллель түзулерге қатысты әртүрлі ерекше жағдайларды ескеру керек. Сондықтан Десарг теоремасы – проективтік кеңістікте аффиндік кеңістікке қарағанда табиғи түрде орналасқан ең қарапайым геометриялық теоремалардың бірі.
Өзін-өзі тану
Анықтама бойынша, екі үшбұрыш перспективалық болады, тек қана егер олар орталықта перспективалық болса (немесе осы теоремаға сәйкес, осьтік перспективалық болса). Перспективалық үшбұрыштардың ұқсас болуы міндетті емес. Жазық проективті геометрияның стандартты дуалдылығы (онда нүктелер сызықтарға сәйкес келеді және нүктелердің бір түзуде жатуы сызықтардың бір нүктеде түйісуіне сәйкес келеді) бойынша, Десарг теоремасының тұжырымы өзіне-өз дуалды: осьтік перспективалық орталық перспективалыққа ауысады және керісінше. Десарг конфигурациясы (төменде) – өзіне-өз дуалды конфигурация. Бұл тұжырымның өзіне-өз дуалдығы теореманы қазіргі заманғы әдеттегі жазу тәсіліне байланысты. Тарихи тұрғыдан алғанда, теорема тек "Проективті кеңістікте орталықта перспективалық үшбұрыштар жұбы осьтік перспективалық болады" деп түсіндірілді, ал осы тұжырымның дуалы Десарг теоремасының кері теоремасы деп аталды және әрқашан осы атаумен белгілі болды.
Десарг теоремасының дәлелі
Десарг теоремасы кез келген өлшемдегі проективті кеңістікке, кез келген дене немесе бөліну сақинасы үшін де орындалады, сондай-ақ кем дегенде 3 өлшемді абстрактілік проективті кеңістіктер үшін де орындалады. 2-өлшемді жазықтықтардың ішінде теорема орындалатын жазықтықтар Десарг жазықтықтары деп аталады және олар бөліну сақинасы арқылы координаталармен берілген жазықтықтармен сәйкес келеді. Десарг теоремасы орындалмаса, Десарг емес жазықтықтар да көптеген түрлері бар.
Паппустың теоремасымен байланысы
Паппустың алтыбұрыш теоремасы бойынша, егер AbCaBc алтыбұрышының төбелері a, b және c бір түзуде, ал A, B және C төбелері екінші түзуде жатса, онда алтыбұрыштың кез келген екі қарама-қарсы қабырғасы бір нүктеде қиылысатын екі түзуде жатады және осылай құрылған үш нүкте бір түзудің бойында болады. Паппус теоремасының барлық жағдайларда орындалатын жазықтығы Паппиан жазықтық деп аталады. Десарг теоремасы Паппус теоремасын үш рет қолдану арқылы шығарылатынын көрсетті. Бірақ, бұл тұжырымның керісі дұрыс емес, яғни барлық Десарг жазықтықтары Паппиан жазықтықтары емес. Паппус теоремасын толық орындау, негізгі координат жүйесінің коммутативті болуымен тең. Коммутативті емес бөліну сақинасы (саяқ емес бөліну сақинасы) арқылы анықталған жазықтық Десарг жазықтығы болады, бірақ Паппиан жазықтығы болмайды. Дегенмен, Веддерберннің кішкентай теоремасына сәйкес, барлық шекті бөліну сақиналары өрістер болып табылады, сондықтан барлық шекті Десарг жазықтықтары Паппиан жазықтықтары болады. Бұл фактінің толыққанды геометриялық дәлелі әлі табылмаған, бірақ тек "элементар" алгебралық фактілерді қолданатын дәлел келтірілген (Веддерберннің кішкентай теоремасының толық күші қолданылмаған).
Дезарге конфигурациясы
Десарг теоремасына қатысты он сызық (үшбұрыштардың алты қабырғасы, және сызықтары, және перспективалық ось) және он нүкте (алты төбе, перспективалық осьтегі үш қиылысу нүктесі және перспективалық орталық) осылай орналасқан: он сызықтың әрқайсысы он нүктенің үшеуі арқылы өтеді, ал он нүктенің әрқайсысы он сызықтың үшеуінде жатады. Осы он нүкте мен он сызық Десарг конфигурациясын құрайды, бұл проективті конфигурацияның мысалы. Десарг теоремасы осы он сызық пен нүктеге әртүрлі рөлдер тағайындаса да, Десарг конфигурациясының өзі көбірек симметриялы: он нүктенің кез келгенін перспективалық орталық ретінде таңдауға болады, және бұл таңдау алты нүктенің қайсысы үшбұрыштардың төбелері болатынын және қай сызық перспективалық ось болатынын анықтайды.
Кішкентай Дезарге теоремасы
Бұл шектеулі нұсқасында егер екі үшбұрыш берілген түзудегі нүктеден перспективалық болса, және сәйкес келетін екі жақ жұбы да осы түзуде қиылысса, онда сәйкес келетін жақтардың үшінші жұбы да сол түзуде қиылысады делінеді. Осылайша, бұл Десарг теоремасының перспективалық орталығы перспективалық осьте жатқан жағдайларға ғана қатысты мамандануы болып табылады. Муфанг жазықтығы – бұл проективті жазықтық, онда кішкентай Десарг теоремасы кез келген түзу үшін орындалады.