Введение

Два треугольника находятся в осевой перспективе тогда и только тогда, когда они находятся в центральной перспективе.

В проективной геометрии теорема Дезарга, названная в честь Жирара Дезарга, утверждает:

Два треугольника находятся в осевой перспективе тогда и только тогда, когда они находятся в центральной перспективе. Обозначим три вершины одного треугольника буквами a, b и c, а другого – A, B и C. Осевая перспективность означает, что прямые ab и АВ пересекаются в точке, прямые bc и BC пересекаются во второй точке, а прямые ca и CA пересекаются в третьей точке, и что эти три точки лежат на одной общей прямой, называемой осью перспективы. Центральная перспективность означает, что три прямые aA, bB и cC пересекаются в одной точке, называемой центром перспективы. Эта теорема о пересечении верна в обычной евклидовой плоскости, но особое внимание следует уделять исключительным случаям, например, когда пара сторон параллельна, так что их "точка пересечения" уходит в бесконечность. Обычно, чтобы устранить эти исключения, математики "дополняют" евклидову плоскость, добавляя точки на бесконечности, следуя Жану Виктору Понселе. В результате получается проективная плоскость. Теорема Дезарга верна для вещественной проективной плоскости и для любого проективного пространства, определенного арифметически из поля или кольца с делением; это включает в себя любое проективное пространство размерности больше двух или в котором выполняется теорема Паппа. Однако существует множество "недезарговских плоскостей", в которых теорема Дезарга неверна.

История

Десарг никогда не публиковал эту теорему, но она появилась в приложении под названием «Универсальный метод господина Десарга для применения перспективы» (Manière universelle de M. Desargues pour practiquer la perspective) к практическому руководству по использованию перспективы, опубликованному в 1648 году его другом и учеником Абрахамом Боссе (1602–1676).

Координация

Важность теоремы Дезарга в абстрактной проективной геометрии обусловлена, в частности, тем, что проективное пространство удовлетворяет этой теореме тогда и только тогда, когда оно изоморфно проективному пространству, определенному над полем или телом с делением.

Проективные и аффинные пространства

В аффинном пространстве, таком как евклидова плоскость, аналогичное утверждение также верно, но лишь при перечислении различных исключений, касающихся параллельных прямых. Следовательно, теорема Дезарга является одной из простейших геометрических теорем, для которой естественной средой является проективное, а не аффинное пространство.

Дуальность

По определению, два треугольника являются перспективными тогда и только тогда, когда они находятся в центральной перспективе (или, что эквивалентно, согласно этой теореме, в осевой перспективе). Следует отметить, что перспективные треугольники не обязаны быть подобными. В соответствии со стандартной двойственностью плоской проективной геометрии (где точкам соответствуют прямые, а коллинеарность точек – свойству прямых пересекаться в одной точке), утверждение теоремы Дезаргеса является самодвойственным: осевая перспективность переходит в центральную перспективность и наоборот. Конфигурация Дезаргеса (приведена ниже) является самодвойственной конфигурацией. Эта самодвойственность в формулировке теоремы обусловлена принятым в современной практике способом её записи. Исторически теорема формулировалась только как "В проективном пространстве пара центрально перспективных треугольников является осевой перспективной", а двойственное утверждение называлось обратной теоремой Дезаргеса и всегда упоминалось именно под этим названием.

Доказательство теоремы Десарге

Теорема Дезаргеса справедлива для проективного пространства любой размерности над любым полем или кольцом с делением, а также для абстрактных проективных пространств размерности не менее 3. В размерности 2 плоскости, для которых она выполняется, называются дезаргезианскими плоскостями и совпадают с плоскостями, которым можно задать координаты в кольце с делением. Существуют также многочисленные недезаргезианские плоскости, для которых теорема Дезаргеса не выполняется.

Отношение к теореме Паппуса

Теорема Паппуса о шестиугольнике утверждает, что если шестиугольник AbCaBc построен таким образом, что вершины a, b и c лежат на одной прямой, а вершины A, B и C — на другой прямой, то каждая пара противоположных сторон шестиугольника лежит на двух прямых, пересекающихся в одной точке, и эти три точки лежат на одной прямой. Плоскость, в которой теорема Паппуса выполняется всегда, называется паппианской. Было показано, что теорему Дезарга можно вывести из трёх применений теоремы Паппуса. Обратное утверждение неверно, то есть не все дезаргезианские плоскости являются паппианскими. Выполнение теоремы Паппуса всегда эквивалентно тому, что лежащая в основе система координат коммутативна. Следовательно, плоскость, определенная над некоммутативным кольцом с делением (кольцом с делением, которое не является полем), будет дезаргезианской, но не паппианской. Однако, благодаря малой теореме Уэддерберна, утверждающей, что все конечные кольца с делением являются полями, все конечные дезаргезианские плоскости являются паппианскими. Полностью геометрического доказательства этого факта пока не известно, хотя приводится доказательство, использующее лишь "элементарные" алгебраические факты (а не полную силу малой теоремы Уэддерберна).

Конфигурация Дезаргеса

Десять линий, участвующих в теореме Дезарге (шесть сторон треугольников, три прямые и , и ось перспективности) и десять точек, участвующих в ней (шесть вершин, три точки пересечения на оси перспективности и центр перспективности) расположены таким образом, что каждая из десяти линий проходит через три из десяти точек, и каждая из десяти точек лежит на трех из десяти линий. Эти десять точек и десять линий образуют конфигурацию Дезарге, являющуюся примером проективной конфигурации. Хотя теорема Дезарге определяет различные роли для этих десяти линий и точек, сама конфигурация Дезарге более симметрична: любую из десяти точек можно выбрать в качестве центра перспективности, и этот выбор определяет, какие шесть точек будут вершинами треугольников, а какая прямая будет осью перспективности.

Маленькая теорема Дезарге

В этой ограниченной формулировке утверждается, что если два треугольника перспективны из точки, лежащей на данной прямой, и две пары соответствующих сторон также пересекаются на этой прямой, то и третья пара соответствующих сторон пересекается на этой прямой. Таким образом, это частный случай теоремы Дезарге, рассматривающий только те случаи, когда центр перспективности лежит на оси перспективности. Плоскость Муфанга — это проективная плоскость, в которой малая теорема Дезарге справедлива для любой прямой.